8.2 复流形上的微积分

8.2.1 全纯映射

设 $f:M\to N$，$M$ 与 $N$ 为复流形，且 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$，${\dim }_{\mathbb{C}}N=n$。取 $M$ 的一个坐标卡 $(U,\phi )$ 中的一点 $p$。设 $(V,\psi )$ 为 $N$ 的坐标卡，使得 $f(p)\in V$。若记 $\{z^{\mu }\}=\phi (p)$ 与 $\{w^{\nu }\}=\psi (f(p))$，便得到映射 $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:{\mathbb{C}}^m\to {\mathbb{C}}^n$。如果每个函数 $w^{\nu }$ $(1\le \nu \le n)$ 都是全纯

函数（关于 $z^{\mu }$），则称 $f$ 为全纯映射(holomorphic map)。此定义与所选取的特殊坐标无关。事实上，设 $(U^{\prime },{\phi }^{\prime })$ 是另一个坐标卡，满足 $U\cap U^{\prime }\ne \varnothing$，并设 $z^{\prime \mu }=x^{\prime \lambda }+\mathrm{i}{y}^{\prime \lambda }$ 为其坐标。取一点 $p\in U\cap U^{\prime }$。若 $w^{\nu }=u^{\nu }+\mathrm{i}{v}^{\nu }$ 关于 $z$ 是全纯函数，则

$$\frac{\partial u^{\nu }}{\partial x^{\prime \lambda }}=\frac{\partial u^{\nu }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\prime \lambda }}+\frac{\partial u^{\nu }}{\partial y^{\mu }}\frac{\partial y^{\mu }}{\partial y^{\prime \lambda }}=\frac{\partial v^{\nu }}{\partial y^{\mu }}\frac{\partial y^{\mu }}{\partial y^{\prime \lambda }}+\frac{\partial v^{\nu }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial x^{\mu }}{\partial y^{\prime \lambda }}=\frac{\partial v^{\nu }}{\partial y^{\prime \lambda }}.$$

我们还可得到 $\partial u^{\nu }/\partial y^{\prime \lambda }=-\partial v^{\nu }/\partial x^{\prime \lambda }$。于是，$w^{\nu }$ 关于 $z^{\prime }$ 也是全纯的。可以证明，全纯性同样与 $N$ 中坐标卡的选取无关。

设 $M$ 与 $N$ 为复流形。若存在微分同胚 $f:M\to N$ 同时也是全纯的（此时 $f^{-1}:N\to M$ 自动是全纯的），则称 $M$ 与 $N$ 双全纯(biholomorphic)。映射 $f$ 称为双全纯映射(biholomorphism)。

全纯函数(holomorphic function)就是全纯映射 $f:M\to \mathbb{C}$。有一个引人注目的定理：紧复流形上的任何全纯函数都是常数。这是初等复分析中最大值原理的推广，参见 Wells (1980)。$M$ 上全纯函数的集合记作 $\mathcal{O}(M)$。类似地，$\mathcal{O}(U)$ 表示 $U\subset M$ 上全纯函数的集合。

8.2.2 复化

设 $M$ 是 ${\dim }_{\mathbb{R}}M=m$ 的可微流形。若 $f:M\to \mathbb{C}$ 分解为 $f=g+\mathrm{i}h$，其中 $g,h\in \mathcal{F}(M)$，则 $f$ 是复值光滑函数。$M$ 上复值光滑函数的集合称为 $\mathcal{F}(M)$ 的复化(complexification)，记作 $\mathcal{F}(M{)}^{\mathbb{C}}$。复化函数一般并不满足柯西-黎曼关系。对 $f=g+\mathrm{i}h\in \mathcal{F}(M{)}^{\mathbb{C}}$，$f$ 的复共轭为 $\overline{f}\equiv g-\mathrm{i}h$。$f$ 为实值当且仅当 $f=\overline{f}$。

在考虑 $T_{p}M$ 的复化之前，我们先定义一般 $V$（${\dim }_{\mathbb{R}}V=m$）的复化 $V^{\mathbb{C}}$。$V^{\mathbb{C}}$ 中的元素形如 $X+\mathrm{i}Y$，其中 $X,Y\in V$。若用复数 $a+\mathrm{i}b$ 如下定义加法与标量乘法，则 $V^{\mathbb{C}}$ 成为复维数为 $m$ 的复向量空间：

$$\begin{array}{rl}& \left(X_1+\mathrm{i}{Y}_1\right)+\left(X_2+\mathrm{i}{Y}_2\right)=\left(X_1+X_2\right)+\mathrm{i}\left(Y_1+Y_2\right)\\ & (a+\mathrm{i}b)(X+\mathrm{i}Y)=(aX-bY)+\mathrm{i}(bX+aY)\end{array}$$

$V$ 是 $V^{\mathbb{C}}$ 的向量子空间，因为 $X\in V$ 与 $X+\mathrm{i}0\in V^{\mathbb{C}}$ 可以等同起来。$V$ 中的向量称为实的(real)。$Z=X+\mathrm{i}Y$ 的复共轭(complex conjugate)为 $\overline{Z}=X-\mathrm{i}Y$。向量 $Z$ 是实的，当且仅当 $Z=\overline{Z}$。

$V$ 上的线性算符 $A$ 可延拓为作用在 $V^{\mathbb{C}}$ 上的算符，其定义为

$$A(X+\mathrm{i}Y)=A(X)+\mathrm{i}A(Y).\text{\hspace{1em}(8.8)}$$

若 $A\to \mathbb{R}$ 是线性函数 $(A\in V^{\ast })$，则其延拓是 $V^{\mathbb{C}}$ 上的复值线性函数 $A:V^{\mathbb{C}}\to \mathbb{C}$。一般地，定义在 $V$ 与 $V^{\ast }$ 上的任何张量都可延拓为定义在 $V^{\mathbb{C}}$ 与 $(V^{\ast }{)}^{\mathbb{C}}$ 上的张量。延拓后的张量复化为 $t=t_1+\mathrm{i}{t}_2$，其中 $t_1$ 与 $t_2$ 是同一类型的张量。$t$ 的共轭为 $\overline{t}\equiv t_1-\mathrm{i}{t}_2$。若 $t=\overline{t}$，则称该张量是实的。例如，当 $\overline{A(X+\mathrm{i}Y)}=A(X-\mathrm{i}Y)$ 时，$A:V^{\mathbb{C}}\to \mathbb{C}$ 是实的。

设 $\{e_k\}$ 是 $V$ 的基。若把这些基向量看作复向量，则同一组基 $\{e_k\}$ 便成为 $V^{\mathbb{C}}$ 的基。为说明这一点，设 $X=X^k{e}_k$，$Y=Y^k{e}_k\in V$。于是 $Z=X+\mathrm{i}Y$ 可唯一地表示为 $(X^k+\mathrm{i}{Y}^k)e_k$。由此得到 ${\dim }_{\mathbb{R}}V={\dim }_{\mathbb{C}}{V}^{\mathbb{C}}$。

现在我们可以对切空间 $T_{p}M$ 作复化了。若把 $V$ 换成 $T_{p}M$，就得到 $T_{p}M$ 的复化 $T_p{M}^{\mathbb{C}}$，其元素表示为 $Z=X+\mathrm{i}Y$（$X,Y\in T_{p}M$）。向量 $Z$ 作用在函数 $f=f_1+\mathrm{i}{f}_2\in \mathcal{F}(M{)}^{\mathbb{C}}$ 上为

$$\begin{array}{rl}Z[f]& =X[f_1+\mathrm{i}{f}_2]+\mathrm{i}Y[f_1+\mathrm{i}{f}_2]\\ & =X[f_1]-Y[f_2]+\mathrm{i}\{X[f_2]+Y[f_1]\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.9)}$$

对偶向量空间 $T_p^{\ast }M$ 通过把 $\omega ,\eta \in T_p^{\ast }M$ 组合成 $\zeta =\omega +\mathrm{i}\eta$ 而复化。复化对偶向量的集合记作 $(T_p^{\ast }M{)}^{\mathbb{C}}$。任何张量 $t$ 都被延拓，使其定义在 $T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 与 $(T_p^{\ast }M{)}^{\mathbb{C}}$ 上，然后再复化。

练习 8.1

证明 $(T_p^{\ast }M{)}^{\mathbb{C}}=(T_p{M}^{\mathbb{C}}{)}^{\ast }$。此后，我们把复化对偶向量空间简记为 $T_p^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}$。

给定光滑向量场 $X,Y\in \mathcal{X}(M)$，我们定义复向量场 $Z=X+\mathrm{i}Y$。显然 $Z{|}_p\in T_p{M}^{\mathbb{C}}$。复向量场的集合是 $\mathcal{X}(M)$ 的复化，记作 $\mathcal{X}(M{)}^{\mathbb{C}}$。$Z=X+\mathrm{i}Y$ 的共轭向量场为 $\overline{Z}=X-\mathrm{i}Y$。当 $Z\in \mathcal{X}(M)$ 时 $Z=\overline{Z}$，因此 $\mathcal{X}(M{)}^{\mathbb{C}}\supset \mathcal{X}(M)$。$Z=X+\mathrm{i}Y$ 与 $W=U+\mathrm{i}V\in \mathcal{X}(M{)}^{\mathbb{C}}$ 的李括号为

$$[X+\mathrm{i}Y,U+\mathrm{i}V]=\{[X,U]-[Y,V]\}+\mathrm{i}\{[X,V]+[Y,U]\}.\text{\hspace{1em}(8.10)}$$

类型为 $(p,q)$ 的张量场的复化按显然的方式定义。若 $\omega ,\eta \in {\Omega }^1(M),\xi \equiv \omega +\mathrm{i}\eta \in {\Omega }^1(M{)}^{\mathbb{C}}$，则它是一个复化一次形式。

8.2.3 近复结构

由于复流形同时也是可微流形，我们可以使用第 5 章中建立的框架，然后对所得结果施加适当的限制。让我们考察复流形 $M$（${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$）的切空间。切空间 $T_{p}M$ 由 $2m$ 个向量张成

$$\left\{\frac{\partial }{\partial x^1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x^m};\frac{\partial }{\partial y^1},\dots ,\frac{\partial }{\partial y^m}\right\}\text{\hspace{1em}(8.11)}$$

其中 $z^{\mu }=x^{\mu }+\mathrm{i}{y}^{\mu }$ 是 $p$ 在坐标卡 $(U,\phi )$ 中的坐标。用同样的坐标，$T_p^{\ast }M$ 由

$$\left\{\mathrm{d}{x}^1,\dots ,\mathrm{d}{x}^m;\mathrm{d}{y}^1,\dots ,\mathrm{d}{y}^m\right\}.\text{\hspace{1em}(8.12)}$$

我们来定义 $2m$ 个向量

$$\frac{\partial }{\partial z^{\mu }}\equiv \frac{1}{2}\left\{\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}-\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial y^{\mu }}\right\}\text{\hspace{1em}(8.13a)}$$

$$\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\mu }}\equiv \frac{1}{2}\left\{\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}+\mathrm{i}\frac{\partial }{\partial y^{\mu }}\right\}\text{\hspace{1em}(8.13b)}$$

其中 $1\le \mu \le m$。显然它们构成 $2m$ 维（复）向量空间 $T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 的一组基。注意 $\overline{\partial /\partial z^{\mu }}=\partial /\partial {\overline{z}}^{\mu }$。相应地，$2m$ 个一次形式

$$\mathrm{d}{z}^{\mu }\equiv \mathrm{d}{x}^{\mu }+\mathrm{id}{y}^{\mu }\mathrm{d}{\bar{z}}^{\mu }\equiv \mathrm{d}{x}^{\mu }-\mathrm{id}{y}^{\mu }\text{\hspace{1em}(8.14)}$$

构成 $T_p^{\ast }{M}^{\mathbb{C}}$ 的基。它们与 (8.13) 对偶，

$$⟨\mathrm{d}{z}^{\mu },\partial /\partial {\bar{z}}^{\nu }⟩=⟨\mathrm{d}{\bar{z}}^{\mu },\partial /\partial z^{\nu }⟩=0\text{\hspace{1em}(8.15a)}$$

$$⟨\mathrm{d}{z}^{\mu },\partial /\partial z^{\nu }⟩=⟨\mathrm{d}{\bar{z}}^{\mu },\partial /\partial {\bar{z}}^{\nu }⟩={\delta }_{\nu }.\text{\hspace{1em}(8.15b)}$$

设 $M$ 为复流形，并用下式定义线性映射 $J_p:T_{p}M\to T_{p}M$：

$$J_p\left(\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\right)=\frac{\partial }{\partial y^{\mu }}{J}_p\left(\frac{\partial }{\partial y^{\mu }}\right)=-\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\text{\hspace{1em}(8.16)}$$

$J_p$ 是 (1, 1) 型实张量。注意

$$J_p^2=-{\mathrm{id}}_{T_{p}M}.\text{\hspace{1em}(8.17)}$$

粗略地说，$J_p$ 对应于乘以 $\pm \mathrm{i}$ 的运算。$J_p$ 的作用与坐标卡的选取无关。事实上，设 $(U,\phi )$ 与 $(V,\psi )$ 是相互重叠的坐标卡，且 $\phi (p)=z^{\mu }=x^{\mu }+\mathrm{i}{y}^{\mu }$、$\psi (p)=w^{\mu }=u^{\mu }+\mathrm{i}{v}^{\mu }$。在 $U\cap V$ 上，函数 $z^{\mu }=z^{\mu }(w)$ 满足柯西-黎曼关系。于是可得

$$J_p\left(\frac{\partial }{\partial u^{\mu }}\right)=J_p\left(\frac{\partial x^{\nu }}{\partial u^{\mu }}\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}+\frac{\partial y^{\nu }}{\partial u^{\mu }}\frac{\partial }{\partial y^{\nu }}\right)=\frac{\partial y^{\nu }}{\partial v^{\mu }}\frac{\partial }{\partial y^{\nu }}+\frac{\partial x^{\nu }}{\partial v^{\mu }}\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}=\frac{\partial }{\partial v^{\mu }}.$$

同样可得 $J_p\partial /\partial v^{\mu }=-\partial /\partial u^{\mu }$。因此，$J_p$ 具有如下形式

$$J_p=\left(\begin{array}{cc}0& -I_m\\ I_m& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(8.18)}$$

这是相对于基 (8.11) 而言的，其中 $I_m$ 是 $m\times m$ 单位矩阵。由于 $J_p$ 的所有分量在任意一点处都是常数，我们可以定义一个光滑张量场 $J$，使其在 $p$ 处的分量为 (8.18)。张量场 $J$ 称为近复

结构，即复流形 $M$ 的近复结构。注意，任何 $2m$ 维流形局部上都容许一个平方为 $-I_{2m}$ 的张量场 $J$。然而，$J$ 只有在复流形上才能跨越坐标卡拼接并整体地定义。张量 $J$ 完全确定了复结构。

将近复结构 $J_p$ 加以延拓，使其可以定义在 $T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 上，

$$J_p(X+\mathrm{i}Y)\equiv J_{p}X+\mathrm{i}{J}_{p}Y.\text{\hspace{1em}(8.19)}$$

由 (8.16) 可得

$$J_p\partial /\partial z^{\mu }=\mathrm{i}\partial /\partial z^{\mu }{J}_p\partial /\partial {\bar{z}}^{\mu }=-\mathrm{i}\partial /\partial {\bar{z}}^{\mu }.\text{\hspace{1em}(8.20)}$$

这样，我们就得到了 $J_p$ 在全纯基与反全纯基下的表达式，

$$J_p=\mathrm{id}{z}^{\mu }\otimes \frac{\partial }{\partial z^{\mu }}-\mathrm{id}{\bar{z}}^{\mu }\otimes \frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\mu }}\text{\hspace{1em}(8.21)}$$

其分量为

$$J_p=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}{I}_m& 0\\ 0& -\mathrm{i}{I}_m\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(8.22)}$$

设 $Z\in T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 是形如 $Z=Z^{\mu }\partial /\partial z^{\mu }$ 的向量。则 $Z$ 是 $J_p$ 的特征向量，即 $J_{p}Z=\mathrm{i}Z$。同样，$Z=Z^{\mu }\partial /\partial {\overline{z}}^{\mu }$ 满足 $J_{p}Z=-\mathrm{i}Z$。这样，复流形的 $T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 就被分成两个互不相交的向量空间，

$$T_p{M}^{\mathbb{C}}=T_p{M}^{+}\oplus T_p{M}^{-}\text{\hspace{1em}(8.23)}$$

其中

$$T_p{M}^{\pm }=\{Z\in T_p{M}^{\mathbb{C}}|J_{p}Z=\pm \mathrm{i}Z\}.\text{\hspace{1em}(8.24)}$$

我们定义投影算符 ${\mathcal{P}}^{\pm }:T_p{M}^{\mathbb{C}}\to T_p{M}^{\pm }$ 为

$${\mathcal{P}}^{\pm }\equiv \frac{1}{2}\left(I_{2m}\mp \mathrm{i}{J}_p\right).\text{\hspace{1em}(8.25)}$$

事实上，对任意 $Z\in T_p{M}^{\mathbb{C}}$，都有 $J_p{\mathcal{P}}^{\pm }Z=\frac{1}{2}(J_p\mp \mathrm{i}{J}_p^2)Z=\pm \mathrm{i}{\mathcal{P}}^{\pm }Z$。因此，

$$Z^{\pm }\equiv {\mathcal{P}}^{\pm }Z\in T_p{M}^{\pm }.\text{\hspace{1em}(8.26)}$$

现在，$Z\in T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 被唯一地分解为 $Z=Z^{+}+Z^{-}$（$Z^{\pm }\in T_p{M}^{\pm }$）。$T_p{M}^{+}$ 由 $\{\partial /\partial z^{\mu }\}$ 张成，而 $T_p{M}^{-}$ 由 $\{\partial /\partial {\overline{z}}^{\mu }\}$ 张成。$Z\in T_p{M}^{+}$ 称为全纯向量(holomorphic vector)，而 $Z\in T_p{M}^{-}$ 称为反全纯向量(anti-holomorphic vector)。我们容易验证

$$T_p{M}^{-}=\overline{T_p{M}^{+}}=\{\bar{Z}|Z\in T_p{M}^{+}\}.\text{\hspace{1em}(8.27)}$$

注意

$${\dim }_{\mathbb{C}}{T}_p{M}^{+}={\dim }_{\mathbb{C}}{T}_p{M}^{-}=\frac{1}{2}{\dim }_{\mathbb{C}}{T}_p{M}^{\mathbb{C}}=\frac{1}{2}{\dim }_{\mathbb{C}}M.$$

练习 8.2

习题 8.2. 设 $(U,\phi )$ 与 $(V,\psi )$ 是复流形 $M$ 上两个相交的坐标卡，并设 $z^{\mu }=\phi (p)$，$w^{\mu }=\psi (p)$。验证：用坐标 $w^{\mu }$ 表示时，$X=X^{\mu }\partial /\partial z^{\mu }$ 只含有全纯基 $\{\partial /\partial w^{\mu }\}$。于是，$T_p{M}^{\mathbb{C}}$ 分解为 $T_p{M}^{\pm }$ 的方式与坐标卡的选取无关（注意 $J$ 的定义本身与坐标卡无关）。

给定一个复化向量场 $Z\in \mathcal{X}(M{)}^{\mathbb{C}}$，我们得到一个新的向量场 $JZ\in \mathcal{X}(M{)}^{\mathbb{C}}$，它在 $M$ 的每一点处由 $JZ{|}_p=J_p\cdot Z{|}_p$ 定义。向量场 $Z$ 自然地分解为

$$Z=Z^{+}+Z^{-}{Z}^{\pm }={\mathcal{P}}^{\pm }Z\text{\hspace{1em}(8.28)}$$

其中 $Z^{\pm }={\mathcal{P}}^{\pm }Z$。向量场 $Z^{+}\left(Z^{-}\right)$ 称为全纯（反全纯）向量场。因此，一旦给定 $J$，$\mathfrak{X}(M{)}^{\mathbb{C}}$ 就唯一地分解为

$$\mathcal{X}(M{)}^{\mathbb{C}}=\mathcal{X}(M{)}^{+}\oplus \mathcal{X}(M{)}^{-}.\text{\hspace{1em}(8.29)}$$

$Z=Z^{+}+Z^{-}\in \mathfrak{X}(M{)}^{\mathbb{C}}$ 为实向量场当且仅当 $Z^{+}=\overline{Z^{-}}$。

练习 8.3

习题 8.3. 设 $X,Y\in \mathcal{X}(M{)}^{+}$。证明 $[X,Y]\in \mathcal{X}(M{)}^{+}$。[若 $X,Y\in \mathcal{X}(M{)}^{-}$，则 $[X,Y]\in \mathcal{X}(M{)}^{-}.]$

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