旋量表示 (spinor representation)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§6.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

• 第一个群在 ${\mathbf{C}}^2$ 上的表示，最容易看作 $\mathrm{SU}(2)$ 的定义表示(defining representation)。它不是 $\mathrm{SO}(3)$ 的表示：从单位元出发，沿不可收缩回路绕行一周后，该回路在 $\mathrm{SU}(2)$ 中的提升会到达负单位元，而非单位元，因此这种作用不能下降为 $\mathrm{SO}(3)$ 的表示。这称为“自旋 1/2 表示(spin-1/2 representation)”或“旋量表示(spinor representation)”，并将在第 7 章中进一步讨论。

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§7.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

7.1 旋量表示(spinor representation)

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7.1 The spinor representation

§7.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

定义（ 旋量表示(spinor representation)）

$\mathrm{Spin}(3)=\mathrm{SU}(2)$ 的旋量表示是在 ${\mathbf{C}}^2$ 上由下式给出的表示：

$$g\in \mathrm{SU}(2)⟼{\pi }_{\mathrm{spinor}}(g)=g$$

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Definition ( Spinor representation)

The spinor representation of $\mathrm{Spin}(3)=\mathrm{SU}(2)$ is the representation on ${\mathbf{C}}^2$ given by

$$g\in \mathrm{SU}(2)⟼{\pi }_{\mathrm{spinor}}(g)=g$$

§7.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

对于自旋为 $1/2$ 的粒子，自旋群(spin group) Spin(3)与 $SU(2)$ 同构，并通过旋量表示(spinor representation)作用于量子态，其中元素 $\Omega (\theta ,\mathbf{w})\in SU(2)$ 的作用为

§7.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

For a spin-$1/2$ particle, the Spin group (Spin(3)) group, which is isomorphic to $SU(2)$, acts on states through the spinor representation with the element $\Omega (\theta ,\mathbf{w})\in SU(2)$ acting as

§31 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

对具有 $d$ 个自由度的费米子振子，算符代数是 $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbb{C})$，由 $a_{Fj},a_{Fj}^{†}$ 生成。这些算符作用于 $2^d$ 维复向量空间 ${\mathcal{H}}_F={\mathcal{F}}_d^{+}$，对应于玻色子情形中作用于 ${\mathcal{F}}_d$ 的 ${\Gamma }_{BF}^{\prime }$。自旋群由Clifford代数中的可逆元素组成，因此在 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 上有一个表示，称为“旋量表示(spinor representation)”。它可仿照玻色子情形的元辛表示来构造。本章还研究Schrödinger表示的费米子类似物；它在酉性上有问题，却可用于描述物理学中的“鬼”自由度。

§31.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

${\gamma }_j$ 的二次组合给出 $\mathfrak{so}(2d)=\mathfrak{spin}(2d)$ 的表示。指数化后，得到 $SO(2d)$ 的至多相差一个符号的表示，以及其二重覆盖 $\mathrm{Spin}(2d)$ 的真正表示。这个在 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 上构造的表示称为旋量表示(spinor representation)；有时把带此群作用的空间记为 $S$。

§31.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Quadratic combinations of ${\gamma }_j$ represent $\mathfrak{so}(2d)=\mathfrak{spin}(2d)$. Exponentiation gives a representation up to sign of $SO(2d)$ and a genuine representation of its double cover $\mathrm{Spin}(2d)$. This representation on ${\mathcal{F}}_d^{+}$ is the spinor representation; we sometimes denote the space with this group action by $S$.

§32 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [第 7 章](../chapter-07/index#section-7)
• [chapter 7](../chapter-07/index#section-7)

来源覆盖、定位与记录

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