自旋群 (spin group)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§6.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正交群(orthogonal group) $\mathrm{SO}(n)$ 有一个微妙而引人注目的性质：存在一个与之相关联的群，称为自旋群(spin group) $\mathrm{Spin}(n)$；$\mathrm{SO}(n)$ 的每个元素都对应 $\mathrm{Spin}(n)$ 中恰好两个不同元素。存在一个满射

§6.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

A subtle and remarkable property of the orthogonal groups $\mathrm{SO}(n)$ is that it comes with an associated group, called the spin group $\mathrm{Spin}(n)$, such that every element of $\mathrm{SO}(n)$ corresponds to two distinct elements of $\mathrm{Spin}(n)$. There is a surjective group homomorphism

§6.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§6.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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§7.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

对于自旋为 $1/2$ 的粒子，自旋群(spin group) Spin(3)与 $SU(2)$ 同构，并通过旋量表示(spinor representation)作用于量子态，其中元素 $\Omega (\theta ,\mathbf{w})\in SU(2)$ 的作用为

§7.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

For a spin-$1/2$ particle, the Spin group (Spin(3)) group, which is isomorphic to $SU(2)$, acts on states through the spinor representation with the element $\Omega (\theta ,\mathbf{w})\in SU(2)$ acting as

§29.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

定义（ 自旋群(spin group) $\mathrm{Spin}(n)$）

群 $\mathrm{Spin}(n,\mathbb{R})$ 由 $\mathrm{Cliff}(n)$ 中形如下式的可逆元素组成：

$$/{\mathbf{w}}_1/{\mathbf{w}}_2\cdots /{\mathbf{w}}_k$$

其中 ${\mathbf{w}}_j\in {\mathbb{R}}^n$（$j=1,\dots ,k$），$k\le n$，$\Vert {\mathbf{w}}_j{\Vert }^2=1$，且 $k$ 为偶数。群乘法就是Clifford代数中的乘法。

§29.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Definition ( spin group $\mathrm{Spin}(n)$)

$\mathrm{Spin}(n,\mathbb{R})$ is the group of invertible elements of $\mathrm{Cliff}(n)$ of the form

$$/{\mathbf{w}}_1/{\mathbf{w}}_2\cdots /{\mathbf{w}}_k$$

where ${\mathbf{w}}_j\in {\mathbb{R}}^n$ for $j=1,\dots ,k$, $k\le n$, $\Vert {\mathbf{w}}_j{\Vert }^2=1$, and $k$ is even. Multiplication is Clifford-algebra multiplication.

来源覆盖、定位与记录

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