黎曼流形 (Riemannian manifold)

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来源短摘录与定位

§16.5 · zh-CN · translation · unreviewed

而值 0 仅当 ${\dot{u}}^i=0$ 时才可能，因为约束映射是嵌入且没有临界点。一个处处定义了正定内积的流形 $M$ 称为 黎曼流形(Riemannian manifold)；关于此类流形的进一步讨论将在第 18 章中找到。相关联的对称张量场 $g=g_{ij}:\mathrm{d}{q}^i\otimes \mathrm{d}{q}^j$ 称为度量张量。这些评述为以下定义提供了动机。

§16.5 · en · original_transcription · unreviewed

and the value 0 is only possible if ${\dot{u}}^i=0$ since the constraint map is an embedding and has no critical points. A manifold $M$ with a positive definite inner product defined everywhere is called a Riemannian manifold; further discussion of such manifolds will be found in Chapter 18. The associated symmetric tensor field $g=g_{ij}:\mathrm{d}{q}^i\otimes \mathrm{d}{q}^j$ is called the metric tensor. These remarks serve as motivation for the following definition.

§18.4 · zh-CN · translation · unreviewed

但一般而言，除非正交归一 向量场 的所有李括号都消失 $[e_i,e_j]=0$，否则不可能在整个坐标 图上实现 $e_i={\partial }_{x^i}$。如果度量张量处处正定，则称 $(M,g)$ 为 黎曼流形(Riemannian manifold)，

§18.4 · en · original_transcription · unreviewed

but in general it is not possible to achieve that $e_i={\partial }_{x^i}$ over an entire coordinate chart unless all Lie brackets of the orthonormal fields vanish $[e_i,e_j]=0$ . We say $(M,g)$ is a Riemannian manifold if the metric tensor is everywhere positive definite,

来源覆盖、定位与记录

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