可定向流形 (orientable manifold)

Nakahara Definition 5.6：可定向流形。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。

别名：orientable；可定向的

词性：名词

已登记的原文定义

Nakahara · second-edition-local · §5.5.1 · PDF 第223页

Definition 5.6. Let  $M$  be a connected manifold covered by  $\{U_i\}$ . The manifold  $M$  is orientable if, for any overlapping charts  $U_i$  and  $U_j$ , there exist local coordinates  $\{x^\mu\}$  for  $U_i$  and  $\{y^\alpha\}$  for  $U_j$  such that  $J = \det(\partial x^\mu / \partial y^\alpha) > 0$ .

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Nakahara · second-edition-local · §5.5.1 · PDF 第223页 · 定义续文（环境外解释或示例）

If  $M$  is non-orientable,  $J$  cannot be positive in all intersections of charts. For example, the Möbius strip in figure 5.14(a) is non-orientable since we have to choose  $J$  to be negative in the intersection B.

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Nakahara · second-edition-local · §5.5.1 · PDF 第223页 · 定义续文（环境外解释或示例）

If an  $m$ -dimensional manifold  $M$  is orientable, there exists an  $m$ -form  $\omega$  which vanishes nowhere. This  $m$ -form  $\omega$  is called a volume element, which plays the role of a measure when we integrate a function  $f \in \mathcal{F}(M)$  over  $M$ . Two volume elements  $\omega$  and  $\omega'$  are said to be equivalent if there exists a strictly positive function  $h \in \mathcal{F}(M)$  such that  $\omega = h\omega'$ . A negative-definite function  $h' \in \mathcal{F}(M)$  gives an inequivalent orientation to  $M$ . Thus, any orientable manifold admits two inequivalent orientations, one of which is called right handed, the other left handed. Take an  $m$ -form

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Nakahara · second-edition-local · §5.5.1 · PDF 第223页 · 定义续文（环境外解释或示例）


$$
\omega = h (p) \mathrm {d} x ^ {1} \wedge \dots \wedge \mathrm {d} x ^ {m} \tag {5.98}
$$

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Nakahara · second-edition-local · §5.5.1 · PDF 第224页 · 定义续文（环境外解释或示例）

with a positive-definite  $h(p)$  on a chart  $(U, \varphi)$  whose coordinate is  $x = \varphi(p)$ . If  $M$  is orientable, we may extend  $\omega$  throughout  $M$  such that the component  $h$  is positive definite on any chart  $U_i$ . If  $M$  is orientable, this  $\omega$  is a volume element. Note that this positivity of  $h$  is independent of the choice of coordinates. In fact, let  $p \in U_i \cap U_j \neq \emptyset$  and let  $x^\mu$  and  $y^\alpha$  be the coordinates of  $U_i$  and  $U_j$ , respectively. Then (5.98) becomes

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Nakahara · second-edition-local · §5.5.1 · PDF 第224页 · 定义续文（环境外解释或示例）


$$
\omega = h (p) \frac {\partial x ^ {1}}{\partial y ^ {\mu_ {1}}} \mathrm {d} y ^ {\mu_ {1}} \wedge \dots \wedge \frac {\partial x ^ {m}}{\partial y ^ {\mu_ {m}}} \mathrm {d} y ^ {\mu_ {m}} = h (p) \det  \left(\frac {\partial x ^ {\mu}}{\partial y ^ {\nu}}\right) \mathrm {d} y ^ {1} \wedge \dots \wedge \mathrm {d} y ^ {m}. \tag {5.99}
$$

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Nakahara · second-edition-local · §5.5.1 · PDF 第224页 · 定义续文（环境外解释或示例）

The determinant in (5.99) is the Jacobian of the coordinate transformation and must be positive by assumed orientability. If  $M$  is non-orientable,  $\omega$  with a positive-definite component cannot be defined on  $M$ . Let us look at figure 5.14 again. If we circumnavigate the strip along the direction shown in the figure,  $\omega = \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$  changes the signature  $\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \rightarrow -\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$  when we come back to the starting point. Hence,  $\omega$  cannot be defined uniquely on  $M$ .

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Nakahara · second-edition-local

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