18.8 广义相对论

English

等效原理

质量为$m$的粒子所受的牛顿引力为$\mathbf{F}=-m\nabla \varphi$，其中标势$\varphi$满足泊松方程

$${\nabla }^2\varphi =4\pi G\rho .\text{\hspace{1em}(18.77)}$$

这里 $G=6.672\times 10^{-8}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{cm}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$ 是牛顿引力常数，而 $\rho$ 是所存在物质的密度。虽然原则上可以通过假设一个相对论性不变方程来推广这一理论，例如

$$\square \varphi ={\nabla }^2\varphi -\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\varphi =4\pi G\rho ,$$

这一理论存在诸多问题，其中尤为突出的是它与观测结果不符。

正确理论表述的关键是等效原理，其最简单的形式指出，所有粒子在引力场中以相等的加速度下落，这一事实最早被归功于伽利略，并伴有一个关于比萨斜塔的不可信传说。而其推导则是通过从牛顿运动方程两边简单地消去 $m$

$$m\ddot{x}=mg,$$

方程两侧出现的质量有可能不同。左侧实际上是惯性质量，$m_i.$，它衡量粒子对任何力的抵抗；而右侧的质量应被认定为引力质量，衡量粒子对引力场的响应——可以说是它的“引力荷”。等效原理可以表述为：惯性质量与引力质量之比对所有物体都相同，与它们由何种材料构成无关。1890年，厄特沃什使用扭秤对大量多种材料以$10^8$分之一的精度检验了这一点，20世纪60年代，迪克使用太阳平衡机制以$10^{11}$分之一的精度重复了这一检验（见威尔在[10]中的文章）。

等效原理本质上指出，不可能区分离心力或科里奥利力等惯性力与引力。这种力等效性的一个很好的例子是爱因斯坦电梯。在静止电梯中的观察者看到物体以加速度 $g$ 落向地面。然而，如果电梯处于自由落体状态，观察者周围的物体将不再显得受到力的作用，就像他处于外太空的惯性系中一样。实际上，通过进入自由下落的实验室，已经有可能将引力场变换掉。反过来，由于所有物体在加速火箭中以相同的加速度“落”向地板，观察者将体验到一个“表观”引力场。

狭义相对论中非惯性系的效应应当与引力效应本质上不可区分。闵可夫斯基空间的度量区间（见第9章）在一般坐标系 $x^{\prime {\mu }^{\prime }}=x^{\prime {\mu }^{\prime }}(x^1,x^2,x^3,x^4)$ 中，其中 $x^{\nu }$ 为惯性坐标，变为

$$\mathrm{d}{s}^2=g_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }=g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}^{\prime }\mathrm{d}{x}^{\prime {\mu }^{\prime }}\mathrm{d}{x}^{\prime {\nu }^{\prime }},$$

其中

$$g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}^{\prime }=g_{\mu \nu }\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\prime {\mu }^{\prime }}}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime {\nu }^{\prime }}}.$$

用一般坐标表示，惯性粒子的（测地线）运动方程 ${\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }/\mathrm{d}{s}^2=0$ 为

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\prime {\mu }^{\prime }}}{\mathrm{d}{s}^2}+{\Gamma }_{{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }}^{\prime {\mu }^{\prime }}\frac{\mathrm{d}{x}^{\prime {\alpha }^{\prime }}}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}{x}^{\prime {\beta }^{\prime }}}{\mathrm{d}s}=0,$$

其中

$${\Gamma }_{{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }}^{\prime {\mu }^{\prime }}=-\frac{{\partial }^2{x}^{\prime {\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\prime {\alpha }^{\prime }}}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime {\beta }^{\prime }}}.$$

图 18.2 自由下落实验室中的潮汐效应

等效原理是一个纯局部的观念，只适用于无限小的实验室。诸如地球引起的真实引力场一般无法被完全变换掉。例如，如果自由下落的爱因斯坦电梯相对于地球引力场发生变化的尺度具有显著大小，那么电梯中不同位置的粒子将经历不同的加速度。电梯底板附近的粒子将比从天花板释放的粒子具有更大的加速度，而从电梯侧面释放的粒子相对于中心观察者将具有一个小的水平加速度，因为指向地心的方向并非处处平行。这些相互加速度或潮汐力原则上可以通过用弹簧连接成对的自由下落粒子来测量（见图 18.2）。

广义相对论的公设

广义相对论的基本逻辑命题（爱因斯坦，1916）如下：世界是一个四维闵可夫斯基型流形（指标为+2的伪黎曼流形），称为时空(space-time)。其点称为事件(event)。物质粒子的世界线，或时空历史，是一条参数曲线$\gamma :\mathbb{R}M$，其切向量$\dot{\gamma }$处处为类时。固有时，即由粒子携带的时钟在参数值$\lambda ={\lambda }_1$与${\lambda }_2$之间测得的时间，由下式给出

$$\tau =\frac{1}{c}{\int }_{{\lambda }_1}^{{\lambda }_2}\sqrt{-g(\dot{\gamma },\dot{\gamma })}d\lambda =\frac{1}{c}{\int }_{{\lambda }_1}^{{\lambda }_2}\sqrt{-g_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}^{\nu }}{d\lambda }}d\lambda =\frac{1}{c}{\int }_{s_1}^{s_2}ds.\text{\hspace{1em}(18.78)}$$

试验粒子是指质量远小于其邻域内主要质量的粒子，并且“自由下落”，即不受任何外力作用。试验粒子的世界线假定为类时测地线。能量很小的光子的世界线为零测地线。两者都满足方程

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{s}^2}+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}{x}^{\rho }}{\mathrm{d}s}=0,$$

其中克里斯托费尔符号 ${\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }$ 由式 (18.40) 给出，并将希腊指标代入。仿射参数 $s$ 由下式确定：

$$g_{\mu \nu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}s}=\{\begin{array}{ll}-1& \text{ for test particles },\\ 0& \text{ for photons }.\end{array}$$

关于广义相对论理论及其诸多发展的介绍，可在[9, 11–16]中找到。

等效原理在这一公设中具有自然的位置，因为所有粒子无论其质量如何都具有相同的测地线运动。此外，在每个事件 $p$ 处，可以找到测地线法坐标，使得度量张量 $g=g_{\mu \nu }:\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }$ 的分量具有闵可夫斯基值 $g_{\mu \nu }(p)={\eta }_{\mu \nu }$ 且克里斯托费尔符号为零，${\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }(p)=0$。在这样的坐标中，时空局部看起来是闵可夫斯基空间，并且引力已被局部消除，因为 $p$ 处的任何测地线都归结为“局部直线运动” ${\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }/\mathrm{d}{s}^2=0$。当有可能找到在整个图卡上将度量变换为常数值的坐标时，该度量是局部平坦的，并且所有引力场都是“虚构的”，因为它们完全来自非惯性效应。根据定理 18.1，这样的坐标变换是可能的，当且仅当曲率张量消失。因此，将“真实”引力场等同于曲率张量 $R_{\nu \rho \sigma }^{\mu }$ 是自然的。

决定引力场的方程是爱因斯坦场方程

$$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },\text{\hspace{1em}(18.79)}$$

其中 $G_{\mu \nu }$ 是上文式 式 (18.61) 和 式 (18.62) 中定义的爱因斯坦张量，

$$R_{\mu \nu }=R_{\mu \alpha \nu }^{\alpha }\text{ and }R=R_{\alpha }^{\alpha }=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu },$$

而 $T_{\mu \nu }$ 是所有物质场存在的能量–应力张量。常数 $\kappa$ 被称为 爱因斯坦引力常数(Einstein’s gravitational constant)；我们将把它与牛顿引力常数直接联系起来。这些方程具有这样的性质：对于弱场 $g_{\mu \nu }\approx {\eta }_{\mu \nu }$，当作出适当的等同后，它们约化为泊松方程（见下文对弱场近似的讨论），并且通过缩并的比安基恒等式 式 (18.60)，它们保证了一个“协变”版本的守恒恒等式

$$T_{;\nu }^{\mu \nu }\equiv T_{,\nu }^{\mu \nu }+{\Gamma }_{\alpha \nu }^{\mu }{T}^{\alpha \nu }+{\Gamma }_{\alpha \nu }^{\nu }{T}^{\mu \alpha }=0.$$

曲率张量的测量

测地偏离方程 式 (18.47) 可用于给出曲率张量的物理解释。考虑单参数类时测地线族 $\gamma (s,\lambda )$，当在坐标卡 $(A;x^{\mu })$ 中表示时，其切向量为 $U=U^{\mu }{\partial }_{x^{\mu }}\mu$，其中

$$U^{\mu }(s)={\frac{\partial x^{\mu }}{\partial s}|}_{\lambda =0},U^{\mu }{U}_{\mu }=-1,\frac{D{U}^{\mu }}{\partial s}=0.$$

假设联络向量 $Y=Y^{\mu }{\partial }_{x^{\mu }}$ ，其中 $Y^{\mu }=\partial x^{\mu }/\partial \lambda$ ，在 $s=s_0$ 处最初与 $U$ 正交，

$${Y^{\mu }{U}_{\mu }|}_{s=s_0}=g(U,Y)(s_0)=0.$$

图 18.3 曲率张量的物理测量

于是对所有 $s,$ 都有 $g(U,Y)=0$，因为 $g(U,Y)$ 沿每条测地线为常数（见第 18.5 节）。因此，如果 $e_1,e_2,e_3$ 是中心测地线 $\lambda =0$ 上 $s=s_0$ 处的三个相互正交的类空向量，且它们与 $U_{:}$ 正交，并沿该测地线平行移动，$D{e}_i/\partial s=0$，那么它们沿该测地线彼此保持正交，并且与 $U$ 保持正交，

$$g(e_i,e_j)={\delta }_{ij},g(e_i,u)=0.$$

总之，若令 $e_4=U$，则四个向量 $e_1,\dots ,e_4$ 构成沿 $\lambda ={\lambda }_0$ 的一个正交归一四元向量组。

$$g(e_{\mu },e_{\nu })={\eta }_{\mu \nu }.$$

图 18.3 描绘了该情形。设 $\lambda ={\lambda }_0+\delta \lambda$ 为该族中任意一条相邻测地线，则由于我们假设 $\delta x^{\mu }$ 与 $U^{\mu }$ 正交，测地偏离方程可按式 (18.48) 的形式写出

$$\frac{D^2\delta x^{\mu }}{\mathrm{d}{s}^2}=\delta \lambda \frac{D^2{Y}^{\mu }}{\mathrm{d}{s}^2}=R_{\alpha \rho \nu }^{\mu }{U}^{\alpha }{U}^{\rho }\delta x^{\nu }.\text{\hspace{1em}(18.80)}$$

将 $\delta x^{\mu }$ 按基 $e_{\mu }$ 展开，并采用笛卡尔张量求和约定，我们有：

$$\delta x^{\mu }={\eta }_j{e}_j^{\mu }\equiv \sum _{j=1}^3{\eta }_j{e}_j^{\mu },$$

其中 ${\eta }_j={\eta }_j(s)$，因此

$$\frac{D\delta x^{\mu }}{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}{\eta }_j}{\mathrm{d}s}{e}_j^{\mu }+{\eta }_j\frac{e_i^{\mu }}{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}{\eta }_j}{\mathrm{d}s}{e}_j^{\mu },$$ $$\frac{D^2\delta x^{\mu }}{\mathrm{d}{s}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^2{\eta }_j}{\mathrm{d}{s}^2}{e}_j^{\mu }+\frac{\mathrm{d}{\eta }_j}{\mathrm{d}s}\frac{e_i^{\mu }}{\mathrm{d}s}=\frac{{\mathrm{d}}^2{\eta }_j}{\mathrm{d}{s}^2}{e}_j^{\mu }.$$

将式（18.80）代入后得到

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{\eta }_i}{\mathrm{d}{s}^2}=e_{i\mu }\frac{D^2\delta x^{\mu }}{\mathrm{d}{s}^2}=R_{\alpha \rho \nu }^{\mu }{e}_{i\mu }{e}_4^{\alpha }{e}_4^{\rho }{e}_j^{\nu }{\eta }_j,$$

其在 $\lambda ={\lambda }_0$ 上任意点处的任意局部坐标中读作，使得 $e_{\alpha }^{\mu }={\delta }_{\alpha }^{\mu }$

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{\eta }_i}{\mathrm{d}{s}^2}=-R_{i4j4}{\eta }_j.\text{\hspace{1em}(18.81)}$$

因此，$R_{i4j4}\equiv R_{\mu \alpha \rho \nu }{e}_i^{\mu }{e}_4^{\alpha }{e}_j^{\rho }{e}_4^{\nu }$ 度量引力场中相邻自由下落粒子之间的相对加速度。本质上，这些就是牛顿物理学中所谓的潮汐力，并且可以通过连接两粒子的弹簧上的应变来测量（见图 18.2 和 [17]）。

线性近似

考虑一个单参数闵可夫斯基度量族，其分量为 $g_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }(x^{\alpha },ϵ)$，使得 $ϵ=0$ 约化为平坦闵可夫斯基空间 $g_{\mu \nu }(0)={\eta }_{\mu \nu }$。这样的族称为广义相对论的 线性近似(linearized approximation)。如果我们令

$$h_{\mu \nu }=\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial ϵ}{|}_{ϵ=0}\text{\hspace{1em}(18.82)}$$

于是对于 $|ϵ|\ll 1$，我们有“弱引力场”，其意义是度量与闵可夫斯基空间仅有微小差异，

$$g_{\mu \nu }\approx {\eta }_{\mu \nu }+ϵh_{\mu \nu }.$$

由$g^{\mu \rho }{g}_{\rho \nu }={\delta }_{\mu }^{\mu }$，通过对$ϵ$在$ϵ=0$处求导可得

$$\frac{\partial g^{\mu \rho }}{\partial ϵ}{|}_{ϵ=0}{\eta }_{\rho \nu }+{\eta }^{\mu \rho }{h}_{\rho \nu }=0,$$

因此

$${\frac{\partial g^{\mu \nu }}{\partial ϵ}|}_{ϵ=0}=-h^{\mu \nu }\equiv -{\eta }^{\mu \alpha }\eta \nu \beta .\text{\hspace{1em}(18.83)}$$

在此方程中以及贯穿本讨论的始终，指标均相对于闵可夫斯基度量 ${\eta }_{\mu \nu },{\eta }^{\mu \nu }$ 进行升降。对于 $ϵ\ll 1$，我们显然有 $g^{\mu \nu }\approx {\eta }^{\mu \nu }-ϵh^{\mu \nu }$

假设关于 $x^{\mu }$ 和 $ϵ$ 的偏导数可交换，则克里斯托费尔符号的线性化可直接计算，

$$\begin{array}{rl}& {\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial ϵ}{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }{|}_{ϵ=0}=-\frac{1}{2}{h}^{\mu \alpha }({\eta }_{\alpha \nu ,\rho }+{\eta }_{\alpha \rho ,\nu }-{\eta }_{\nu \rho ,\alpha })+\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \alpha }(h_{\alpha \nu ,\rho }+h_{\alpha \rho ,\nu }-h_{\nu \rho ,\alpha })\\ & =\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \alpha }(h_{\alpha \nu ,\rho }+h_{\alpha \rho ,\nu }-h_{\nu \rho ,\alpha })\end{array}$$

和

$${\Gamma }_{\nu \rho ,\sigma }^{\mu }=\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \alpha }(h_{\alpha \nu ,\rho \sigma }+h_{\alpha \rho ,\nu \sigma }-h_{\nu \rho ,\alpha \sigma }).$$

因此，由曲率张量的分量展开式 18.25，我们有

$$r_{\nu \rho \sigma }^{\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial ϵ}{R}_{\nu \rho \sigma }^{\mu }{|}_{ϵ=0}={\Gamma }_{\nu \sigma ,\rho }^{\mu }-{\gamma }_{\nu \rho ,\sigma }^{\mu }$$

因为

$$\frac{\partial }{\partial ϵ}{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\alpha }{\Gamma }_{\alpha \rho }^{\mu }{|}_{ϵ=0}={\Gamma }_{\nu \sigma }^{\alpha }{\Gamma }_{\alpha \rho }^{\mu }{|}_{ϵ=0}+{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\alpha }{|}_{ϵ=0}{\Gamma }_{\alpha \rho }^{\mu }=0,etc.$$

由于${\Gamma }_{\nu \sigma }^{\alpha }{|}_{ϵ=0}=0$。因此

$$r_{\nu \rho \sigma }^{\mu }=\frac{1}{2}{\eta }^{\mu \alpha }\left(h_{\alpha \nu ,\sigma \rho }+h_{\alpha \sigma ,\nu \rho }-h_{\nu \sigma ,\alpha \rho }-h_{\alpha \nu ,\rho \sigma }-h_{\alpha \rho ,\nu \sigma }+h_{\nu \rho ,\alpha \sigma }\right)$$

而对于参数 $ϵ$ 的小值，黎曼曲率张量为

$$R_{\mu \nu \rho \sigma }\approx ϵr_{\mu \nu \rho \sigma }=\frac{ϵ}{2}(h_{\mu \sigma ,\nu \rho }+h_{\nu \rho ,\mu \sigma }-h_{\nu \sigma ,\mu \rho }-h_{\mu \rho ,\nu \sigma }).\text{\hspace{1em}(18.84)}$$

将此方程与测地正规坐标中的表达式，即式 (18.43) 进行比较是很有意义的。

牛顿潮汐方程是通过考虑两个相邻粒子的运动推导出来的

$${\ddot{x}}_i=-{\varphi }_{,i}\text{ and }{\ddot{x}}_i+{\ddot{\eta }}_i=-{\varphi }_{,i}(\mathbf{x}+\mathbf{\eta }).$$

由于 ${\varphi }_{,i}(\mathbf{x}+\eta )={\varphi }_{,i}(\mathbf{x})+{\varphi }_{ij}(\mathbf{x}){\eta }_j$，我们有

$${\ddot{\eta }}_i=-{\varphi }_{,ij}(\mathbf{x}){\eta }_j.$$

将其与测地偏离方程 式 (18.81) 比较，其中 $s$ 被 $c{t}_{:}$ 替换，对于速度 $|\dot{\mathbf{x}}|\ll c,$ 而言这近似正确

$${\ddot{\eta }}_i=-c^2{R}_{i4j4}{\eta }_j,$$

而根据式（18.84），我们应当有

$$R_{i4j4}=\frac{ϵ}{2}(h_{i4,4j}+h_{4j,i4}-h_{ij,44}-h_{44,ij})=\frac{{\varphi }_{,ij}}{c^2}.$$

该方程只有在一般情形下才可能成立，如果

$$ϵh_{44}\approx -\frac{2\varphi }{c^2}\text{ and }{h}_{i4,4j},h_{ij,44}\ll h_{44,ij},$$

而牛顿近似意味着

$$g_{44}\approx -1+ϵh_{44}\approx -1-\frac{2\varphi }{c^2}(\varphi \ll c^2).\text{\hspace{1em}(18.85)}$$

注意，牛顿势 $\varphi$ 具有速度平方的维数——当该速度远小于光速 $c$ 时，广义相对论的弱场慢运动近似成立。

将式（18.79）乘以$g^{\mu \nu }$，我们得到

$$R-2R=-R=\kappa T\text{ where }T=T_{\mu }^{\mu }=g^{\mu \nu }{T}_{\mu \nu },$$

而爱因斯坦场方程可以写成“里奇张量形式

$$R_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }).\text{\hspace{1em}(18.86)}$$

因此

$$R_{44}=R_{4i4}^i\approx \frac{1}{c^2}{\nabla }^2\varphi =\kappa (T_{44}+\frac{1}{2}T).$$

若我们假设为理想流体，即例9.4，则对于与$c$相比的低速情形，我们有

$$T_{\mu \nu }=\left(\rho +\frac{P}{c^2}\right)V_{\mu }{V}_{\nu }+P{g}_{\mu \nu }\text{ where }{V}_{\mu }\approx (v_1,v_2,v_3,-c),$$

使得

$$T=-c^2(\rho +\frac{P}{c^2})+4P=-\rho c^2+3P\approx -\rho c^2,$$

和

$$T_{44}\approx (\rho +\frac{P}{c^2})c^2+P(-1-\frac{\varphi }{c^2}P)\approx \rho c^2.$$

将其代入爱因斯坦方程的里奇形式，我们得到

$$\frac{1}{c^2}{\nabla }^2\varphi \approx \frac{1}{2}\kappa \rho c^2,$$

这与牛顿方程 式 (18.77) 一致，只要爱因斯坦引力常数具有以下形式

$$\kappa =\frac{8\pi G}{c^4}.\text{\hspace{1em}(18.87)}$$

随文练习

证明缩并的比安基恒等式式 (18.60) 蕴含：在代表局部自由下落参考系的任意点处的测地坐标中，守恒恒等式 (9.56) 成立 $T^{\mu }{}_{\nu ,\mu }=0$

随文练习

证明：如果我们假设了形式为 $R_{\mu \nu }=\lambda T_{\mu \nu }$ 的场方程，那么就会得出物理上令人不悦的结果 $T=\mathrm{const}$

现在考虑单参数坐标变换族 $x^{\mu }=x^{\mu }(y^{\alpha },ϵ)$ 对线性近似 $g_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }(ϵ)$ 的影响，并设

$${\xi }^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial ϵ}{|}_{ϵ=0}.$$

度量张量的分量的变换导致

$$g_{\mu \nu }(\mathbf{x},ϵ)\to g_{\mu \nu }^{\prime }(\mathbf{y},ϵ)=g_{\alpha \beta }(\mathbf{x}(\mathbf{y},ϵ),ϵ)\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial y^{\mu }}\frac{\partial x^{\beta }}{\partial y^{\nu }}$$

并在$ϵ=0$处取$\partial /\partial ϵ$，得到

$$h_{\mu \nu }^{\prime }(\mathbf{y})=h_{\mu \nu }(\mathbf{y})+{\xi }_{\mu ,\nu }+{\xi }_{\nu ,\mu }.\text{\hspace{1em}(18.88)}$$

这些可被视为弱场 $h_{\mu \nu }$ 的“规范变换”，与规范变换 (9.49)、${\mathcal{A}}_{\mu }^{\prime }={\mathcal{A}}_{\mu }+{\psi }_{,\mu }$ 相类似，后者使电磁场 $F_{\mu \nu }$ 保持不变。在当前情形下，可以直接验证变换式 (18.88) 使线性化 黎曼 张量式 (18.84)，即真实引力场，保持不变。

我们通过下式定义量 ${\phi }_{\mu \nu }$

$${\phi }_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-h{\eta }_{\mu \nu }\text{ where }h=h_{\alpha }^{\alpha }={\eta }^{\alpha \beta }{h}_{\alpha \beta }.$$

于是，${\phi }_{\mu ,\mathfrak{i}}^{\nu }$ 在规范变换下的变换为

$${\phi }_{\mu ,\nu }^{\prime \nu }={\phi }_{\mu ,\nu }^{\nu }+{\xi }_{\mu ,\nu }^{\nu }={\phi }_{\mu ,\nu }^{\nu }+\square {\xi }_{\mu },$$

其中指标用闵可夫斯基度量 ${\eta }^{\mu \nu },{\eta }_{\mu \nu }$ 升降。正如对洛伦兹规范（9.51）所做的那样，可以（在去掉撇号之后）找到 $\xi$，使得

$${\phi }_{\mu ,\nu }^{\nu }=0.\text{\hspace{1em}(18.89)}$$

这样的规范通常称为调和规范(harmonic gauge)。仍然存在可用的规范自由度${\xi }_{\mu }$，其受制于波动方程$\square {\xi }_{\mu }=0$的解。

使用式 (18.84) 对线性化里奇张量 $r_{\mu \nu }={\eta }^{\rho \sigma }{r}_{\rho \mu \sigma \nu }$ 的计算给出

$$r_{\mu \nu }=\frac{1}{2}(-\square h_{\mu \nu }+{\phi }_{\nu ,\rho \mu }^{\rho }+{\phi }_{\mu ,\rho \nu }^{\rho })=-\frac{1}{2}\square h_{\mu \nu }$$

在调和规范下。爱因斯坦张量因此为$G_{\mu \nu }\approx -(ϵ/2){\Theta }_{\mu \nu }$，而线性化爱因斯坦方程为

$$ϵ\square {\phi }_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }=-\frac{16\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },$$

其解可用推迟格林函数（12.23）表示

$$ϵ{\phi }_{\mu \nu }(\mathbf{x},t)=-\frac{4G}{c^4}\iiint \frac{[T_{\mu \nu }({\mathbf{x}}^{\prime },t^{\prime }){]}_{\mathrm{ret}}}{|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }.$$

在真空中，$T_{\mu \nu }$，爱因斯坦场方程可写为$R_{\mu \nu }=0$，因此在$\boxed{}{h}_{\mu \nu }=0$的线性近似下，这些解被称为引力波(gravitational wave)（更多细节见习题18.20）。

史瓦西解

真空爱因斯坦场方程 $R_{\mu \nu }=0$ 是一组关于 10 个未知量 $g_{\mu \nu }$ 的 10 个二阶非线性方程，只能在少数特殊情形下求解。其中最重要的是球对称情形；正如我们将在下一章看到的，这意味着度量在一组坐标 $x^1=r,x^2=\theta ,x^3=\varphi ,x^4=ct$ 中具有该形式

$$\mathrm{d}{s}^2={\mathrm{e}}^{\lambda }\mathrm{d}{r}^2+r^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)-{\mathrm{e}}^{\nu }{c}^2\mathrm{d}{t}^2\text{\hspace{1em}(18.90)}$$

其中 $\theta$ 和 $\varphi$ 取极坐标的正常范围（$r$ 不一定从 0 到 $\infty$），而 $\lambda$ 和 $\nu$ 是 $r$ 和 $t$ 的函数。为简单起见，我们将假设解是静态的，因此它们仅是径向坐标 $r$ 的函数，$\lambda =\lambda (r),\nu =\nu (r)$。伯克霍夫的一个著名定理向我们保证，对于坐标 $t$ 的适当选择，所有球对称真空解实际上都是静态的；其证明可在 辛格 [15] 中找到。

我们将使用嘉当形式体系进行计算。许多书籍更倾向于计算克里斯托费尔符号，并在式（18.90）的坐标系中完成所有计算。设$e_1,\dots ,e_4$为正交标准基

$$e_1={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }{\partial }_r,e_2=\frac{1}{r}{\partial }_{\theta },e_3=\frac{1}{r\sin \theta }{\partial }_{\varphi },e_4={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}v}{c}^{-1}{\partial }_t$$

使得

$$g_{\mu \nu }=g(e_{\mu },e_{\nu })=\eta =\mathrm{diag}(1,1,1,-1)$$

并且令${\epsilon }^1,\dots ,{\epsilon }^4$为对偶基

$${\epsilon }^1={\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}\lambda }\mathrm{d}r,{\epsilon }^2=r\mathrm{d}\theta ,{\epsilon }^3=r\sin \theta \mathrm{d}\varphi ,{\epsilon }^4={\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}\nu }c\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}\nu }\mathrm{d}{x}^4.$$

我们将用“降指标”联络形式 ${\omega }_{\mu \nu }$ 来写出嘉当结构关系，因为由式（18.73），我们有 ${\omega }_{\mu \nu }=-{\omega }_{\nu \mu }$。因此，式（18.64）可以写成

$$\mathrm{d}{\epsilon }^{\mu }=-{\omega }_{\nu }^{\mu }\wedge {\epsilon }^{\nu }=-{\eta }^{\mu \rho }{\omega }_{\rho \nu }{\epsilon }^{\nu }$$

并依次令 $\mu =1,2,3$、4，我们有，用撇号表示对 $r$ 的导数

$$\mathrm{d}{\epsilon }^1=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}\lambda }{\lambda }^{\prime }\mathrm{d}r\wedge \mathrm{d}r=0=-{\omega }_{12}\wedge {\epsilon }^2-{\omega }_{13}\wedge {\epsilon }^3-{\omega }_{14}\wedge {\epsilon }^4,\text{\hspace{1em}(18.91)}$$

$$\mathrm{d}{\epsilon }^2=r^{-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^2={\omega }_{12}\wedge {\epsilon }^1-{\omega }_{23}\wedge {\epsilon }^3-{\omega }_{24}\wedge {\epsilon }^4,\text{\hspace{1em}(18.92)}$$

$$\mathrm{d}{\epsilon }^3=r^{-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^3+r^{-1}\cot \theta {\epsilon }^2\wedge {\epsilon }^3={\omega }_{13}\wedge {\epsilon }^1+{\omega }_{23}\wedge {\epsilon }^2-{\omega }_{34}\wedge {\epsilon }^4,\text{\hspace{1em}(18.93)}$$

$$\mathrm{d}{\epsilon }^4=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }{\nu }^{\prime }{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^4=-{\omega }_{14}\wedge {\epsilon }^1-{\omega }_{24}\wedge {\epsilon }^2-{\omega }_{34}\wedge {\epsilon }^4.\text{\hspace{1em}(18.94)}$$

由式 (18.93) 立即推出 ${\omega }_{34}={\Gamma }_{344}{\epsilon }^4$，代入式 (18.94) 可知 ${\Gamma }_{344}=0$，因为它是 2-形式基元素 ${\epsilon }^3\wedge {\epsilon }^4$ 的唯一系数。类似地，由 $(18.94),{\omega }_{24}={\Gamma }_{242}{\epsilon }^2$ 和

$${\omega }_{14}=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }{\nu }^{\prime }{\epsilon }^4+{\Gamma }_{141}{\epsilon }^1.$$

继续这样进行，我们得到联络一形式的以下值：

$$\begin{array}{ll}{\omega }_{12}=-r^{-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }{\epsilon }^2,& {\omega }_{13}=-r^{-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }{\epsilon }^3,\\ {\omega }_{14}=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }{v}^{\prime }{\epsilon }^4,& {\omega }_{24}=0,\end{array}\begin{array}{l}{\omega }_{23}=-r^{-1}\cot \theta {\epsilon }^3,\\ {\omega }_{34}=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(18.95)}$$

为得到曲率张量，现在只需将这些形式代入指标已下降的第二嘉当结构方程 式 (18.67) 即可。

$${\rho }_{\mu \nu }=-{\rho }_{\nu \mu }=2\mathrm{d}{\omega }_{\mu \nu }+2{\omega }_{\mu \rho }\wedge {\omega }_{\sigma \nu }{\eta }^{\rho \sigma }.\text{\hspace{1em}(18.96)}$$

例如

$$\begin{array}{l}{\rho }_{12}=2(\mathrm{d}{\omega }_{12}+{\omega }_{13}\wedge {\omega }_{32}+{\omega }_{14}\wedge {\omega }_{42})\\ =2\mathrm{d}(-r^{-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }{\epsilon }^2)\text{ since }{\omega }_{13}\propto {\omega }_{23}\text{ and }{\omega }_{42}=0\\ =-2{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }(r^{-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }{)}^{\prime }{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^2-2r^{-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\lambda }\mathrm{d}{\epsilon }^2.\end{array}$$

将$\mathrm{d}{\epsilon }^2$用式(18.92)代入，我们得到

$${\rho }_{12}=r^{-1}{\lambda }^{\prime }{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^2.$$

同样地，

$$\begin{array}{c}{\rho }_{13}=r^{-1}{\lambda }^{\prime }{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^3,{\rho }_{23}=2r^{-2}(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }){\epsilon }^2\wedge {\epsilon }^3,\\ {\rho }_{14}={\mathrm{e}}^{-\lambda }({\nu }^{\prime \prime }-\frac{1}{2}{\lambda }^{\prime }{\nu }^{\prime }+({\nu }^{\prime }{)}^2){\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^4,\\ {\rho }_{24}=r^{-1}{\nu }^{\prime }{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\epsilon }^2\wedge {\epsilon }^4,{\rho }_{34}=r^{-1}{\nu }^{\prime }{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\epsilon }^3\wedge {\epsilon }^4.\end{array}$$

黎曼张量在该基下的分量由下式给出

$$R_{\mu \nu \rho \sigma }=\overline{R}(e_{\mu },e_{\nu },e_{\rho },e_{\sigma })={\rho }_{\mu \nu }(e_{\rho },e_{\sigma }).$$

非零分量是

$$\begin{array}{l}{R}_{1212}=R_{1313}=\frac{{\lambda }^{\prime }}{2r}{\mathrm{e}}^{-\lambda },\\ R_{2323}=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{r^2},\\ R_{1414}=\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{-\lambda }(2{\nu }^{\prime \prime }-{\lambda }^{\prime }{\nu }^{\prime }+({\nu }^{\prime }{)}^2),\\ R_{2424}=R_{3434}=\frac{{\nu }^{\prime }}{2r}{\mathrm{e}}^{-\lambda }.\end{array}\text{\hspace{1em}(18.97)}$$

里奇张量分量

$$R_{\mu \nu }={\eta }^{\rho \sigma }{R}_{\rho \mu \sigma \nu }=\sum _{i=1}^3{R}_{i\mu i\nu }-R_{4\mu 4\nu }$$

因此

$$R_{11}={\mathrm{e}}^{-\lambda }(-\frac{{\nu }^{\prime \prime }}{2}+\frac{{\lambda }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{4}-\frac{({\nu }^{\prime }{)}^2}{4}+\frac{{\lambda }^{\prime }}{r}),\text{\hspace{1em}(18.98)}$$

$$R_{44}={\mathrm{e}}^{-\lambda }(\frac{{\nu }^{\prime \prime }}{2}-\frac{{\lambda }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{4}+\frac{({\nu }^{\prime }{)}^2}{4}+\frac{{\nu }^{\prime }}{r}),\text{\hspace{1em}(18.99)}$$

$$R_{22}=R_{33}={\mathrm{e}}^{-\lambda }\left(\frac{{\lambda }^{\prime }-{\nu }^{\prime }}{2r}-\frac{1}{r^2}\right)+\frac{1}{r^2}.\text{\hspace{1em}(18.100)}$$

为求解爱因斯坦真空方程 $R_{\mu \nu }=0$，我们将式 (18.98) 与式 (18.99) 相加，可见 ${\lambda }^{\prime }+{\nu }^{\prime }=0$，于是

$$\lambda =-\nu +C(C=\text{ const. })$$

时间坐标的重新标度 $t{t}^{\prime }={\mathsf{e}}^{C/2}t$ 具有使 $C=0$ 成立的效果，我们现在假定这一点。根据式 (18.99)，$R_{44}=0$ 将二阶微分方程化为

$${\nu }^{\prime \prime }+({\nu }^{\prime }{)}^2+\frac{2{\nu }^{\prime }}{r}=0$$

而代换$\alpha ={\mathrm{e}}^{\nu }$得到

$${\left(r^2{\alpha }^{\prime }\right)}^{\prime }=0,$$

因此

$$\alpha ={\mathrm{e}}^{\nu }=A-\frac{2m}{r}(m,A=\text{ const. }).$$

若将其代入 $R_{22}=0$，则由 $(18.100),(r\alpha {)}^{\prime }=1$ 可得 $A=1$。因此，爱因斯坦真空方程最一般的球对称解为

$$\mathrm{d}{s}^2=\frac{1}{1-2m/r}\mathrm{d}{r}^2+r^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)-\left(1-\frac{2m}{r}\right)c^2\mathrm{d}{t}^2,\text{\hspace{1em}(18.101)}$$

著名的即所谓史瓦西解(Schwarzschild solution)。将极坐标转换为等价的笛卡儿坐标$x$、$y$、$z$，当$r\to \infty$时，我们有

$$\mathrm{d}{s}^2\approx \mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2-c^2\mathrm{d}{t}^2+\frac{2m}{r}(c^2\mathrm{d}{t}^2+\dots )$$

并且$g_{\mu \nu }\approx {\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$，其中

$$h_{44}=\frac{2m}{r}\approx \frac{-2\varphi }{c^2},$$

假设在此极限下牛顿近似与势 $\varphi$ 适用。由于牛顿质量 $M$ 的势由 $\varphi =GM/r$ 给出，因此作出如下认定是合理的

$$m=\frac{GM}{c^2}.$$

常数$m$具有长度的量纲，而度量式(18.101)表现出奇异行为的$2m=2GM/c^2$，通常被称为史瓦西半径(Schwarzschild radius)。对于太阳质量，$M_{\odot }=2\times 10^{33}$ $g$，其值约为3 $\mathrm{km}$。然而，太阳需要坍缩到大约这个大小，牛顿理论的强修正才会适用。

当在该度量中计算粒子（类时测地线）与光子（零测地线）的路径时，对于太阳系发现以下与牛顿理论的偏差：

1. 在较低引力势处，时钟会变慢。在地球表面，这相当于从发射器到其上方高度为 $h$ 的接收器的红移为

$$z=\frac{G{M}_{e}h}{R_e^2{c}^2}.$$

这相当于约 $10^{-15}{\mathrm{m}}^{-1}$ 的红移，并且可利用穆斯堡尔效应进行测量。

2. 绕太阳运行的行星轨道的近日点进动量为

$$\delta \phi =\frac{6\pi M_{\odot }G}{c^{2}a(1-{\mathrm{e}}^2)}\text{ per revolution. }$$

对于水星，这一结果得出每世纪43角秒。

3. 一束光在距太阳最近距离为 $r_0$ 处经过时，被偏转的量为

$$\delta \phi =\frac{4G{M}_{\odot }}{r_0{c}^2}.$$

对于掠射太阳边缘 $r_0=R_{\odot }$ 的光束，偏折为 1.75 角秒。

极限 $r2m$ 特别令人关注。尽管在此极限下度量 18.101 式似乎奇异，但这实际上只是坐标的特性，而非时空本身的特性。通过计算史瓦西解的曲率分量 18.97 式，可以找到情况可能如此的线索，

$$R_{1212}=R_{1313}=R_{2424}=R_{3434}=-\frac{m}{r^3},R_{2424}=-R_{1414}=\frac{2m}{r^3}$$

当$r2m$时，所有这些都趋近于有限值

随文练习

验证这些黎曼张量的分量表达式。

更具体地说，我们作从 $t$ 到 $\mathbf{v}=\mathbf{c}\mathbf{t}+\mathbf{r}+$ 2$m$ $\ln (r-2m)$ 的坐标变换，后者有时被称为超前时间，因为可以证明它在内向零测地线上为常数，同时保持空间坐标 $r$、$\theta$、$\varphi$ 不变。在这些 爱丁顿–芬克尔斯坦 坐标中，度量变为

$$\mathrm{d}{s}^2=-\left(1-\frac{2m}{r}\right)\mathrm{d}{v}^2+2\mathrm{d}r\mathrm{d}v+r^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2).$$

$\mathbf{As}r2m$ 度量在这些坐标中未显示出任何异常。在区域 $r>2m$ 中，向内指向的类时测地线在有限的 $v$ 时间内到达 $r=2m$（并且在有限的固有时内也是如此）。然而，当测地线粒子穿过 $r=2m$ 之后，无法从它向 $r>2m$ 发送任何光信号（见图 18.4）。曲面 $r$ 2$m$ 对光信号而言充当单向膜，称为 事件视界(event horizon)。具有 $r>2m$ 的观测者永远无法看到 $r=2m$ 内部的任何事件，这种效应通常被称为 黑洞(black hole)。

图 18.4 爱丁顿–芬克尔斯坦坐标下的史瓦西解

习题

习题 18.20

一个线性化平面引力波是线性化爱因斯坦方程 $\boxed{}{h}_{\mu \nu }=0$ 的解，其形式为 $h_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }(u)$，其中 $u=x^3-x^4=z-ct$。证明调和规范条件式 (18.89) 意味着，在相差未定义常数的意义下，

$$h_{14}+h_{13}=h_{24}+h_{23}=h_{11}+h_{22}=0,h_{34}=-\frac{1}{2}(h_{33}+h_{44}).$$

利用剩余的规范自由度${\xi }_{\mu }={\xi }_{\mu }(u)$，证明可以将$h_{\mu \nu }$变换为以下形式

$$[h_{\mu \nu }]=\left(\begin{array}{cc}\mathsf{H}& \mathsf{O}\\ \mathsf{O}& \mathsf{O}\end{array}\right)\text{ where }\mathsf{H}=\left(\begin{array}{cc}{h}_{11}& h_{12}\\ h_{12}& -h_{11}\end{array}\right).$$

令 $h_{11}=\alpha (u)$ 和 $h_{12}=\beta (u)$ ，证明测地偏离方程具有如下形式

$${\ddot{\eta }}_1=\frac{ϵ}{2}{c}^2\left({\alpha }^{\prime \prime }{\eta }_1+{\beta }^{\prime \prime }{\eta }_2\right),{\ddot{\eta }}_2=\frac{ϵ}{2}{c}^2\left({\beta }^{\prime \prime }{\eta }_1-{\alpha }^{\prime \prime }{\eta }_2\right)$$

以及${\ddot{\eta }}_3=0$。在$\beta =0$与$\alpha =0$两种情形下，画出自由下落粒子相对于测地线观测者的邻近加速度分布的草图。这些结果对于引力波的观测搜寻具有核心意义。

习题 18.21

证明每个二维时空度量（符号为0）都可以局部地用共形坐标表示

$$\mathrm{d}{s}^2={\mathrm{e}}^{2\varphi }\left(\mathrm{d}{x}^2-\mathrm{d}{t}^2\right)\text{ where }\varphi =\varphi (x,t).$$

计算黎曼曲率张量的分量$R_{1212}$，并写出二维爱因斯坦真空方程$R_{ij}=0$。它们的一般解是什么？

习题 18.22

(a) 对于广义相对论中的理想流体，

$$T_{\mu \nu }=(\rho c^2+P)U_{\mu }{U}_{\nu }+P{g}_{\mu \nu }(U^{\mu }{U}_{\mu }=-1)$$

证明守恒恒等式 $T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0$ 蕴含

$$\begin{array}{c}{\rho }_{,\nu }{U}^{\nu }+(\rho c^2+P)U_{;\nu }^{\nu },\\ (\rho c^2+P)U_{;\nu }^{\mu }{U}^{\nu }+P_{,\nu }(g^{\mu \nu }+U^{\mu }{U}^{\nu }).\end{array}$$

(b) 对于无压流体，证明流体的流线（即满足 $\mathrm{d}{x}^{\mu }/\mathrm{d}s=U^{\mu })$ 的曲线 $x^{\mu }(s)$）是测地线，且 $\rho U^{\mu }$ 是协变四维电流，$(\rho U^{\mu }{)}_{,\mu }=0$

(c) 在牛顿近似中，其中

$$U_{\mu }=\left(\frac{v_i}{c},-1\right)+O({\beta }^2),P=O({\beta }^2)\rho c^2,\left(\beta =\frac{v}{c}\right)$$

其中 $|\beta |\ll 1$ 且 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+ϵh_{\mu \nu }$ 与 $ϵ\ll 1$ 一起，证明

$$h_{44}\approx -\frac{2\varphi }{c^2},h_{ij}\approx -\frac{2\varphi }{c^2}{\delta }_{ij}\text{ where }{\nabla }^2\varphi =4\pi G\rho$$

以及$h_{i4}=O(\beta )h_{44}$。在此近似下证明方程$T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0$近似于

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})=0,\rho \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=-\nabla P-\rho \nabla \varphi .$$

习题 18.23

(a) 计算一个具有如下形式度量的时空的里奇张量 $R_{\mu \nu }$ 的分量

$$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2-2\mathrm{d}u\mathrm{d}v+2H\mathrm{d}{v}^2(H=H(x,y,u,v)).$$

(b) 证明时空为真空当且仅当 $H=\alpha (x,y,v)+f(v)u$，其中 $f(v)$ 是任意函数，且 $\alpha$ 满足二维拉普拉斯方程

$$\frac{{\partial }^2\alpha }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\alpha }{\partial y^2}=0,$$

并证明可以通过坐标变换 $u^{\prime }=ug(v),v^{\prime }=h(v)$ 使 $f(v)=0$ 成立 (c) 证明对于 $i,j=1,2$，有 $R_{i4j4}=-H_{,ij}$

习题 18.24

证明可以找到坐标变换 $r=h(r^{\prime })$，使得史瓦西解具有以下形式

$$\mathrm{d}{s}^2=-{\mathrm{e}}^{\mu (r^{\prime })}\mathrm{d}{t}^2+{\mathrm{e}}^{\nu (r^{\prime })}(\mathrm{d}{r}^{\prime 2}+r^{\prime 2}(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)).$$

显式地计算函数 ${\mathtt{e}}^{\mu }$ 和 ${\mathsf{e}}^{\nu }$。

习题 18.25

考虑一个位于 $r=r_0$ 的振子在 $t=t_0$ 时发射一个光脉冲（零测地线）。如果它被位于 $r=r_1$ 的观测者在 $t=t_1$ 时接收到，证明

$$t_1=t_0+{\int }_{r_0}^{r_1}\frac{\mathrm{d}r}{c(1-2m/r)}.$$

通过考虑在 $t_0+\Delta t_0,$ 发出的信号，在 $t_1+\Delta t_1$ 被接收（假设径向位置 $r_0$ 和 $r_1$ 为常量），证明 $t_0=t_1$，并且通过比较发射和接收时的固有时得到的引力红移由下式给出

$$1+z=\frac{\Delta {\tau }_1}{\Delta {\tau }_0}=\sqrt{\frac{1-2m/r_1}{1-2m/r_0}}.$$

证明对于地球表面两个位于不同高度 $h$ 的时钟，这简化为

$$z\approx \frac{2GM}{c^2}\frac{h}{R},$$

其中 $M$ 和 $R$ 分别是地球的质量和半径。

习题 18.26

在史瓦西解中，证明唯一可能的闭光子路径是在$r=3m$处的圆轨道，并证明它是不稳定的。

习题 18.27

(a) 在史瓦西解中，一粒子从无穷远处由静止开始沿径向向内下落。证明它将在穿过某个固定参考位置 $r_0.$ 后，于有限固有时内到达 $r=2m$，但坐标时 $t\infty \mathrm{as}r2m$

(b) 对于下落的延展体，通过平行移动一个四元标架（只需考虑径向类空单位向量）并计算 $R_{1414}$，来计算径向方向上的潮汐力。

(c) 估算一个身高为 1.8 $m$、体重 70 $\mathrm{kg}$ 的人，头朝下落入一个太阳质量黑洞 $(M_{\odot }=2\times 10^{30}\mathrm{kg})$ 时，在他穿过 $r=2m$ 处所受到的总潮汐力。