B.12 第24章至第26章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 不可约表示

问题 1：

考虑二维谐振子，其哈密顿算子为

H = \frac{1}{2 m} (P_{1}^{2} + P_{2}^{2}) + \frac{1}{2} m ω^{2} (Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2})

有两个不同的 $U (1) = S O (2)$ 群作为对称性作用在该系统的相空间上，并具有相应的算符：

• 位置空间上的旋转作用，同时伴随动量空间上的旋转作用。这里的算符将是 $d = 2$ 角动量算子 $Q_{1} P_{2} - Q_{2} P_{1}$

• 在 $q_{1}, p_{1}$ 和 $q_{2}, p_{2}$ 平面中的同时旋转。这里的算符将是哈密顿算子。

对于每种情形，状态空间 $H = F_{2}$ 将是群 $U (1) = S O (2)$ 的一个表示。对于每个能量特征子空间，哪些不可约表示（权重）会出现？这两个算符相应的联合本征函数是什么？

考虑三维谐振子，其哈密顿算子为

H = \frac{1}{2 m} (P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}) + \frac{1}{2} m ω^{2} (Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2} + Q_{3}^{2})

• 群 $S O (3)$ 通过位置空间 $R^{3}$ 的旋转作用于系统，而相应的李代数在状态空间 $F_{3}$ 上的作用在第 25.4.2 节中作为算符给出

U_{l_{1}}^{'}, U_{l_{2}}^{'}, U_{l_{3}}^{'}

取指数以通过算符 $U (g)$ 得到 $S O (3)$ 表示，证明此类算符通过共轭作用在 $a_{j}$ 上

a_{j} \to U (g) a_{j} U (g)^{- 1}

得到与 $R^{3}$ 上坐标旋转的标准作用相同的作用

• 能量特征子空间是子空间 $H^{n} \subset H$ ，其总数为特征值 $n$ 。这些是 $S U (3)$ 的不可约表示。它们也是 $S O (3)$ 旋转作用的表示。推导 $S O (3)$ 的哪些不可约表示会出现在 $H^{n}$ 中的规则

问题3：

证明方程 26.16 的关系。

问题 4：

计算

_{τ} ⟨ 0∣ N ∣0 ⟩_{τ}

作为 $τ,$ 的函数，对于 $∣0 ⟩_{γ}$ ，即方程26.19的压缩态，而 $N$ 是通常的数算符。

来源与版本

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核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 537、538、539、540、541、542、543、544、545、546、547、548、549、550、551、552、553、554、555、556

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：7f317d1896fa748af4cb9570310ed7801a8bef7ef97dd5d1d2ea35f0099d5952

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash