B.18 第40章至第42章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 伴随表示 · 复化

问题 1：

若 $P_{0}, P_{j}, L_{j}, K_{j}$ 是庞加莱 e 群的任意李代数表示中对应于该群李代数的基元素 $t_{0}, t_{j}, l_{j}, k_{j}$ 的算符，证明该算符

- P_{0}^{2} + P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}

与 $P_{0}, P_{j}, L_{j}, K_{j}$ 对易，因此是庞加莱e李代数的卡西米尔算符。

问题2：

证明李代数 $so (4, C)$ 是 sl(2, $C$ ) ⊕ sl(2, $C$ )。在该李代数中，识别群 Spin(4)、Spin(3, 1) 和 $S p in (2, 2)$ 的子李代数。

问题3：

用4乘4矩阵给出Cliford代数Clif(4, 0)的一个显式实现（对于本例为 $(γ$ 矩阵），并利用它把群 $S p in (4)$ 实现为4乘4矩阵构成的群（提示：回忆自旋群的李代数由两个生成元的乘积给出）。利用这些矩阵，显式构造 $S p in (4)$ 在两类半旋量上、在复化向量 $(C^{4})$ 上以及在李代数上的伴随表示。

问题 4：

泡利-鲁班斯基算符是四分量算符

W_{0} = - P \cdot L, W = - P_{0} L + P \times K

（与问题1中的记号相同）证明

W^{2} = - W_{0} W_{0} + W_{1} W_{1} + W_{2} W_{2} + W_{3} W_{3}

与能量-动量算符 $(P_{0}, P)$ 对易

证明 $W^{2}$ 是庞加莱 e 李代数的一个卡西米尔算符。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 537、538、539、540、541、542、543、544、545、546、547、548、549、550、551、552、553、554、555、556

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：7f317d1896fa748af4cb9570310ed7801a8bef7ef97dd5d1d2ea35f0099d5952

译稿产物 SHA-256：990cbfa689456f304078547957a949f29a27c8ecb8b9969826d93f3e363e800f

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