18.1 线性联络与测地线

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不存在比较 $p$ 与 $q_{:}$ 处的切向量 $Y_p$ 和 $Y_q$ 的自然方法，因为即使它们在一个坐标系中具有相同的分量，在覆盖这两个点的不同坐标卡中一般也不再成立。换一个稍有不同的角度，考虑向量场 $Y$ 在坐标卡 $(U;x^i)$ 中的偏导数 $Y_{,j}^i=\partial Y^i/\partial x^i$。当变换到坐标 $(U^{\prime };x^{\prime }{}^{i^{\prime }})$ 时，由式 (15.13) 可得

$$Y_{,j^{\prime }}^{\prime i^{\prime }}=\frac{\partial Y^{\prime i^{\prime }}}{\partial x^{\prime j^{\prime }}}=\frac{\partial x^j}{\partial x^{\prime j^{\prime }}}\frac{\partial }{\partial x^j}\left(Y^i\frac{\partial x^{\prime i^{\prime }}}{\partial x^i}\right),$$

因此

$$Y_{,j^{\prime }}^{\prime i^{\prime }}=\frac{\partial x^{\prime i^{\prime }}}{\partial x^i}\frac{\partial x^j}{\partial x^{\prime j^{\prime }}}{Y}_{,j}^i+Y^i\frac{\partial x^j}{\partial x^{\prime j^{\prime }}}\frac{{\partial }^2{x}^{\prime i^{\prime }}}{\partial x^i\partial x^j}.\text{\hspace{1em}(18.1)}$$

右端第一项具有张量变换项的形式，如同在 $Eq.$（15.15）中那样，但第二项在特征标上绝对不是张量性的。因此，如果 $Y^i$ 在图表 $(U;x^i)$ 中具有常分量（从而 $Y_{,j}^i=0)$，那么在图表 $(U^{\prime };x^{\prime }{}^{i^{\prime }})$ 中这将不成立），除非坐标变换函数是线性的，

$$x^{\prime i^{\prime }}=A_j^{i^{\prime }}{x}^j⟺\frac{{\partial }^2{x}^{\prime i^{\prime }}}{\partial x^i\partial x^j}=0.\text{\hspace{1em}(18.2)}$$

假设我们有一个关于向量场 $Y$ 沿切向量 $X_p$ 在 ${}^{p,}$ 处的“方向导数”的良定义概念，其类似于函数 $f$ 沿 $X_p$ 的方向导数概念。于是，就可以通过要求沿曲线的切向量 $\dot{\gamma }$ 的方向导数对参数范围内的所有 $t$ 均为零，来定义沿连接 $p$ 与 $q$ 的参数曲线 $\gamma$ 的“常”向量场 $Y(t)$。然而，在 $q$ 处得到的切向量 $Y_q$ 可能依赖于连接曲线 $\gamma .$ 的选取。若我们将向量场 $X$ 对标量场 $f$ 的作用写为 $D_{X}f\equiv Xf$，则对任意实值函数 $g$

$$D_{gX}f=gXf=g{D}_{X}f.\text{\hspace{1em}(18.3)}$$

这一性质对于 $D_X$ 成为局部作用量至关重要，因为 $D_{gX}$ 在 $p$ 处的作用仅依赖于值 $g(p)$，而不依赖于函数 $g$ 在 $p,$ 的整个邻域中的行为。

$$\left(D_{gX}f\right)(p)=g(p)D_{X}f(p).$$

因此我们可以无歧义地写出 $D_{X_p}f=(D_{X}f)(p)$，因为若 $X_p=Y_p$，则 $(D_{X}f)(p)=(D_{Y}f)(p)$

随文练习

证明最后一个断言可由式 (18.3) 推出

将此思想推广到向量场$Y$，我们寻求一个具有该性质的导数$D_{X}Y$

$$D_{gX}Y=g{D}_{X}Y$$

对任意函数 $g$：$M\to \mathbb{R}$。我们将证明，$Y$ 关于 $p$ 处的切向量 $X_p$ 的导数可以通过设定 $D_{X_p}Y=(D_{X}Y{)}_p-$ 来定义，其结果将不依赖于在 $p$ 处化为 $X_p$ 的向量场 $X$ 的选择。

李导数 ${\mathcal{L}}_{X}Y=[X,Y]$（见 15.5 节）并非此处所需意义下的导数，因为对于一般函数 $g\in \mathcal{F}(M)$，

$${\mathcal{L}}_{gX}Y=[gX,Y]=g[X,Y]-Y(g)X\ne g{\mathcal{L}}_{X}Y.$$

为了在点 $p$ 处计算李导数 $[X,Y{]}_p$，仅知道点 $p$ 处的切向量 $X_p$ 是不够的——我们必须知道向量场 $X$ 在点 $p$ 的整个邻域中的行为。

在可微流形 $M$ 上的一个 联络(connection)，也称为 线性联络(linear connection) 或 仿射联络(affine connection)，是一个映射 $D:\mathcal{T}(M)\times \mathcal{T}(M)\mathcal{T}(M)$，其中 ($M$) 是 $M$ 上可微向量场的模，使得由 $D_{X}Y=D(X,Y)$ 定义的映射 $D_X:T(M)\to T(M)$ 对任意向量场 $X,Y,Z$ 和标量场 $f,g:$ 满足以下条件

(Con1) $D_{X+Y}Z=D_{X}Z+D_{Y}Z,$

(Con2) $D_{gX}Y=g{D}_{X}Y,$

(Con3) $D_X(Y+Z)=D_{X}Y+D_{X}Z,$

$$(\text{Con4})D_X(fY)=(Xf)Y+f{D}_{X}Y=(D_{X}f)Y+f{D}_{X}Y.$$

线性联络并非原流形结构所固有——它必须作为流形上的一种额外结构被赋予。给定流形 $M$ 上的一个线性联络 $D$，对每一个向量场 $Y$，存在一个由下式定义的 (1, 1) 型张量场 $DY$

$$DY(\omega ,X)=⟨\omega ,D_{X}Y⟩\text{\hspace{1em}(18.4)}$$

对每个 1-形式 $\omega$ 和向量场 $X$。$DY$ 的张量性质由对两个自变量的线性性推出。对 $\omega$ 的线性性是平凡的，而对 $X$ 的线性性则直接由 (Con1) 和 (Con2) 推出。张量场 $DY$ 称为向量场 $Y$ 的 协变导数(covariant derivative)。这里所描述的联络理论称为 科苏尔联络(Koszul connection) [1–6]，而将在下文推导出的“老式”坐标版本则见于 [7, 8] 等文献。

联络可以自然地限制到任意开子流形 $U\subset M$ 上。例如，若 $(U;x^i)$ 是 $M$ 上的坐标卡，而 ${\partial }_{x^i}$ 是相应的向量场局部基，则可令 $D_k=D_{{\partial }_{\mathrm{r}}k}$。将向量场 $D_k{\partial }_{x}j$ 按局部基展开，

$$D_k{\partial }_{x^j}={\Gamma }_{jk}^i{\partial }_{x^i}\text{\hspace{1em}(18.5)}$$

其中 ${\Gamma }_{jk}^i$ 是 $U_{:}$ 上的实值函数，称为联络 $D$ 关于坐标 $\{x^i\}$ 的分量。利用 (Con3) 和 (Con4)，我们可以计算 $U!$ 上任意向量场 $Y=Y^i{\partial }_{x^i}$ 的协变导数：

$$\begin{array}{c}{D}_{k}Y=D_k\left(Y^j{\partial }_{x^j}\right)=\left({\partial }_{x^k}{Y}^j\right){\partial }_{x^j}+Y^j{\Gamma }_{jk}^i{\partial }_{x^i}\\ =Y_{;k}^i{\partial }_{x^i}\end{array}$$

其中

$$Y_{;k}^i=Y_{,k}^i+{\Gamma }_{jk}^i{Y}^j.\text{\hspace{1em}(18.6)}$$

系数${Y^i}_{;k}$是协变导数关于这些坐标的分量，因为根据式(18.4)，

$$\begin{array}{rl}(DY{)}_k^i=DY(\mathrm{d}{x}^i,{\partial }_{x^k})& =⟨\mathrm{d}{x}^i,D_{k}Y⟩\\ & =⟨\mathrm{d}{x}^i,Y_{;k}^j⟩{\partial }_{x^j}\\ & =Y_{;k}^j{\delta }_j^i=Y_{;k}^i.\end{array}$$

因此

$$DY=Y_{;k}^i{\partial }_{x^i}\otimes \mathrm{d}{x}^k$$

而$D_{X}Y$关于坐标$x^i$的分量是

$${\left(D_{X}Y\right)}^i=DY(\mathrm{d}{x}^i,X)=Y_{;k}^i{X}^k.\text{\hspace{1em}(18.7)}$$

正如上文所预期的那样，可以定义向量场 $Y$ 关于点 $p$ 处的切向量 $X_p$ 的协变导数为 $D_{X_p}Y={\left(D_{X}Y\right)}_p\in T_p(M)$，其中 $X$ 是任意一个在 $p.$ 处“约化”为 $X_p$ 的向量场。为使这一定义有意义，我们必须证明它不依赖于向量场 $X$ 的选取。假设 $X^{\prime }$ 是第二个向量场，使得 $X_p^{\prime }=X_p$。向量场 $Z=X-X^{\prime }$ 在 $p,$ 处为零，并且我们有

$$\begin{array}{rl}(D_{X}Y{)}_p-(D_{X^{\prime }}Y{)}_p& =(D_{X-X^{\prime }}Y{)}_p\\ & =(D_{Z}Y{)}_p\\ & =Y_{;k}^i(p)(Z_p{)}^k{\partial }_{x^i}=0\text{ by Eq. (18.7). }\end{array}$$

向量场 $Y$ 沿曲线 $\gamma :\mathbb{R}M$ 的协变导数定义为

$$\frac{DY}{\mathrm{d}t}=D_{\dot{\gamma }}Y$$

其中 $X=\dot{\gamma }$ 是曲线的切向量。由式 (18.7)，其分量为

$$\begin{array}{c}\frac{D{Y}^i}{\mathrm{d}t}\equiv {\left(\frac{DY}{\mathrm{d}t}\right)}^i=\frac{\mathrm{d}{x}^k}{\mathrm{d}t}(\frac{\partial Y^i}{\partial x^k}+{\Gamma }_{jk}^i{Y}^j)\\ =\frac{\mathrm{d}{Y}^i(t)}{\mathrm{d}t}+{\Gamma }_{jk}^i{Y}^j\frac{\mathrm{d}{x}^k}{\mathrm{d}t}.\end{array}\text{\hspace{1em}(18.8)}$$

我们将称向量场 $Y$ 沿曲线 $\gamma$ 是 平行的(parallel) 的，如果对曲线参数范围内的所有 $t$ 都有 $DY(t)/\mathrm{d}t=0$。若一条曲线的切向量沿该曲线处处平行，则称该曲线为 测地线(geodesic)，$D_{\dot{\gamma }}\dot{\gamma }=0-$ 注意，右端的表达式

式 (18.8) 仅依赖于分量 ${\mathcal{Y}}^i(t)\equiv {\mathcal{Y}}^i(\gamma (t))$ 沿该曲线的值。由式 (18.8)，测地线可以局部地写为一组微分方程

$$\frac{D}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^i}{\mathrm{d}{t}^2}+{\Gamma }_{jk}^i\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^k}{\mathrm{d}t}=0.\text{\hspace{1em}(18.9)}$$

上述讨论亦可反向进行。设 $p$ 为 $M$ 的任意一点，$\gamma :[a,b]\to M$ 为一条曲线，使得 $p=\gamma (a)$ 。在局部坐标 $(U;x^i)$ 中，向量场沿该曲线平行的方程为线性微分方程组

$$\frac{\mathrm{d}{Y}^i(t)}{\mathrm{d}t}+{\Gamma }_{jk}^i{Y}^j(t)\frac{\mathrm{d}{x}^k}{\mathrm{d}t}=0.\text{\hspace{1em}(18.10)}$$

由微分方程的存在唯一性定理，对 $p$ 处的任意切向量 $Y_p$，存在唯一一个沿 $\gamma \cap U$ 平行的向量场 $Y(t)$，使得 $Y(a)=Y_p$。曲线段是紧集，可被有限个图卡覆盖，因此存在唯一性可延拓到整条曲线 $a\le t\le b$ 上。此外，由于微分方程是线性的，满足 $P_t(Y_p)=Y(t)$ 的映射 $P_t:T_p(M)\to T_{\gamma (t)}(M)$ 是线性映射，称为沿 $\gamma$ 从 $p=\gamma (a)$ 到 $\gamma (t)$ 的 平行移动(parallel transport)。由于通过将参数变为 $t^{\prime }=-t$ 可将平行移动映射反转，映射 $P_t$ 是一对一的，因而必是线性同构。

微分方程组极大解的唯一性还表明，若$p$是$M$的任意一点，则存在唯一的极大测地线$\sigma :[0,a)$，其中$a\le$，且以$p=\sigma (0)$处的任意指定切向量$\dot{\sigma }(0)=X_p$为初始条件。使测地线满足式(18.9)的参数$t$称为仿射参数(affine parameter)。在参数变换$t^{\prime }=f(t)$下，切向量变为

$${\dot{\sigma }}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}{t}^{\prime }}{\partial }_{x^i}=\frac{1}{f^{\prime }(t)}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}{\partial }_{x^i}$$

其中 $f^{\prime }(t)=\mathrm{d}f/\mathrm{d}t$，并且利用式 (18.9)，我们有

$$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^i}{\mathrm{d}{t}^{\prime 2}}+{\Gamma }_{jk}^i\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}{t}^{\prime }}\frac{\mathrm{d}{x}^k}{\mathrm{d}{t}^{\prime }}=\frac{1}{f^{\prime }(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{f^{\prime }(t)}\right)\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\\ =-\frac{f^{\prime \prime }(t)}{(f^{\prime }(t){)}^2}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}{t}^{\prime }}.\end{array}$$

新参数 $t^{\prime }$ 是仿射参数，当且仅当 $f^{\prime \prime }(t)=0-$ 即仿射变换 $t^{\prime }=at+b$ 。仿射参数这一术语的由来正在于此。

坐标变换

考虑从图卡 $(U;x^i)$ 到图卡 $(U^{\prime };x^{\prime }{}^{i^{\prime }})$ 的坐标变换。在重叠区域 $U\cap U^{\prime }$ 中，利用由下式给出的坐标基之间的变换，我们有

式（15.12），

$$\begin{array}{l}{D}_{{\partial }_{x^{\prime }{k}^{\prime }}}{\partial }_{x^{\prime }{j}^{\prime }}=\frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime k^{\prime }}}{D}_k\left(\frac{\partial x^j}{\partial x^{\prime j^{\prime }}}{\partial }_{x^j}\right)\\ =\frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime k^{\prime }}}\frac{\partial x^j}{\partial x^{\prime j^{\prime }}}{\Gamma }_{jk}^i\frac{\partial x^{\prime i^{\prime }}}{\partial x^i}{\partial }_{x^{\prime i^{\prime }}}+\frac{{\partial }^2{x}^j}{\partial x^{\prime k^{\prime }}\partial x^{\prime j^{\prime }}}{\partial }_{x^j}\\ ={\Gamma }_{j^{\prime }{k}^{\prime }}^{\prime i^{\prime }}{\partial }_{x^{\prime i^{\prime }}}\end{array}$$

其中

$${\Gamma }_{j^{\prime }{k}^{\prime }}^{\prime i^{\prime }}=\frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime k^{\prime }}}\frac{\partial x^j}{\partial x^{\prime j^{\prime }}}\frac{\partial x^{\prime i^{\prime }}}{\partial x^i}{\Gamma }_{jk}^i+\frac{{\partial }^2{x}^i}{\partial x^{\prime k^{\prime }}\partial x^{\prime j^{\prime }}}\frac{\partial x^{\prime i^{\prime }}}{\partial x^i}.\text{\hspace{1em}(18.11)}$$

这是联络的分量的变换律。

方程 (18.11) 右端的第一项本质上是张量性的，但第二项引入了一个仅对线性变换才消失的复杂性。它正是抵消方程 (18.1) 中给出的向量场导数变换的非张量部分所需的表达式——见习题 18.1。

习题

习题 18.1

直接由变换律式 (18.1) 和式 (18.11) 证明，向量场的协变导数式 (18.6) 的分量按 (1, 1) 型张量变换。

习题 18.2

证明变换律式 (18.11) 可以写成以下形式

$${\Gamma }_{j^{\prime }{k}^{\prime }}^{\prime i^{\prime }}=\frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime k^{\prime }}}\frac{\partial x^j}{\partial x^{\prime j^{\prime }}}\frac{\partial x^{\prime i^{\prime }}}{\partial x^i}{\Gamma }_{jk}^i-\frac{{\partial }^2{x}^{\prime k^{\prime }}}{\partial x^i\partial x^j}\frac{\partial x^i}{\partial x^{\prime i^{\prime }}}\frac{\partial x^j}{\partial x^{\prime j^{\prime }}}.$$