特殊酉群 (special unitary group)

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§2.3 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§2.3 · zh-CN · translation · unreviewed

例 2.15

复矩阵 $\mathsf{A}$ 的伴随矩阵(adjoint)（共轭转置）定义为 ${\mathsf{A}}^{†}=\overline{{\mathsf{A}}^T}$，分量为 $a_{ij}^{†}=\overline{a_{ji}}$；复数上的横线表示复共轭。若 $n\times n$ 复矩阵 $\mathsf{U}$ 满足

$$\mathsf{U}{\mathsf{U}}^{†}=\mathsf{I},\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

则称它为酉矩阵(unitary matrix)。立即可得

$$\det \mathsf{U}\overline{\det \mathsf{U}}=|\det \mathsf{U}{|}^2=1.$$

因而存在实数 $\varphi \in [0,2\pi )$，使 $\det \mathsf{U}=e^{i\varphi }$。所有酉矩阵都非奇异，群性质也容易验证。全体 $n\times n$ 酉矩阵组成$n$ 阶酉群(unitary group)，记作 $U(n)$。其中行列式为 $1$ 的酉矩阵组成$n$ 阶特殊酉群(special unitary group)，记作 $SU(n)$。

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§3 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§3 · zh-CN · translation · unreviewed

在本章中，我们将分析具有 $\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$ 的一般量子系统会发生什么，首先找出可能的可观测量。将这些可观测量取指数，将得到作用在 $\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$ 上的 $2\times 2$ 酉矩阵群 $U(2)$。这是 $U(2)$ 的一个具体表示，即“定义”表示。将范围限制到 $U(2)$ 中行列式为 $1$ 的子群特殊酉群(special unitary group) $SU(2)$，就得到 $SU(2)$ 在 ${\mathbf{C}}^2$ 上的一个表示，通常称为“自旋 $\frac{1}{2}$”表示。

§3 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

In this chapter we will analyze what happens for general quantum systems with $\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$ by first finding the possible observables. Exponentiating these will give the group $U(2)$ of unitary 2 by 2 matrices acting on $\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$ . This is a specific representation of $U(2)$ , the “defining” representation. By restricting to the subgroup special unitary group $SU(2)\subset U(2)$ of elements of determinant one, one gets a representation of $SU(2)$ on ${\mathbf{C}}^2$ often called the “spin $\frac{1}{2}$” representation.

§3.1 · zh-CN · translation · unreviewed

对于另外两种情形 $j=1$ 和 $j=2$，通过基变换，二者之一都可以化为相同的对角形式；但对某个 $j$ 做此变换，会使另外两种情形不再对角。要理解特殊酉群(special unitary group) $SU(2)$ 在 $\mathcal{H}$ 上的作用，不能只考虑 $U(1)$ 子群，还要考虑通过将泡利矩阵的一般线性组合取指数而得到的完整三维 $SU(2)$ 群。

§3.1 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

For the other two cases $j=1$ and $j=2$, a change of basis can put either one in the same diagonal form, but doing this for one value of $j$ makes the other two no longer diagonal. To understand the action of the special unitary group $SU(2)$ on $\mathcal{H}$, we must consider not just the $U(1)$ subgroups but the full three-dimensional $SU(2)$ group obtained by exponentiating general linear combinations of Pauli matrices.

§3.1 · zh-CN · translation · unreviewed

因此，对自伴泡利矩阵的实线性组合乘以 $i$ 后取指数，会得到行列式为 1 的酉矩阵。它们可逆，并构成一个名为特殊酉群(special unitary group)（记作 $SU(2)$）的群，也就是由行列式为 1 的 $2\times 2$ 酉矩阵构成的群。若对 $i(\varphi 1+\theta \mathbf{v}\cdot \mathbf{\sigma })$ 取指数，其中 $\varphi$ 为实数（当且仅当 $\varphi =0$ 时，该矩阵的迹为零），则会得到行列式为 $e^{i2\varphi }$ 的酉矩阵。全体 $2\times 2$ 酉矩阵构成二阶酉群(unitary group in dimension two)（记作 $U(2)$）。它包含 $SU(2)$ 以及本节开头介绍的 $U(1)$ 作为子群。$U(2)$ 与这两个子群的直积略有不同，因为 $-1$ 同时属于两个子群：

§3.1 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

So, we see that by exponentiating $i$ times linear combinations of the self-adjoint Pauli matrices (which all have trace zero), we get unitary matrices of determinant one. These are invertible, and form the special unitary group $SU(2)$ , the group of unitary 2 by 2 matrices of determinant one. If we exponentiated not just $i\theta \mathbf{v}\cdot \sigma .$ , but $i(\varphi 1+\theta \mathbf{v}\cdot \sigma )$ for some real constant $\varphi$ (such matrices will not have trace zero unless $\varphi =0$) , we would get a unitary matrix with determinant $e^{i2\varphi }$ . The group of all unitary 2 by 2 matrices is called $U(2)$ . It contains as subgroups $SU(2)$ as well as the $U(1)$ described at the beginning of this section. $U(2)$ is slightly different from the product of these two subgroups, since the group element

§3.3 · zh-CN · translation · unreviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§3.3 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

The $h_{0}1$ term in $H$ contributes an overall phase factor $e^{-i{h}_{0}t}$. After this phase is factored out, the remaining part of $U(t)$ lies in the special unitary group $SU(2)$, a subgroup of the larger unitary group in dimension two $U(2)$, whose elements are all $2\times 2$ unitary matrices.

§5.3 · zh-CN · translation · unreviewed

回顾：特殊酉群 → 原定义

• 特殊酉群(special unitary group) $SU(n)\subset SL(n,\mathbf{C})$ 是 $U(n)$ 中行列式为 $1$ 的矩阵构成的子群。其李代数 $\mathfrak{su}(n)$ 由迹为零的 $n\times n$ 斜厄米矩阵构成。

§5.3 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Recall: special unitary group → original definition

• The special unitary group $SU(n)\subset SL(n,\mathbf{C})$ is the subgroup of $U(n)$ consisting of matrices with determinant one. Its Lie algebra $\mathfrak{su}(n)$ consists of $n\times n$ skew-Hermitian matrices with trace zero.

§6.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§6.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§6.4 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

特殊酉群(special unitary group) $\mathrm{SU}(2)$之间关系的另一番讨论，以及映射 $\Phi$ 的构造，可参见文献 83 的 4.2、4.3 节；另见文献 3 第 8 章，以及文献 86 第 2、4 章。

§6.4 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

special unitary group $\mathrm{SU}(2)$, and for a construction of the map $\Phi$, see [83], §§ 4.2 and 4.3; see also [3], chapter 8, and [86], chapters 2 and 4.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#example-2-15”
• [<u class=“concept-term” data-concept-reference=“concept-3-special-unitary-group” data-concept-identity=“urn:uuid:ae68704b-48d9-4342-ba60-9973c64e5093” data-concept-route=“/concept-identities#concept-ae68704b-48d9-4342-ba60-9973c64e5093”>特殊酉群(special unitary group)</u>](01-the-two-state-quantum-system#concept-3-special-unitary-group)
• [<u class=“concept-term” data-concept-reference=“concept-3-special-unitary-group” data-concept-identity=“urn:uuid:ae68704b-48d9-4342-ba60-9973c64e5093” data-concept-route=“/concept-identities#concept-ae68704b-48d9-4342-ba60-9973c64e5093”>special unitary group</u>](01-the-two-state-quantum-system#source-block-3071)
• [<u class=“concept-term” data-concept-reference=“concept-3-unitary-group-in-dimension-two” data-concept-identity=“urn:uuid:b0f1cb61-5cdc-49df-9d91-612c9a805bc9” data-concept-route=“/concept-identities#concept-b0f1cb61-5cdc-49df-9d91-612c9a805bc9” id=“first-2e8b3d89d2c28f6a1e63-en”>unitary group in dimension two</u>](01-the-two-state-quantum-system#source-block-3071)
• [原定义](../chapter-03/01-the-two-state-quantum-system#concept-3-special-unitary-group)
• [original definition](../chapter-03/01-the-two-state-quantum-system#concept-3-special-unitary-group)

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 15；当前可定位出现 15。

尚待定位：reference-unresolved 1。详见结构化记录。

永久身份：urn:uuid:ae68704b-48d9-4342-ba60-9973c64e5093。

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