8.2 SU(2) 的表示：构造

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 复内积 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 不可约表示 · 李群

上一节的论证只告诉我们 $S U (2)$ 的可能的有限维不可约表示必须具有哪些性质。它说明了在给定最高权向量的情况下如何构造这样的表示，但并未提供任何构造这种最高权向量的方法。我们希望找到某种方法，对每个最高权 $(π_{n}, V^{n})$ 显式构造一个不可约 $n .$ 。有若干种可能的构造，但也许最简单的是下面这种：它通过考察两个复变量中次数为 $n$ 的齐次多项式，给出一个最高权为 $n$ 的表示。这种构造不仅会产生 $S U (2)$ 的表示，还会产生更大群 $G L (2, C)$ 的表示。

回忆方程 1.3，若有一个群在空间 $M$ 上的作用，则可以通过取 $M$ 上的函数 $f$ 的表示来得到

(π (g) f) (x) = f (g^{- 1} \cdot x)

对于群 $G L (2, C)$ ，按定义它作用在 $M = C^{2}$ 上，我们考察该空间上一类特定的函数，即多项式。我们可以将 $C^{2}$ 上无限维的多项式空间分解为有限维子空间，如下所示：

定义（齐次多项式）

次数为 $n$ 的齐次多项式在两个复变量 $z_{1}, z_{2}$ 中的复向量空间是 $C^{2}$ 上具有以下形式的函数空间
$f (z_{1}, z_{2}) = a_{0} z_{1}^{n} + a_{1} z_{1}^{n - 1} z_{2} + \dots + a_{n - 1} z_{1} z_{2}^{n - 1} + a_{n} z_{2}^{n}$

这样的函数构成的空间是维数为 $n + 1$ 的复向量空间

这个函数空间正是我们为得到 $S U (2) \subset G L (2, C)$ 的自旋 $\frac{n}{2}$ 不可约表示所需的表示空间 $V^{n}$

如果我们选择 $C^{2}$ 的一个基 $e_{1}, e_{2}$ ，那么我们可以将 $g$ 写成矩阵

g = (α γ β δ) \in G L (2, C)

坐标 $z_{1}, z_{2}$ 将是 $C^{2}$ 上线性函数的对偶基，并且（见 4.1 和 4.2 节末尾的讨论） $g$ 将通过下式作用于它们：

(z _{2} z _{1}) \to g^{- 1} (z _{2} z _{1})

齐次多项式函数上的表示 $π_{n} (g)$ 将由该作用在多项式表达式中的 $z_{1}, z_{2}$ 上给出。

求导后，李代数表示由下式给出

π_{n}^{'} (X) f = \frac{d}{d t} π_{n} (e^{tX}) f_{∣ t = 0} = \frac{d}{d t} f (e^{- tX} (z _{2} z _{1}))_{∣ t = 0}

其中 $X \in gl (2, C)$ 是任意 2 乘 2 复矩阵。根据链式法则，对于

(z _{2} ( t ) z _{1} ( t )) = e^{- tX} (z _{2} z _{1})

这是

π_{n}^{'} (X) f = (\frac{\partial f}{\partial z _{1}}, \frac{\partial f}{\partial z _{2}}) (\frac{d}{d t} e^{- tX} (z _{2} z _{1}))_{∣ t = 0} = - \frac{\partial f}{\partial z _{1}} (X_{11} z_{1} + X_{12} z_{2}) - \frac{\partial f}{\partial z _{2}} (X_{21} z_{1} + X_{22} z_{2})

其中 $X_{j k}$ 是矩阵 $X$ 的分量。

计算 $X_{j} = - i \frac{σ _{j}}{2}$ （su(2) 的一个基）会发生什么，我们得到

(π_{n}^{'} (X_{3}) f) (z_{1}, z_{2}) = \frac{i}{2} (\frac{\partial f}{\partial z _{1}} z_{1} - \frac{\partial f}{\partial z _{2}} z_{2})

因此

π_{n}^{'} (X_{3}) = \frac{i}{2} (z_{1} \frac{\partial}{\partial z _{1}} - z_{2} \frac{\partial}{\partial z _{2}})

类似地

π_{n}^{'} (X_{1}) = \frac{i}{2} (z_{1} \frac{\partial}{\partial z _{2}} + z_{2} \frac{\partial}{\partial z _{1}}), π_{n}^{'} (X_{2}) = \frac{1}{2} (z_{2} \frac{\partial}{\partial z _{1}} - z_{1} \frac{\partial}{\partial z _{2}})

对于 $k = 0, \dots n$ 的 $z_{1}^{k} z_{2}^{n - k}$ 是 $S_{3} = i X_{3}$ 的特征向量，其特征值为 $\frac{1}{2} (n - 2 k)$ ，因为

π_{n}^{'} (S_{3}) z_{1}^{k} z_{2}^{n - k} = \frac{1}{2} (- k z_{1}^{k} z_{2}^{n - k} + (n - k) z_{1}^{k} z_{2}^{n - k}) = \frac{1}{2} (n - 2 k) z_{1}^{k} z_{2}^{n - k}

$z_{2}^{n}$ 将是表示 $(π_{n}, V^{n})$ 的一个显式最高权向量

这里需要注意的重要一点是，我们为 $π_{n}^{'}$ 找到的公式并非以矩阵表示。相反，我们已经看到，当我们使用 $C^{2}$ 上的函数来构造表示时，对于任意 $X \in gl (2, C)), π_{n}^{'} (X)$ ，都由一个微分算符给出。这些微分算符与 $n,$ 无关，同一个算符 $π^{'} (X)$ 作用于所有 $V^{n}$ 上。这是因为表示的原始定义

(π (g) f) (x) = f (g^{- 1} \cdot x)

位于 $C^{2}$ 上多项式的完整无限维空间上。虽然这个空间是无限维的，但分析的问题在这里实际上并不真正起作用，因为多项式函数本质上是一种代数构造。

将微分算符 $π^{'} (X)$ 限制到 $V^{n}$ ，即次数为 $n,$ 的齐次多项式上，它们便成为有限维空间上的线性算符。现在我们有了一个显式的最高权向量，以及相应不可约表示的一个显式构造。如果选取 $V^{n}$ 的一组基，那么线性算符 $π^{'} (X)$ 将由一个a $n$ + 1乘 $n + 1$ 矩阵给出。不过显然，将其表示为简单的一阶微分算符要容易处理得多。在后续章节将要研究的例子中，所考虑的表示往往是在函数空间上，而李代数表示则以微分算符的形式出现。与使用线性代数技巧 $to$ 求特征值和特征向量不同，特征向量方程将是一个偏微分方程，而我们的重点是利用李群及其表示论来求解此类方程。

我们尚未处理的一个问题是表示的酉性。我们需要在空间 $V^{n}$ 上定义厄米内积，这些内积将在我们于这些空间上已定义的 $S U (2)$ 的作用下保持不变。在空间 $M$ 上的函数上定义厄米内积的一种标准方法是使用积分来定义：对于 $M .$ 上的 $f, g$ 复值函数，取其内积为

⟨ f, g ⟩ = \int_{M} \overline{f} g

而对于 $M = C^{2}$ ，这给出了函数上的一个 $S U (2)$ 不变内积（一个对全群 $G L (2, C))$ 不变的内积，它对 $f, g$ 多项式无用，因为此类积分发散。在这种情况下， $C^{2}$ 上多项式函数的内积可由下式定义

⟨ f, g ⟩ = \frac{1}{π ^{2}} \int_{C^{2}} \overline{f (z_{1}, z_{2})} g (z_{1}, z_{2}) e^{- (∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2})} d x_{1} d y_{1} d x_{2} d y_{2} (8.2)

这里 $z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$ 。这类积分相当容易计算，因为它们可分解为分别关于 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 的积分，而其中每一个都可用极坐标和标准微积分方法处理。通过显式计算可以验证，这些多项式

\frac{z _{1}^{j} z _{2}^{k}}{j ! k !}

将构成该多项式函数空间关于此内积的一个正交标准基，而算符 $π^{'} (X), X \in su (2)$ 将是斜伴随的。

通过计算前几个不可约 $S U (2)$ 表示的例子，人们找到齐次多项式的表示空间 $V^{n}$ 的标准正交基如下

∙ For n = s = 0

∙ For n = 1, s = \frac{1}{2}

z_{1}, z_{2}

• 对于 $n$ = 2， $s$ = 1

\frac{1}{2} z_{1}^{2}, z_{1} z_{2}, \frac{1}{2} z_{2}^{2}

• 对于 $n$ = 3， $s$ = ³₂

\frac{1}{6} z_{1}^{3}, \frac{1}{2} z_{1}^{2} z_{2}, \frac{1}{2} z_{1} z_{2}^{2}, \frac{1}{6} z_{2}^{3}

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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译稿产物 SHA-256：1bfe8e6ce53b4101d488a2d0dbf64585014ce2ba6b0fc9cebbd346eb72a5e4b2

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