李代数的伴随表示 (adjoint Lie algebra representation)

§19.4 exercise (a) is a Lie algebra homomorphism; keep separate from the Lie group Ad action.

别名：Adjoint Lie algebra representation；adjoint representation；伴随李代数表示；伴随表示

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§19.4 · zh-CN · translation · unreviewed

习题 19.17

设 $\mathcal{A}$ 为一个李代数，$X$ 为 $\mathcal{A}$ 中的任意元素。

(a) 证明由 ${\mathbf{ad}}_X(Y)=[X,Y]$ 定义的线性算符 ${\mathrm{ad}}_X:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 是从 $\mathcal{A}$ 到 $\mathcal{G}\mathcal{L}(\mathcal{A})$ 的李代数同态（称为 伴随表示(adjoint representation)）。

(b) 对任意李群 $G$，证明由 $C_g(a)=ga{g}^{-1}$ 定义的每个内自同构 $C_g:G\to G$（见 2.4 节）都是李群自同构，并且由 $\mathrm{Ad}(g)=C_{g\ast }$ 定义的映射 $\mathrm{Ad}:G\to GL(\mathcal{G})$ 是李群同态。

(c) 证明 ${\mathbf{Ad}}_{\ast }=\mathbf{ad}.$

§19.4 · en · original_transcription · unreviewed

Let $\mathcal{A}$ be a Lie algebra, and $X$ any element of $\mathcal{A}$.

(a) Show that the linear operator ${\mathrm{ad}}_X:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ defined by ${\mathbf{ad}}_X(Y)=[X,Y]$ is a Lie algebra homomorphism of $\mathcal{A}$ into $\mathcal{G}\mathcal{L}(\mathcal{A})$ (called the adjoint representation).

(b) For any Lie group $G$ show that each inner automorphism $C_g:G\to G$ defined by $C_g(a)=ga{g}^{-1}$ (see Section 2.4) is a Lie group automorphism, and the map $\mathrm{Ad}:G\to GL(\mathcal{G})$ defined by $\mathrm{Ad}(g)=C_{g\ast }$ is a Lie group homomorphism.

(c) Show that ${\mathbf{Ad}}_{\ast }=\mathbf{ad}.$

Woit · 2025-10-20

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§5.4 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 李代数的伴随表示

$(\mathrm{ad},\mathfrak{g})$ 是由下式给出的 伴随李代数表示(adjoint Lie algebra representation)：

$$X\in \mathfrak{g}\mapsto \mathrm{ad}(X)$$

其中，$\mathrm{ad}(X)$ 是从 $\mathfrak{g}$ 到自身的线性映射，定义为：

$$Y\mapsto [X,Y]$$

§5.4 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Definition · Adjoint Lie algebra representation

$(\mathrm{ad},\mathfrak{g})$ is the adjoint Lie algebra representation given by

$$X\in \mathfrak{g}\mapsto \mathrm{ad}(X)$$

where $\mathrm{ad}(X)$ is the linear map from $\mathfrak{g}$ to itself given by

$$Y\mapsto [X,Y]$$

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#problem-19-17”
• href=”../chapter-02/04-homomorphisms-and-isomorphisms#section-2-4”

编辑导读与作者比较

既有 Luna 编排；独立机器审阅，尚未人工复核。冻结输入与审阅记录保留于原档案。

伴随李代数表示把每个 $X\in \mathfrak{g}$ 送到作用于 $\mathfrak{g}$ 的线性映射 $ad(X)$；该映射把 $Y$ 送到李括号 $[X,Y]$。 Woit · §5.4；Woit · §5.4

它是群层面共轭作用的无穷小版本；沿 $e^{tX}Y{e}^{-tX}$ 对 $t$ 在 $0$ 处求导，得到：

$$ad(X)(Y)=\frac{d}{dt}(e^{tX}Y{e}^{-tX}{)}_{|t=0}=[X,Y]\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

Woit · §5.4

$ad$ 保持李括号，因此其同态性质给出雅可比恒等式；这说明该恒等式与伴随作用的存在相联系。 Woit · §5.4；Woit · §5.4

Woit · 作者条件与约定

作者先说明一般李群表示在单位元处求导会给出李代数表示，再对群的伴随表示求导，得到 $ad(X)(Y)=[X,Y]$；随后由表示的同态性质解释雅可比恒等式。

条件：李代数按实向量空间处理；该节也提醒，李代数表示不一定来自对应李群的表示。

记号：群的伴随表示写作 $Ad$，对应的李代数表示写作 $A{d}^{\prime }=ad$。

Woit · §5.4；Woit · §5.4

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