13.3 非阿贝尔反常

上一节我们讨论的是手征流，它是规范单态（不带规范指标）。现在我们转而研究规范流 $j_{\alpha }^{\mu }$，其中 $\alpha$ 是规范指标。这里考虑的是这样一个手征理论：规范场 $\mathcal{A}$ 只与左手外尔费米子 $\psi$ 耦合。设 $\psi$ 按规范群 $G$ 的复表示 $r$ 变换。例如，设 $\psi$ 属于 SU(3) 的 3 表示。有效作用 $W_r[\mathcal{A}]$ 由下式给出

$${\mathrm{e}}^{-W_r[\mathcal{A}]}=\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi }\exp \left(-\int \mathrm{d}x\bar{\psi }\mathrm{i}{\bar{\mathcal{V}}}_{+}\psi \right)\text{\hspace{1em}(13.36)}$$

其中

$$\mathrm{i}{\vec{\mathcal{V}}}_{+}=\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }+{\mathcal{A}}_{\mu }\right){\mathcal{P}}_{+}{\mathcal{P}}_{\pm }=\frac{1}{2}\left(1\pm {\gamma }^{m+1}\right).\text{\hspace{1em}(13.37)}$$

规范流为

$$j_{\alpha }^{\mu }=\mathrm{i}\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{T}_{\alpha }{\mathcal{P}}_{+}\psi .\text{\hspace{1em}(13.38)}$$

设 $v=v^{\alpha }{T}_{\alpha }$ 为无穷小规范变换参数，$g=1-v$ 为其对应的变换，在此变换下有

$${\mathcal{A}}_{\mu }\to (1+v)({\mathcal{A}}_{\mu }+\mathrm{d})(1-v)={\mathcal{A}}_{\mu }-{\mathcal{D}}_{\mu }v\text{\hspace{1em}(13.39)}$$

其中 ${\mathcal{D}}_{\mu }v\equiv {\partial }_{\mu }v+[{\mathcal{A}}_{\mu },v]$ 是作用于伴随表示中场的协变导数。有效作用按如下方式变换

$$\begin{array}{rl}& W_r[\mathcal{A}]\to W_r[\mathcal{A}-\mathcal{D}v]\\ & =W_r[\mathcal{A}]-\int \mathrm{d}x\mathrm{tr}\left(\mathcal{D}v\frac{\delta }{\delta \mathcal{A}}{W}_r[\mathcal{A}]\right)\\ & =W_r[\mathcal{A}]-\int \mathrm{d}x\mathrm{tr}\left({\partial }_{\mu }{v}^{\alpha }+f_{\alpha \beta \gamma }{A}_{\mu }^{\beta }{v}^{\gamma }\right){\frac{\delta }{\delta A_{\mu }}}^{\alpha }{W}_r[\mathcal{A}]\\ & =W_r[\mathcal{A}]+\int dx\mathrm{tr}\left(v^{\alpha }\mathcal{D}\frac{\delta }{\delta \mathcal{A}}{W}_r[\mathcal{A}{]}_{\alpha }\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(13.40)}$$

由于

$$\frac{\delta }{\delta A_{\mu }^{\alpha }}{W}_r[\mathcal{A}]=⟨\mathrm{i}\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{T}_{\alpha }\frac{1}{2}(1+{\gamma }^{m+1})\psi {⟩}_{\mathcal{A}}=⟨j_{\alpha }^{\mu }⟩$$

我们便得到

$$W_r[\mathcal{A}-\mathcal{D}v]-W_r[\mathcal{A}]=\int dx\mathrm{tr}\left(v^{\alpha }{\mathcal{D}}_{\mu }⟨j^{\mu }{⟩}_{\alpha }\right).\text{\hspace{1em}(13.41)}$$

我们很自然地会想把 (13.36) 看作 $\det (\mathrm{i}\vec{\mathbb{V}})=\prod {\lambda }_i^{\prime }$，其中 ${\lambda }_i$ 是 $\mathrm{i}\vec{\mathbb{V}}$ 的“特征值”。但这里有一个微妙之处：$\mathrm{i}{\vec{\mathbb{V}}}_{+}$ 把 $S_{+}\otimes E$ 的截面映到 $S_{-}\otimes E$ 的截面，其中 $E$ 是与 $G$ 丛相伴的向量丛，而 $S_{\pm }$ 是手性为 $\pm$ 的旋量丛。因此，方程 $\mathrm{i}{\vec{\mathbb{V}}}_{+}\psi =\lambda \psi$ 是没有意义的。为避免这一困难，我们形式地引入一个相对论Dirac旋量 $\psi$，并定义

$${\mathrm{e}}^{-W_r[\mathcal{A}]}=\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi }\exp \left(-\int \mathrm{d}x\bar{\psi }\mathrm{i}\hat{D}\psi \right)\text{\hspace{1em}(13.42)}$$

其中 $\mathrm{i}\hat{D}$ 定义为

$$\mathrm{i}\hat{D}\equiv \mathrm{i}{\gamma }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }+\mathrm{i}{\mathcal{A}}_{\mu }{\mathcal{P}}_{+}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}/{\partial }_{-}\\ \mathrm{i}/{\overline{\mathbb{V}}}_{+}& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(13.43)}$$

这里我们已将 ${\gamma }^{m+1}$ 对角化。在(13.43)中，规范场 $\mathcal{A}$ 只与正手性场耦合。现在特征值问题 $\mathrm{i}\hat{D}{\psi }_i={\lambda }_i{\psi }_i$ 有了良好的定义。注意 $\mathrm{i}\hat{D}$ 不是厄米的，而 ${\lambda }_i$ 一般是一个复数。此外，我们还需要分别引入右本征函数和左本征函数，即

$$\mathrm{i}\hat{D}{\psi }_i={\lambda }_i{\psi }_i\text{\hspace{1em}(13.44a)}$$

$${\chi }_i^{†}(\mathrm{i}\overleftarrow{\hat{D}})={\lambda }_i{\chi }_i^{†}(\mathrm{i}\hat{D}{)}^{†}{\chi }_i={\bar{\lambda }}_i{\chi }_i.\text{\hspace{1em}(13.44b)}$$

由于当 $i\ne j$ 时 $\int {\chi }_i^{†}{\psi }_j\mathrm{d}x=0$，我们可以选取一组标准正交基，

$$\int {\chi }_i^{†}{\psi }_j\mathrm{d}x={\delta }_{ij}.\text{\hspace{1em}(13.45)}$$

应当注意，特征值 ${\lambda }_i$ 不是规范不变的。这一点可由下述观察看出：

$$\begin{array}{rl}g(\mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^g))g^{-1}& =g\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }[{\partial }_{\mu }+g^{-1}({\mathcal{A}}_{\mu }+{\partial }_{\mu })g{\mathcal{P}}_{+}]g^{-1}\\ & =\mathrm{i}\hat{D}(\mathcal{A})-\mathrm{i}\partial /g{g}^{-1}+\mathrm{i}\partial /g{g}^{-1}{\mathcal{P}}_{+}\ne \mathrm{i}\hat{D}(\mathcal{A}).\end{array}\text{\hspace{1em}(13.46)}$$

如果等式在(13.46)中成立，那么当 $\mathrm{i}\hat{D}(\mathcal{A}){\psi }_i={\lambda }_i{\psi }_i$ 时，$g^{-1}{\psi }_i$ 就满足 $\mathrm{i}\hat{D}({\mathcal{A}}^g)g^{-1}{\psi }_i={\lambda }_i{g}^{-1}{\psi }_i$。于是 $\mathrm{Spec}\mathrm{i}\hat{D}(\mathcal{A})$ 就会是规范不变的。尽管各个特征值并非规范不变，但 $\mathrm{i}\hat{D}$ 的特征值之积的绝对值却是规范不变的。事实上，

$$\begin{array}{rl}\det (\mathrm{i}\hat{D})\det ((\mathrm{i}\hat{D}{)}^{†})& =\det (\mathrm{i}\hat{D}(\mathrm{i}\hat{D}{)}^{†})\\ & =\det \left(\begin{array}{cc}(\mathrm{i}/j_{-})(\mathrm{i}/j_{+})& 0\\ 0& (\mathrm{i}/{\nabla }_{+})(\mathrm{i}/{\nabla }_{-})\end{array}\right)\\ & =\det (\mathrm{i}/{\partial }_{-}\mathrm{i}/{\partial }_{+})\det (\mathrm{i}{\nabla }_{+}\mathrm{i}{\nabla }_{-})\end{array}\text{\hspace{1em}(13.47)}$$

其中 $\mathrm{i}/{\partial }_{+}=(\mathrm{i}/{\partial }_{-}{)}^{†}$，$\mathrm{i}{\nabla }_{-}=(\mathrm{i}{\nabla }_{+}{)}^{†}$。这不过就是狄拉克行列式（相差一个无关紧要的因子 $\det (\mathrm{i}/{\partial }_{-}\mathrm{i}/{\partial }_{+}))$

$$[\det (\mathrm{i}\vec{\forall }){]}^2=\det \left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}{\vec{\forall }}_{-}\mathrm{i}{\vec{\forall }}_{+}& 0\\ 0& \mathrm{i}{\vec{\forall }}_{+}\mathrm{i}{\vec{\forall }}_{-}\end{array}\right)=[\det (\mathrm{i}{\vec{\forall }}_{+}\mathrm{i}{\vec{\forall }}_{-}){]}^2\text{\hspace{1em}(13.48)}$$

其中 $\mathbf{i}\nabla$ 由下式给出

$$\mathrm{i}\vec{\mathbb{V}}=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}{\vec{\mathbb{V}}}_{-}\\ \mathrm{i}{\vec{\mathbb{V}}}_{+}& 0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(13.49)}$$

狄拉克行列式是规范不变的，因此 $|\det (\mathrm{i}\hat{D})|$ 也是规范不变的。由此可知 $\mathrm{Re}{W}_r[\mathcal{A}]$ 是规范不变的，因为

$$\exp (-W_r[\mathcal{A}])\exp (-\overline{W_r[\mathcal{A}]})=\det (\mathrm{i}\hat{D})\det ((\mathrm{i}\hat{D}{)}^{†})\propto \det (\mathrm{i}{\hat{\nabla }}_{+}\mathrm{i}{\hat{\nabla }}_{-})$$

是规范不变的。因此，在规范变换下可能获得反常变分的只有 $W_r[\mathcal{A}]$ 的虚部，即 $\det (\mathrm{i}\hat{D})$ 的相位。

与前面一样，可以通过计算雅可比行列式来算出反常。取泛函测度为 ${\prod }_i\mathrm{d}{a}_i\mathrm{d}{\bar{b}}_i$。我们考虑一个无穷小规范变换，

$$\mathcal{A}\to \mathcal{A}-\mathcal{D}v\psi \to \psi +v{\psi }_{+}\bar{\psi }\to \bar{\psi }-{\bar{\psi }}_{-}v\text{\hspace{1em}(13.50)}$$

其中规范变换只转动正手征部分。相应的雅可比因子为

$$\int \mathrm{d}x\mathrm{tr}v(x)\sum _n(n|x⟩{\gamma }^{m+1}⟨x|n⟩\text{\hspace{1em}(13.51)}$$

其中 $⟨x|n⟩={\psi }_n(x)$，$(n|x⟩={\chi }_n^{†}(x)$（注意 $(n|$ 并不是 $|n⟩$ 的厄米共轭）。这个积分定义不良，必须加以正规化。与前面一样，我们采用高斯正规化子，

$$\begin{array}{rl}& \int \mathrm{d}x\underset{\begin{array}{c}M\to \infty \\ x\to y\end{array}}{\lim }\mathrm{tr}v(x)\sum _n(n|y⟩{\gamma }^{m+1}⟨x|{\mathrm{e}}^{-(\mathrm{i}\hat{D}{)}^2/M^2}|n⟩\\ & =\int \mathrm{d}x\underset{\begin{array}{c}M\to \infty \\ x\to y\end{array}}{\lim }\mathrm{tr}v(x){\gamma }^{m+1}{\mathrm{e}}^{-(\mathrm{i}{\hat{D}}_x{)}^2/M^2}\delta (x-y)\end{array}\text{\hspace{1em}(13.52)}$$

这里用到了完备性关系

$$\sum _n|n⟩(n|=I.\text{\hspace{1em}(13.53)}$$

由(13.41)和(13.52)可得

$$\int \mathrm{d}x{v}^{\alpha }{\mathcal{D}}_{\mu }\left(\frac{\delta }{\delta A_{\mu }^{\alpha }}{W}_r[\mathcal{A}]\right)=\int \mathrm{d}x\underset{\begin{array}{c}M\to \infty \\ x\to y\end{array}}{\lim }\mathrm{tr}\left[v{\gamma }^{m+1}{\mathrm{e}}^{-(\mathrm{i}{\hat{D}}_x{)}^2/M^2}\delta (x-y)\right].\text{\hspace{1em}(13.54)}$$

在目前的情形下，$W_r$ 确实会在(13.50)下发生变化。迹可以写成

$$\begin{array}{rl}\mathrm{tr}\left[v{\gamma }^{m+1}{\mathrm{e}}^{-(\mathrm{i}{\hat{D}}_x{)}^2/M^2}\right]& =\mathrm{tr}\left[v\left({\mathcal{P}}_{+}-{\mathcal{P}}_{-}\right){\mathrm{e}}^{-(\mathrm{i}{\mathcal{Y}}_{-}\mathrm{i}{\overline{\mathcal{Y}}}_{+})-(\mathrm{i}{\overline{\mathcal{Y}}}_{-}\mathrm{i}{\mathcal{Y}}_{+})/M^2}\right]\\ & =\mathrm{tr}[v{P}_{+}{\mathrm{e}}^{(\mathrm{i}\overline{\partial }\mathrm{i}\overline{\partial })/M^2}]-\mathrm{tr}[v{P}_{-}{\mathrm{e}}^{(\mathrm{i}\overline{\partial }\mathrm{i}\partial )/M^2}].\end{array}\text{\hspace{1em}(13.55)}$$

(13.55)可以在平面波基中计算，做法直接但很繁琐（例如可参见 Gross 与 Jackiw (1972)）。下一节我们将从拓扑的观点导出非阿贝尔反常。对于 $m=4$，其反常变分为

$$\begin{array}{rl}{W}_r[\mathcal{A}-\mathcal{D}v]-W_r[\mathcal{A}]& =\int dx{v}^{\alpha }{\mathcal{D}}_{\mu }⟨j^{\mu }{⟩}_{\alpha }\\ & =\frac{1}{24{\pi }^2}\int dx\mathrm{tr}\left\{v^{\alpha }{T}_{\alpha }{ϵ}^{\kappa \lambda \mu v}{\partial }_{\kappa }\left[{\mathcal{A}}_{\lambda }{\partial }_{\mu }{\mathcal{A}}_v+\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{\lambda }{\mathcal{A}}_{\mu }{\mathcal{A}}_v\right]\right\}\\ & =\frac{1}{24{\pi }^2}\int \mathrm{tr}\left\{v\mathrm{d}\left[\mathcal{A}\mathrm{d}\mathcal{A}+\frac{1}{2}{\mathcal{A}}^3\right]\right\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.56)}$$

规范流的反常散度为

$${\mathcal{D}}_{\mu }⟨j^{\mu }{⟩}_{\alpha }=\frac{1}{24{\pi }^2}\mathrm{tr}\left\{T_{\alpha }{ϵ}^{\kappa \lambda \mu \nu }{\partial }_{\kappa }\left[{\mathcal{A}}_{\lambda }{\partial }_{\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }+\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{\lambda }{\mathcal{A}}_{\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }\right]\right\}.\text{\hspace{1em}(13.57)}$$

这一结果应与(13.33)相比较。两者之间有两处差别：${\mathcal{A}}^3$前面的系数三分之二换成了二分之一，并且总的因子也不同。

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