42.3 按轨道对表示进行分类

42.3 按轨道对表示进行分类

洛伦兹群通过 ${\mathbf{R}}^4$ 作用于能量-动量空间

$$p\to \Lambda p$$

并且，仅关注 $p_0{p}_3$ 平面时，轨道的图像如下所示

图 42.1：向量在洛伦兹群下的轨道。

与欧氏群的情形不同，这里存在几种不同类型的轨道${\mathcal{O}}_p$。我们将逐一考察它们以及相应的稳定化子群$K_p$，并看看关于相关表示能说些什么。

42.3.1 正能量类时轨道

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 群表示 · 不可约表示

得到卡西米尔算符 $P^2$ 的负值 $-m^2$ 的一种方法是取向量 $p=(m,0,0,0),m>0$，并通过用洛伦兹群作用于它来生成轨道 ${\mathcal{O}}_{(m,0,0,0)}$。这将是双叶双曲面的上叶，即正能量叶。

$$-p_0^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2=-m^2$$

因此

$$p_0=\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2+m^2}$$

$K_{(m,0,0,0)}$ 的稳定化子群是 $SO(3,1)$ 中形如

$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& R\end{array}\right)$$

其中 $R\in SO(3)$ ，因此 $K_{(m,0,0,0)}=SO(3)$ 。该群的不可约表示按自旋分类。对于自旋 0，双曲面上的点可以等同于一个称为克莱因-戈尔登方程的波方程的正能量解，而双曲面上的函数既对应于该方程所有解构成的空间，又承载庞加莱 e 群的一个不可约表示。这一情形将在第 43 章和第 44 章中详细研究。我们将在第 ${}^{47}:$ 章研究自旋 $\frac{1}{2}$ 的情形，其中必须使用 $SO(3)$ 的双重覆盖 $SU(2)$ 。庞加莱 e 群的表示将作用于轨道上的函数，这些函数取值于 $SU(2)$ 的旋量表示的两个副本。这些将对应于一个称为有质量狄拉克方程的波方程的解。对于稳定子群的更高自旋表示的选择，人们同样可以找到适当的波方程并在其解空间上构造庞加莱 e 群表示（尽管通常还需要附加的辅助条件），但我们不会进入这一主题。

对于 $p=(m,0,0,0)$，泡利-鲁班斯基算符将为

$$W_0=0,\mathbf{W}=-m\mathbf{J}$$

而第二个卡西米尔算符将是

$$W^2=m^2{J}^2$$

因此，$W^2$ 的特征值与 $J^2$ 的特征值成比例，后者是空间旋转子群的卡西米尔算符。这些特征值同样由自旋 $s,$ 给出，并将取值为 $s(s+1)$。这些特征值对表示的分类与稳定子群的分类一致。

42.3.2 负能量类时轨道

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 群表示

改为从能量-动量向量 $p=(-m,0,0,0),m>0,$ 出发，所得到的轨道 ${\mathcal{O}}_{(-m,0,0,0)}$ 是双曲面的下部的负能量分量

$$-p_0^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2=-m^2$$

满足

$$p_0=-\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2+m^2}$$

同样地，稳定子群 $K_{(-m,0,0,0)}=SO(3)$ 以及各种自旋的波动方程和其解空间上 Poincar´e 群表示的构造，都与正能量情形相同。由于负能量导致不稳定、非物理的理论，我们将看到这些表示在量子化下受到不同处理，物理上对应的不是粒子，而是反粒子。

42.3.3 类空轨道

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 酉表示

通过考虑向量 $p=(0,0,0,m)$ 的轨道 ${\mathcal{O}}_{(0,0,0,m)}$，可以得到 Casimir $P^2$ 的正值 $m^2$。这是一个单叶双曲面，

满足该方程

$$-p_0^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2=m^2$$

不难看出，该轨道的稳定化子群是 $K_{(0,0,0,m)}=$ $SO(2,1)$。它同构于群 $SL(2,\mathbf{R})$，并且没有有限维酉表示。这些轨道在物理上对应于“快子”，即运动速度超过光速的粒子，而目前尚无已知方法能将它们一致地纳入传统理论之中。

42.3.4 零轨道

Casimir $P^2$ 为零的最简单情形是点 $\mathbf{p}=(0,0,0,0)$ 的平凡情形。它在整个洛伦兹群下不变，因此轨道 ${\mathcal{O}}_{(0,0,0,0)}$ 只是一个单点，而稳定化子群 $K_{(0,0,0,0)}$ 就是整个洛伦兹群 $SO(3,1)$。对于 $SO(3,1)$ 的每个有限维表示，都得到 Poincaré e 群的一个相应的有限维表示，其中平移作用平凡。这些表示不是酉的，因此不能用于我们的目的。注意，这些表示不能由第二个 Casimir $W^2$ 的值来区分，因为对它们而言该值均为零。

42.3.5 正能量零轨道

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 酉表示 · 不可约表示

不仅动量空间中的零向量满足 $P^2=0$，一个三维的能量-动量向量集合也满足，该集合称为零锥。$\mathrm{By}$“锥”这一术语，指的是若一个向量属于该空间，则该向量与任意正数的所有乘积也属于该空间。当向量 $p=(p_0,p_1,p_2,p_3)$ 满足

$$p^2=-p_0^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2=0$$

一个这样的向量是 $p=(|\mathbf{p}|,0,0,|\mathbf{p}|)$，而该向量在洛伦兹群作用下的轨道将是完整零锥的上半部分，即能量满足 $p_0>0$ 的那一半，满足

$$p_0=\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2}$$

结果表明，$p=(|\mathbf{p}|,0,0,|\mathbf{p}|)$ 的稳定化子群 $K_{|\mathbf{p}|,0,0,|\mathbf{p}|}$ 是 $E(2)$，即平面的欧氏群。看出这一点的一种方法是使用矩阵表示 42.1，它明确给出了庞加莱e李代数在闵可夫斯基空间向量上的作用，并注意到

$$l_3,l_1+k_2,l_2-k_1$$

每个都在$(|\mathbf{p}|,0,0,|\mathbf{p}|)$上平凡作用，$l_3$是关于3轴的空间无穷小旋转。定义

$$b_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(l_1+k_2),b_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(l_2-k_1)$$

并计算对易子

$$[b_1,b_2]=0,[l_3,b_1]=b_2,[l_3,b_2]=-b_1$$

我们看到，李代数的这三个元素是某个李代数基，该李代数同构于$E(2)$的李代数。

回忆第19.1节，$E(2)$有两种不可约酉表示：

• 使得两个平移作用平凡的表示。这些是 $SO(2)$ 的不可约表示，因此是一维的，并由一个整数 $n$ 刻画（当使用庞加莱 e 群的双覆盖时，为半整数）。

• 半径为$r$的圆上函数空间上的无限维不可约表示。

这两种情形中的第一种对应于庞加莱e群的不可约表示，由整数$n,$标记，该整数称为表示的“螺旋度$5{\mathrm{y}}^5$”。给定该表示，$n$将是$J_3$作用在能量-动量本征空间上的本征值，该空间的能量-动量为$(|\mathbf{p}|,0,0,|\mathbf{p}|)$。在后续章节中，我们将考虑$n=0$（无质量标量，波动方程为克莱因-戈尔登方程）、$n=\pm \frac{1}{2}(\mathrm{Weyl}$旋量，波动方程为韦尔方程）以及$n=\pm 1$（光子，波动方程为麦克斯韦方程组）的情形。$E(2)$的第二类表示对应于庞加莱e群的表示，称为“连续自旋”表示，但这些似乎不对应于任何已知的物理现象。

计算泡利-卢班斯基算符的分量，可得

$$W_0=-|\mathbf{p}|J_3,W_1=-|\mathbf{p}|(J_1+K_2),W_2=-|\mathbf{p}|(J_2-K_1),W_3=-|\mathbf{p}|J_3$$

定义

定义

$$B_1=\frac{1}{\sqrt{2}}|\mathbf{p}|(J_1+K_2),B_2=\frac{1}{\sqrt{2}}|\mathbf{p}|(J_2-K_1)$$

第二个卡西米尔算符由下式给出

$$W^2=2|\mathbf{p}|(B_1^2+B_2^2)$$

它是 $E(2)$ 的卡西米尔算符。它在连续自旋表示上取非零值，但对于 $E(2)$ 平移作用平凡的表示则为零。因此，它不能区分不同螺旋度的无质量庞加莱 e 表示。

42.3.6 负能量零轨道

转而考察 $p=\left(-|\mathbf{p}|,0,0,|\mathbf{p}|\right)$ 的轨道，就得到零锥的负能量部分。与非零质量 $m_{;}$ 的类时双曲面一样，这些将对应于反粒子而非粒子，其分类与正能量情形相同。

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来源版本：2025-10-20

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