酉群 (unitary group)

别名：Unitary group

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§2.3 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§2.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§2.3 · zh-CN · translation · unreviewed

例 2.15

复矩阵 $\mathsf{A}$ 的伴随矩阵(adjoint)（共轭转置）定义为 ${\mathsf{A}}^{†}=\overline{{\mathsf{A}}^T}$，分量为 $a_{ij}^{†}=\overline{a_{ji}}$；复数上的横线表示复共轭。若 $n\times n$ 复矩阵 $\mathsf{U}$ 满足

$$\mathsf{U}{\mathsf{U}}^{†}=\mathsf{I},\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

则称它为酉矩阵(unitary matrix)。立即可得

$$\det \mathsf{U}\overline{\det \mathsf{U}}=|\det \mathsf{U}{|}^2=1.$$

因而存在实数 $\varphi \in [0,2\pi )$，使 $\det \mathsf{U}=e^{i\varphi }$。所有酉矩阵都非奇异，群性质也容易验证。全体 $n\times n$ 酉矩阵组成$n$ 阶酉群(unitary group)，记作 $U(n)$。其中行列式为 $1$ 的酉矩阵组成$n$ 阶特殊酉群(special unitary group)，记作 $SU(n)$。

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§1.3 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§1.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§4.6	zh-CN · 英文上下文	定义入口
§4.6	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于定义入口环境中
§4.6	en · 中文上下文	定义入口
§4.6	en · 中文上下文	术语出现；位于定义入口环境中
§5.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§5.2	en · 中文上下文	术语出现
§5.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§5.2	en · 中文上下文	术语出现
§5.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§5.3	en · 中文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§1.3 · zh-CN · translation · unreviewed

对于酉表示，矩阵 $\pi (g)$ 的取值属于酉群(unitary group) $U(n)\subset GL(n,\mathbf{C})$。在我们回顾线性代数（第 4 章）时，将看到 $U(n)$ 可刻画为满足下式的 $n\times n$ 复矩阵 $U$ 构成的群：

§4.6 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 酉群(unitary group)

定义（酉群(unitary group)）。$n$维的酉群$U(n)$是保持复$n$维向量空间$V$上厄米内积的可逆变换构成的群。它同构于满足以下条件的$n$乘$n$复可逆矩阵构成的群：

$$L^{-1}={\overline{L}}^T=L^{†}$$

§4.6 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Definition · Unitary group

Definition (Unitary group). The unitary group $U(n)$ in $n$ dimensions is the group of invertible transformations preserving a Hermitian inner product on a complex $n$ dimensional vector space $V$ . This is isomorphic to the group of $n$ by $n$ complex invertible matrices satisfying

$$L^{-1}={\overline{L}}^T=L^{†}$$

§5.2 · zh-CN · translation · unreviewed

我们最感兴趣的是保持内积的线性变换群：正交群(orthogonal group)与酉群(unitary group)。我们已经看到，正交群是 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbf{R})$ 的子群，酉群是 $GL(n,\mathbf{C})$ 的子群；它们的元素 $\Omega$ 均满足下式

§5.2 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

The groups we are most interested in are the groups of linear transformations preserving an inner product: the orthogonal group and unitary group. We have seen that these are subgroups of $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbf{R})$ or $GL(n,\mathbf{C})$ , consisting of those elements $\Omega$ satisfying the condition

§5.2 · zh-CN · translation · unreviewed

对于酉群(unitary group) $U(n)$，酉性条件要求 $X$ 是斜伴随矩阵(skew-adjoint matrix)（也称为斜厄米矩阵(skew-Hermitian matrix)），并满足

§5.2 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

For the case of the unitary group $U(n)$, the unitarity condition implies that $X$ is skew-adjoint (also called skew-Hermitian), satisfying

§5.3 · zh-CN · translation · unreviewed

• 酉群(unitary group) $U(n)\subset GL(n,\mathbf{C})$ 由满足 ${\Omega }^{†}={\Omega }^{-1}$ 的 $n\times n$ 复矩阵 $\Omega$ 构成。其李代数 $\mathfrak{u}(n)$ 由满足 $X^{†}=-X$ 的 $n\times n$ 斜厄米矩阵构成。

§5.3 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

• The unitary group $U(n)\subset GL(n,\mathbf{C})$ consists of $n\times n$ complex matrices $\Omega$ satisfying ${\Omega }^{†}={\Omega }^{-1}$. Its Lie algebra $\mathfrak{u}(n)$ consists of $n\times n$ skew-Hermitian matrices $X$, satisfying $X^{†}=-X$.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#example-2-15”
• [第 4 章](../chapter-04/index#section-4)

编辑导读与作者比较

既有 Luna 编排；独立机器审阅，尚未人工复核。冻结输入与审阅记录保留于原档案。

酉群 $U(n)$ 是复 $n$ 维向量空间上保持厄米内积的可逆线性变换所成的群；选定正交规范基后，矩阵条件为 $L^{-1}=L^{†}$。 Woit · §4.6；Woit · §4.6

对 $n\times n$ 复矩阵 $U$，酉条件可写为 $U{U}^{†}=I$；共轭转置是其逆矩阵，且行、列向量分别正交归一。 Woit · §4.6；Woit · §4.6；Szekeres · §2.3

$U(n)$ 中行列式为 $1$ 的矩阵构成特殊酉群 $SU(n)$；一般酉矩阵的行列式模长为 $1$，行列式映射取值于 $U(1)$。 Woit · §4.6；Woit · §4.6；Szekeres · §2.3

Woit · 作者条件与约定

Woit先从保持内积的可逆变换及伴随条件说明酉性，再在复情形定义 $U(n)$；随后区分行列式为 $1$ 的子群 $SU(n)$，并用行列式映射联系 $U(1)$。

条件：对象是带厄米内积的复 $n$ 维向量空间 $V$ 上的可逆变换；矩阵形式满足 $L^{-1}={\overline{L}}^T=L^{†}$。

记号：$L^{†}$ 表示伴随（共轭转置）；$U(n)$ 为酉群，$SU(n)$ 为其中行列式为 $1$ 的子群。

Woit · §4.6；Woit · §4.6

Szekeres · 作者条件与约定

Szekeres先定义复矩阵的伴随为共轭转置，再以 $U{U}^{†}=I$ 定义酉矩阵；所有 $n\times n$ 酉矩阵组成 $U(n)$，行列式为 $1$ 的部分组成 $SU(n)$。

条件：$U$ 是 $n\times n$ 复矩阵且满足 $U{U}^{†}=I$；由此可得它非奇异且 $|\det U|=1$。

记号：$U^{†}=\overline{U^T}$ 是伴随矩阵；$U(n)$ 和 $SU(n)$ 分别表示酉群及其行列式为 $1$ 的子群。

Szekeres · §2.3；Szekeres · §2.3

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 12；当前可定位出现 12。

永久身份：urn:uuid:98d3a096-7153-450f-9725-091ca1eea20c。

身份历史 · 结构化来源索引