8.1 SU(2) 的表示：分类

8.1 SU(2) 的表示：分类

8.1.1 权分解

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 不可约表示 · 泡利矩阵

如果我们选定一个 a $U(1)\subset SU(2)$，那么给定 $SU(2)$ 的任意一个维数为 $m_{;}$ 的表示 $(\pi ,V)$，通过限制到 $U(1)$ 子群，我们得到 $U(1)$ 的一个表示 $({\pi }_{|U(1)},V)$。由于我们知道 $U(1)$ 的不可约表示的分类，我们知道

$$(\pi {|}_{U(1)},V)={\mathbf{C}}_{q_1}\oplus {\mathbf{C}}_{q_2}\oplus \cdots \oplus {\mathbf{C}}_{q_m}$$

对某些 $q_1,q_2,\cdot \cdot \cdot ,q_m\in \mathbf{Z}$，其中 ${\mathbf{C}}_q$ 表示 $U(1)$ 对应于整数 $q$ 的一维表示（定理 2.3）。这些 $q_j$ 称为表示 $V$ 的 ${}^{66}{\mathrm{weights}}^3$。它们与第 2 章中讨论的“荷”完全相同，但这里我们更倾向于数学家的术语，因为这里的 $U(1)$ 出现的语境与电磁学及其电荷相去甚远。

由于我们标准坐标选择（泡利矩阵）挑出了$z$方向，并将对应于绕该轴旋转的$U(1)$子群的作用对角化，因此我们将选择这个$U(1)$子群来定义$SU(2)$表示$V$的权。这就是$SU(2)$中具有以下形式的元素所构成的子群

$$\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{-i\theta }\end{array}\right)$$

我们将一个 $SU(2)$ 表示 $(\pi ,V)$ 分解为该 $U(1)$ 子群的不可约表示，这等价于说我们可以选取 $V$ 的一个基，使得

$$\pi \left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{-i\theta }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{e}^{i\theta q_1}& 0& \dots & 0\\ 0& e^{i\theta q_2}& \dots & 0\\ \dots & & & \dots \\ 0& 0& \dots & e^{i\theta q_m}\end{array}\right)$$

整数集合 $q_j$ 的一个重要性质如下：

定理

$Ifq$ 属于集合 $\{q_j\}$，因此 $is-q$

证明

回忆一下，如果我们将一个酉矩阵对角化，对角线元素就是特征值，但它们的顺序是不确定的：对这些特征值作用置换，我们会得到同一矩阵的不同对角化。在 $SU(2)$ 的情形下，该矩阵

$$P=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

具有这样的性质：用它进行共轭会置换对角元素，特别地

$$P\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{-i\theta }\end{array}\right)P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\theta }& 0\\ 0& e^{i\theta }\end{array}\right)$$

因此

$$\pi (P)\pi (\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{-i\theta }\end{array}\right))\pi (P{)}^{-1}=\pi (\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\theta }& 0\\ 0& e^{i\theta }\end{array}\right))$$

我们看到 $\pi (P)$ 给出 $V$ 的一个基变换，使得 $U(1)$ 子群上的表示矩阵与之前相同，且 $\theta -\theta$。在表示矩阵中改变 $\theta -\theta$ 等价于改变权重 $q_j$ 的符号。集合 $\{q_j\}$ 的元素与基无关，因此符号改变下的额外对称性意味着对于集合中的每个非零元素，都存在另一个具有相反符号的元素。□

考察我们目前的三个例子，可以看到，限制在 $U(1)$ 上时，标量或自旋 0 表示当然是一维的且权为 0

$$({\pi }_0,\mathbf{C})={\mathbf{C}}_0$$

而自旋 $\frac{1}{2}$ 表示分解为权为 $-1,+1$ 的 $U(1)$ 不可约表示：

$$({\pi }_1,{\mathbf{C}}^2)={\mathbf{C}}_{-1}\oplus {\mathbf{C}}_{+1}$$

对于自旋 1 表示，回忆（定理 6.1）二重覆盖同态 $\Phi$ 将

$$\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{-i\theta }\end{array}\right)\in SU(2)\to \left(\begin{array}{ccc}\cos 2\theta & \sin 2\theta & 0\\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\in SO(3)$$

用上述 $SO(3)$ 矩阵作用于 ${\mathbf{C}}^3$ 将给出 ${\mathbf{C}}^3$ 的一个酉变换，因此它属于群 $U(3)$ 。可以证明，左上对角 2 乘 2 块以权 $-2,+2.$ 作用于 ${\mathbf{C}}^2$ ，而右下元素平凡地作用于 ${\mathbf{C}}^3$ 的剩余部分，后者是权为 0 的一维表示。因此，限制到 $U(1)$ 上，自旋 1 表示分解为

$$({\pi }_2,{\mathbf{C}}^3)={\mathbf{C}}_{-2}\oplus {\mathbf{C}}_0\oplus {\mathbf{C}}_{+2}$$

回忆一下，$SU(2)$ 的自旋 1 表示通常被称为“向量”表示，因为它以这种方式通过 $SO(3)$ 在三维向量上的旋转表示进行分解。

8.1.2 李代数表示：升算符与降算符

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 群表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 李群 · 复化

为了进一步刻画 $(\pi ,V)$ 的表示 $SU(2)$，我们不仅需要使用所选 $U(1)$ 子群的作用，还需要使用群元素在远离单位元的另外两个方向上的作用。群的非交换性使我们无法同时对角化这些作用并为其赋予权重。然而，我们可以转而使用 $\mathfrak{su}(2)$ 的相应李代数表示 $({\pi }^{\prime },V)$。与 $U(1)$ 的情形一样，群表示由李代数表示决定。我们将看到，对于李代数表示，我们可以利用 $\mathfrak{su}(2)$ 的复化（回忆 5.5 节）$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ 来进一步分析可能的权重模式。

回忆一下，李代数 su(2) 可以被视为 $SU(2)$ 在恒等元处的切空间 ${\mathbf{R}}^3$，其基由三个斜伴随 2 乘 2 矩阵给出

$$X_j=-i\frac{1}{2}{\sigma }_j$$

它们满足对易关系

$$[X_1,X_2]=X_3,[X_2,X_3]=X_1,[X_3,X_1]=X_2$$

我们将经常使用满足下式的自伴版本 $S_j=i{X}_j$

$$[S_1,S_2]=i{S}_3,[S_2,S_3]=i{S}_1,[S_3,S_1]=i{S}_2$$

$SU(2)$ 的维数为 $m$ 的酉表示 $(\pi ,V)$ 由一个同态给出

$$\pi :SU(2)\to U(m)$$

我们可以对此求导，得到 $SU(2)$ 与 $U(m)$ 在各自群的单位元处的切空间之间的一个映射，从而得到一个李代数表示

$${\pi }^{\prime }:\mathfrak{su}(2)\to \mathfrak{u}(m)$$

其将斜伴随 2 乘 2 矩阵映为斜伴随 $m$ 乘 $m$ 矩阵，并保持交换关系。

我们在 8.1.1 节中已经看到，将表示 $(\pi ,V)$ 限制到 $SU(2)$ 的对角 $U(1)$ 子群并分解为不可约表示，这告诉我们，我们可以选择 $V$ 的一组基，使得

$$(\pi ,V)=({\pi }_{q_1},\mathbf{C})\oplus ({\pi }_{q_2},\mathbf{C})\oplus \cdots \oplus ({\pi }_{q_m},\mathbf{C})$$

对于我们选择 $U(1)$ 作为形式为

$$e^{i2\theta S_3}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{-i\theta }\end{array}\right)$$

当 $\theta$ 从 $0$ 变到 $2\pi$ 时，$e^{i\theta }$ 绕 $U(1)$ 一周，这意味着我们可以选择 $V$ 的一组基，使得

$$\pi (e^{i2\theta S_3})=\left(\begin{array}{cccc}{e}^{i\theta q_1}& 0& \dots & 0\\ 0& e^{i\theta q_2}& \dots & 0\\ \dots & & & \dots \\ 0& 0& \dots & e^{i\theta q_m}\end{array}\right)$$

对这个表示求导以得到李代数表示，使用

$${\pi }^{\prime }(X)=\frac{d}{d\theta }\pi (e^{\theta X}){|}_{\theta =0}$$

对于$X=i2S_3$，我们得到

$${\pi }^{\prime }(i2S_3)=\frac{d}{d\theta }{\left(\begin{array}{cccc}{e}^{i\theta q_1}& 0& \dots & 0\\ 0& e^{i\theta q_2}& \dots & 0\\ \dots & & & \dots \\ 0& 0& \dots & e^{i\theta q_m}\end{array}\right)}_{|\theta =0}=\left(\begin{array}{cccc}i{q}_1& 0& \dots & 0\\ 0& i{q}_2& \dots & 0\\ \dots & & & \dots \\ 0& 0& \dots & i{q}_m\end{array}\right)$$

回忆一下，${\pi }^{\prime }$ 是从实向量空间 $(\mathfrak{su}(2)={\mathbf{R}}^3)$ 到另一个实向量空间 $(\mathfrak{u}(n)$（即由 $m$ 阶复矩阵构成的斜厄米 $m$）的实线性映射。如第 $5.5,$ 节所讨论的，我们可以利用复线性性将任何这样的映射延拓为从 $\mathfrak{su}(2{)}_{\mathrm{C}}$（$\mathfrak{su}(2))$ 的复化）到 $\mathfrak{u}(m{)}_{\mathbf{C}}$（$\mathfrak{u}(m),$ 的复化）的复线性映射。由于 $\mathfrak{su}(2)\cap i\mathfrak{su}(2)=0$，且 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ 的任何元素都可以写成 $\mathfrak{su}(2)$ 的一个元素乘以一个复数，我们有

$$\mathfrak{su}(2{)}_{\mathbf{C}}=\mathfrak{su}(2)+i\mathfrak{su}(2)=\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$$

类似地

$$\mathfrak{u}(m{)}_{\mathbf{C}}=\mathfrak{u}(m)+i\mathfrak{u}(m)=M(m,\mathbf{C})=\mathfrak{gl}(m,\mathbf{C})$$

例如，将 $X=i2S_3\in \mathfrak{su}(2)$ 乘以 $-\frac{i}{2}$，我们得到 $S_3\in \mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$，并且矩阵 ${\pi }^{\prime }(i2S_3)$ 中的对角元素也乘以 $-\frac{i}{2}$（因为 ${\pi }^{\prime }$ 现在是复线性映射），得到

$${\pi }^{\prime }(S_3)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{q_1}{2}& 0& \dots & 0\\ 0& \frac{q_2}{2}& \dots & 0\\ \dots & & & \dots \\ 0& 0& \dots & \frac{q_m}{2}\end{array}\right)$$

我们看到 ${\pi }^{\prime }(S_3)$ 将具有半整数特征值，并作出以下定义：

定义（权与权空间）

若 $If{\pi }^{\prime }(S_3)$ 具有特征值 $\frac{k}{2}$，则称 $k$ 为表示 $(\pi ,V)$ 的一个权

表示$V$的满足以下条件的子空间$V_k\subset V$

$$v\in V_k⟹{\pi }^{\prime }(S_3)v=\frac{k}{2}v$$

称为该表示的第 $k$ 个权空间。其中所有向量都是 ${\pi }^{\prime }(S_3)$ 的特征向量，特征值为 $\frac{k}{2}$。

维数 dim $V_k$ 称为权 $k$ 在表示 $(\pi ,V)$ 中的重数。

$S_1$ 与 $S_2$ 不与 $S_3,$ 对易，因此它们不会保持子空间 $V_k$，我们也就无法将它们与 $S_3$ 同时对角化。然而，我们可以利用我们处于复化 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ 中这一事实，构造 $S_1$ 与 $S_2$ 的两个复线性组合，它们会做出一些有趣的事情：

定义（升算符与降算符）

设

$$S_{+}=S_1+i{S}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),S_{-}=S_1-i{S}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$

我们有 $S_{+},S_{-}\in \mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$。它们既不是自伴的，也不是斜伴随的，但满足

$$(S_{\pm }{)}^{†}=S_{\mp }$$

类似地，我们有

$${\pi }^{\prime }(S_{\pm }{)}^{†}={\pi }^{\prime }(S_{\mp })$$

我们称 ${\pi }^{\prime }(S_{+})a$ 为表示 $(\pi ,V)$ 的“升算符”，而 ${\pi }^{\prime }(S_{-})$ a 为“降算符”。

这一术语的理由在于以下计算：

$$[S_3,S_{+}]=[S_3,S_1+i{S}_2]=i{S}_2+i(-i{S}_1)=S_1+i{S}_2=S_{+}$$

这意味着（因为${\pi }^{\prime }$是李代数同态）

$${\pi }^{\prime }(S_3){\pi }^{\prime }(S_{+})-{\pi }^{\prime }(S_{+}){\pi }^{\prime }(S_3)={\pi }^{\prime }([S_3,S_{+}])={\pi }^{\prime }(S_{+})$$

对于任意 $v\in V_k$，我们有

$${\pi }^{\prime }(S_3){\pi }^{\prime }(S_{+})v={\pi }^{\prime }(S_{+}){\pi }^{\prime }(S_3)v+{\pi }^{\prime }(S_{+})v=(\frac{k}{2}+1){\pi }^{\prime }(S_{+})v$$

因此

$$v\in V_k⟹{\pi }^{\prime }(S_{+})v\in V_{k+2}$$

线性算符${\pi }^{\prime }(S_{+})$将具有确定权重的向量变为具有相同权重加2的向量（因此有“升算符”这一术语）。类似的计算表明，${\pi }^{\prime }(S_{-})$将$V_k$变为$V_{k-2}$，使权重降低2。

我们现在准备分类 $SU(2)$ 的所有有限维不可约酉表示 $(\pi ,V)$。我们定义：

定义（最高权与最高权向量）

一个非零向量 $v\in V_n\subset V$，使得

$${\pi }^{\prime }(S_{+})v=0$$

称为最高权向量，最高权为$n$。

不可约表示将由一个最高权向量来刻画，如下所述

定理（最高权定理）

$SU(2)$ 的有限维不可约表示具有如下形式的权

$$-n,-n+2,\dots ,n-2,n$$

对于$n$一个非负整数，每个重数为1，其中$n$是一个最高权。

证明。有限维性意味着存在一个最高权$n$，并且我们可以选取任意最高权向量$v_n\in V_n$。对$v_n$反复应用${\pi }^{\prime }(S_{-})$将得到新的向量

$$v_{n-2j}={\pi }^{\prime }(S_{-}{)}^j{v}_n\in V_{n-2j}$$

其权重为 $n-2j$

考虑 $v_{n-2j},j\ge 0$ 的张成或生成的子空间。要证明这是一个表示，需要证明 ${\pi }^{\prime }(S_3)$ 和 ${\pi }^{\prime }(S_{+})$ 使其保持不变。对于 ${\pi }^{\prime }(S_3)$ 这是显然的，对于 ${\pi }^{\prime }(S_{+})$ 可以证明

$${\pi }^{\prime }(S_{+})v_{n-2j}=j(n-j+1)v_{n-2(j-1)}\text{\hspace{1em}(8.1)}$$

通过归纳论证。对于$j=0$，这是关于$v_n$的最高权条件。假设对$j,$成立，则对$j+1$的成立可通过以下方式验证：

$$\begin{array}{rl}{\pi }^{\prime }(S_{+})v_{n-2(j+1)}& ={\pi }^{\prime }(S_{+}){\pi }^{\prime }(S_{-})v_{n-2j}\\ & =({\pi }^{\prime }([S_{+},S_{-}])+{\pi }^{\prime }(S_{-}){\pi }^{\prime }(S_{+}))v_{n-2j}\\ & =({\pi }^{\prime }(2S_3)+{\pi }^{\prime }(S_{-}){\pi }^{\prime }(S_{+}))v_{n-2j}\\ & =((n-2j)v_{n-2j}+{\pi }^{\prime }(S_{-})j(n-j+1)v_{n-2(j-1)}\\ & =((n-2j)+j(n-j+1))v_{n-2j}\\ & =(j+1)(n-(j+1)+1)v_{n-2((j+1)-1)}\end{array}$$

其中我们使用了交换关系

$$[S_{+},S_{-}]=2S_3$$

由有限维性，必存在某个整数$k$，使得对于$j\le k,$有$v_{n-2j}\ne 0$，且对于$j=k+1$有$v_{n-2j}=0$。但这样一来，对于$j=k+1$，我们必须有

$${\pi }^{\prime }(S_{+})v_{n-2j}=0$$

根据方程 8.1，这只会对 $k+1=n+1$ 发生（并且我们需要取 $n$ 为正）。于是我们看到，$v_{-n}$ 将是 a “最低权向量”，被 ${\pi }^{\prime }(S_{-})$ 湮灭。正如预期的那样，权模式在符号改变下不变，且非零权空间对应于

$$-n,-n+2,\dots ,n-2,n$$

题外话。放弃有限维的要求后，从最高权向量出发并反复应用降算符的同一构造可用于产生李代数 su(2) 或 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ 的无限维不可约表示。当最高权不是非负整数时，就会出现这些表示，而且它们将是非可积表示（李代数的表示，但不是李群的表示）。

由于我们在 8.1.1 节中看到，可以通过考察表示在我们所选 $U(1)\subset SU(2)$ 作用下的权集合来研究表示，因此我们可以用一个非负整数 $n,$（最高权）来标记 $SU(2)$ 的不可约表示。这样的表示维数为 $n+1$，其权为

$$-n,-n+2,\dots ,n-2,n$$

每个权都以重数一出现，并且我们有

$$({\pi }_{|U(1)},V)={\mathbf{C}}_{-n}\oplus {\mathbf{C}}_{-n+2}\oplus \dots {\mathbf{C}}_{n-2}\oplus {\mathbf{C}}_n$$

从最高权向量或最低权向量出发，通过反复作用降算符或升算符，可以生成该表示的一组基。需要牢记的图景是这样的

图 8.1：以升算符和降算符表示的 $SU(2)$ 表示的基。

其中所有向量空间都是 $\mathbf{C},$ 的副本，且所有映射都是同构（乘以不同的数）。

总之，我们看到所有不可约有限维酉 $SU(2)$ 表示都可以由一个非负整数，即最高权 $n$ 来标记。这些表示的维数为 $n+1$，我们将把它们记作 $({\pi }_n,V^n=$ ${\mathbf{C}}^{n+1})$。注意 $V_n$ 是第 $n$ 个权空间，$V^n$ 是最高权为 $n$ 的表示。物理学家的术语不使用 $n$，而使用 $\frac{n}{2}$，并称这个数为该表示的 ${}^6{\mathrm{spin}}^{\gamma }\mathrm{of}$。到目前为止，我们已经看到了最低的三个例子 $n=0,1,2$，或自旋 $\begin{array}{r}s=\frac{n}{2}=0,\frac{1}{2},1\end{array}$，但还存在无穷多个更大的不可约表示，其维数为 $V_n=n\overline{+}1=\bar{2}s+1$

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来源版本：2025-10-20

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