7.4 列维-奇维塔联络

7.4.1 基本定理

在仿射联络中，有一种特殊的联络，称为列维-奇维塔联络，它是经典曲面微分几何中联络概念的自然推广。若一个联络 $\nabla$ 的挠率张量为零，则称它为对称联络(symmetric connection)。在坐标基下，对称联络的联络系数满足

$${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }={\Gamma }_{\nu \mu }^{\lambda }.\text{\hspace{1em}(7.52)}$$

定理 7.1 · （伪）黎曼几何基本定理

在（伪）黎曼流形 $(M,g)$ 上，存在唯一的与度量 $g$ 相容的对称联络。这个联络称为列维-奇维塔联络。

证明

这可由(7.34)直接推出。设 $\nabla$ 为任意一个联络，使得

$${\tilde{\Gamma }}_{\mu v}^{\kappa }=\left\{\begin{array}{c}\kappa \\ \mu v\end{array}\right\}+K_{\mu v}^{\kappa }$$

其中 $\left\{\begin{array}{c}\kappa \\ \mu \nu \end{array}\right\}$ 是克里斯托费尔符号，$K$ 是挠率张量。练习 7.5中已经证明，若 $t$ 是 (1, 2) 型张量场，则 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\kappa }\equiv {\tilde{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\kappa }+t_{\mu \nu }^{\kappa }$ 是另一个联络系数。现在选取 $t_{\mu \nu }^{\kappa }=-K_{\mu \nu }^{\kappa }$，使得

$${\Gamma }_{\mu \nu }^{\kappa }=\left\{\begin{array}{l}\kappa \\ \mu \nu \end{array}\right\}=\frac{1}{2}{g}^{\kappa \lambda }\left({\partial }_{\mu }{g}_{\lambda \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \mu }-{\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \nu }\right).\text{\hspace{1em}(7.53)}$$

由构造可知，它是对称的，并且在给定度量时显然是唯一的。

练习 7.8

设 $V$ 为一个列维-奇维塔联络。

(a) 设 $f\in \mathcal{F}(M)$。证明

$${\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }f={\nabla }_{\nu }{\nabla }_{\mu }f.\text{\hspace{1em}(7.54)}$$

(b) 设 $\omega \in {\Omega }^1(M)$。证明

$$\mathrm{d}\omega =({\nabla }_{\mu }\omega {)}_{\nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }.\text{\hspace{1em}(7.55)}$$

(c) 设 $\omega \in {\Omega }^1(M)$，并设 $U\in \mathcal{X}(M)$ 为与之对应的向量场：$U^{\mu }=g^{\mu \nu }{\omega }_{\nu }$。证明对任意 $V\in \mathcal{X}(M)$，有

$$g\left({\nabla }_{X}U,V\right)=⟨{\nabla }_X\omega ,V⟩.\text{\hspace{1em}(7.56)}$$

(a) ${\mathbb{R}}^2$ 上极坐标下的度量为 $g=\mathrm{d}r\otimes \mathrm{d}r+r^2\mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi$。列维-奇维塔联络系数中不为零的分量为 ${\Gamma }_{r\varphi }^{\varphi }={\Gamma }_{\varphi r}^{\varphi }=r^{-1}$ 与 ${\Gamma }_r{}^{\varphi }{}_{\varphi }=-r$。这与例 7.1中得到的结果一致。
(b) $S^2$ 上的诱导度量为 $g=\mathrm{d}\theta \otimes \mathrm{d}\theta +{\sin }^2\theta \mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi$。列维-奇维塔联络中不为零的分量为

$${\Gamma }_{\varphi \varphi }^{\theta }=-\cos \theta \sin \theta {\Gamma }_{\theta \varphi }^{\varphi }={\Gamma }_{\varphi \theta }^{\varphi }=\cot \theta .\text{\hspace{1em}(7.57)}$$

7.4.2 曲面经典几何中的列维-奇维塔联络

在嵌入 ${\mathbb{R}}^3$ 的曲面的经典微分几何中，列维-奇维塔对邻近点 $p$ 与 $q$ 处向量的平行性作了如下定义（图 7.6）。首先，取 $p$ 处的切平面以及 $p$ 处位于该切平面内的向量 $V_p$。若 $q$ 处的向量 $V_q$ 在 $p$ 处切平面上的投影（即 $V_q$ 的投影）按通常意义与 $V_p$ 平行，则称 $V_q$ 与 $V_p$ 平行。现在按图 7.7取 $p$ 附近的两点 $q$ 与 $s$，并将位移向量 $pq$ 沿 $ps$、$ps$ 沿 $pq$ 作平行移动。若平行性按列维-奇维塔的意义定义，则投影到 $p$ 处切平面的位移向量构成一个闭合的平行四边形，因此这种平行性的挠率为零。正如定理 7.1所证明的，存在唯一的无挠联络，它把这里定义的平行性推广到任意流形上。

图 7.6. 在曲面 $M$ 上，若 $V_q$ 到 $T_{p}M$ 的投影映射与 $V_p$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中按通常意义平行，则称向量 $V_p\in T_{p}M$ 与 $V_q\in T_{q}M$ 平行。

图 7.7. 若平行性按列维-奇维塔的意义定义，则挠率恒为零。

7.4.3 测地线

采用列维-奇维塔联络时，我们可以用简单的程序算出联络系数、黎曼张量以及许多涉及它们的关 系式。除了这种简便性之外，列维-奇维塔联络还使测地线(geodesic)（定义为尽可能直的曲线）具有另一幅图景，即连接两个给定点的尽可能短的曲线。在牛顿力学中，自由粒子的轨迹既是最直的曲线，也是最短的曲线，即一条直线。爱因斯坦提出，这一性质在广义相对论中也应当成立；如果把引力理解为时空几何的一部分，那么自由下落的粒子就应当沿着既最直又最短的曲线运动。[注：确切地说，“最短的曲线”这一条件过强。正如我们后面将看到的，关于列维-奇维塔联络定义的测地线给出的是连接两点的曲线长度的局部极值。]

例 7.4

在平坦流形 $({\mathbb{R}}^m,\delta )$ 或 $({\mathbb{R}}^m,\eta )$ 上，列维-奇维塔联络系数 $\Gamma$ 恒为零。因此，测地线方程(7.19b)很容易求解，得到 $x^{\mu }=A^{\mu }t+B^{\mu }$，其中 $A^{\mu }$ 与 $B^{\mu }$ 为常数。

练习 7.9

圆柱面 $S^1\times \mathbb{R}$ 上给定一个度量 $g=\mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi +\mathrm{d}z\otimes \mathrm{d}z$，其中 $\varphi$ 是 $S^1$ 的极角，$z$ 是 $\mathbb{R}$ 的坐标。证明由列维-奇维塔联络给出的测地线都是螺旋线。

“最直的曲线”与“距离的局部极值”之间的等价性可证明如下。首先用曲线上的距离 $s$ 来参数化曲线，即 $x^{\mu }=x^{\mu }(s)$。连接两点 $p$ 与 $q$ 的路径 $c$ 的长度为

$$I(c)={\int }_c\mathrm{d}s={\int }_c\sqrt{g_{\mu v}{x}^{\prime \mu }{x}^{\prime v}}\mathrm{d}s\text{\hspace{1em}(7.58)}$$

其中 $x^{\prime \mu }=\mathrm{d}{x}^{\mu }/\mathrm{d}s$。我们不从 (7.58) 出发推导欧拉–拉格朗日方程，而是求解一个稍为简单的问题。令 $F\equiv \frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }{x}^{\prime \mu }{x}^{\prime \nu }$，并记

(7.58) 为 $I(c)={\int }_{c}L(F)\mathrm{d}s$。原问题的欧拉–拉格朗日方程取如下形式

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\partial L}{\partial x^{\prime \lambda }}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^{\lambda }}=0.\text{\hspace{1em}(7.59)}$$

于是 $F=L^2/2$ 满足

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\partial F}{\partial x^{\prime \lambda }}\right)-\frac{\partial F}{\partial x^{\lambda }}=L\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\partial L}{\partial x^{\prime \lambda }}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^{\lambda }}\right]+\frac{\partial L}{\partial x^{\prime \lambda }}\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}s}=\frac{\partial L}{\partial x^{\prime \lambda }}\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}s}.\text{\hspace{1em}(7.60)}$$

由于沿曲线 $L\equiv 1$，故最后一个表达式为零；即 $\mathrm{d}L/\mathrm{d}s=0$。至此我们证明了：只要 $L$ 满足欧拉–拉格朗日方程，$F$ 也满足该方程。于是有

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(g_{\lambda \mu }{x}^{\prime \mu }\right)-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu v}}{\partial x^{\lambda }}{x}^{\prime \mu }{x}^{\prime v}\\ & =\frac{\partial g_{\lambda \mu }}{\partial x^{\nu }}{x}^{\prime \mu }{x}^{\prime \nu }+g_{\lambda \mu }\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{s}^2}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\lambda }}{x}^{\prime \mu }{x}^{\prime \nu }\\ & =g_{\lambda \mu }\frac{d^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{s}^2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\lambda \mu }}{\partial x^{\nu }}+\frac{\partial g_{\lambda \nu }}{\partial x^{\mu }}-\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\lambda }}\right)\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}{x}^{\nu }}{\mathrm{d}s}=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.61)}$$

若将 (7.61) 乘以 $g^{\kappa \lambda }$，便重新得到测地线方程(7.19b)。

既然证明了 $L$ 与 $F$ 满足同一个变分问题，我们便可利用这一点来计算克里斯托费尔符号。以 $S^2$ 为例。$F$ 由 $\frac{1}{2}({\theta }^{\prime 2}+{\sin }^2\theta {\varphi }^{\prime 2})$ 给出，而欧拉–拉格朗日方程为

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{s}^2}-\sin \theta \cos \theta {\left(\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}s}\right)}^2=0\text{\hspace{1em}(7.62a)}$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\varphi }{\mathrm{d}{s}^2}+2\cot \theta \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}s}=0.\text{\hspace{1em}(7.62b)}$$

由此很容易读出联络系数 ${\Gamma }_{\varphi \varphi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta$ 与 ${\Gamma }_{\varphi \theta }^{\varphi }={\Gamma }_{\theta \varphi }^{\varphi }=\cot \theta$，见 (7.57)。

例 7.5

我们来计算 $S^2$ 的测地线。我们不去求解测地线式 (7.62)，而是通过使连接 $S^2$ 上两点的曲线长度取极小来求测地线。不失一般性，可给这两点指定坐标 $({\theta }_1,{\varphi }_0)$ 与 $({\theta }_2,{\varphi }_0)$。设 $\varphi =\varphi (\theta )$ 为连接这两点的一条曲线，则曲线的长度为

$$I(c)={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\sqrt{1+{\sin }^2{\left(\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}\theta }\right)}^2}\mathrm{d}\theta \text{\hspace{1em}(7.63)}$$

当 $\mathrm{d}\varphi /\mathrm{d}\theta \equiv 0$，即 $\varphi \equiv {\varphi }_0$ 时它取极小值。因此，测地线是大圆 $(\theta ,{\varphi }_0)$，${\theta }_1\le \theta \le {\theta }_2$。[注：求解 (7.62) 并不很难。设 $\theta =\theta (\varphi )$ 为测地线的方程，则

$$\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\varphi }\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}s}\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{s}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{\varphi }^2}{\left(\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}s}\right)}^2+\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\varphi }\frac{{\mathrm{d}}^2\varphi }{\mathrm{d}{s}^2}.$$

将它们代入 (7.62) 的第一个方程，得到

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{\varphi }^2}{\left(\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}s}\right)}^2+\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\varphi }\frac{{\mathrm{d}}^2\varphi }{\mathrm{d}{s}^2}-\sin \theta \cos \theta {\left(\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}s}\right)}^2=0.\text{\hspace{1em}(7.64)}$$

由 (7.62) 的第二个方程与 (7.64) 可得

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{\varphi }^2}-2\cot \theta {\left(\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\varphi }\right)}^2-\sin \theta \cos \theta =0.\text{\hspace{1em}(7.65)}$$

若定义 $f(\theta )\equiv \cot \theta$，则 (7.65) 化为

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{\varphi }^2}+f=0$$

其通解为 $f(\theta )=\cot \theta =A\cos \varphi +B\sin \varphi$，或

$$A\sin \theta \cos \varphi +B\sin \theta \sin \varphi -\cos \theta =0.\text{\hspace{1em}(7.66)}$$

式 (7.66) 是一个大圆的方程，该大圆位于法向量为 $(A,B,-1)$ 的平面内。]

例 7.6

设 $U$ 为上半平面 $U\equiv \{(x,y)|y>0\}$，并引入庞加莱度量

$$g=\frac{\mathrm{d}x\otimes \mathrm{d}x+\mathrm{d}y\otimes \mathrm{d}y}{y^2}.\text{\hspace{1em}(7.67)}$$

其测地线方程为

$$x^{\prime \prime }-\frac{2}{y}{x}^{\prime }{y}^{\prime }=0\text{\hspace{1em}(7.68a)}$$

$$y^{\prime \prime }-\frac{1}{y}\left[x^{\prime 2}+3y^{\prime 2}\right]=0\text{\hspace{1em}(7.68b)}$$

其中 $x^{\prime }\equiv \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}$ 等等。将 (7.68) 的第一个方程除以 $x^{\prime }$，便可容易地积分，得到

$$\frac{x^{\prime }}{y^2}=\frac{1}{R}\text{\hspace{1em}(7.69)}$$

其中 $R$ 为常数。由于参数 $s$ 的选取使得向量 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 具有单位长度，故它满足 $(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})/y^2=1$。由(7.69)，这成为 $y^2/R^2+(y^{\prime }/y{)}^2=1$，或

$$\mathrm{d}s=\frac{\mathrm{d}y}{y\sqrt{1-y^2/R^2}}=\frac{\mathrm{d}t}{\sin t}$$

其中我们令 $y=R\sin t$。于是式 (7.69)变为

$$x^{\prime }=\frac{y^2}{R}=R{\sin }^{2}t.$$

现在由 $x$ 解出 $t$，得到

$$\begin{array}{rl}x& =\int x^{\prime }ds=\int \frac{dx}{ds}\frac{ds}{dt}dt\\ & =\int R\sin tdt=-R\cos t+x_0.\end{array}$$

最后，我们得到解

$$x=-R\cos t+x_{0}y=R\sin t(y>0)\text{\hspace{1em}(7.70)}$$

这是一个半径为 $R$、圆心在 $(x_0,0)$ 的圆。极大延拓测地线由 $0<t<\pi$（图 7.8）给出，其长度为无限，

图 7.8. 上半平面中由庞加莱度量确定的测地线。该测地线具有无限的长度。

$$\begin{array}{rl}I& =\int \mathrm{d}s={\int }_{0+\epsilon }^{\pi -\epsilon }\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t={\int }_{0+\epsilon }^{\pi -\epsilon }\frac{1}{\sin t}\mathrm{d}t\\ & =-\frac{1}{2}\log \frac{1+\cos t}{1-\cos t}{|}_{0+\epsilon }^{\pi -\epsilon }\stackrel{\epsilon \to 0}{\to }\infty .\end{array}$$

7.4.4 正规坐标系

这里讨论的内容并不限于列维-奇维塔联络，但采用列维-奇维塔联络时，其形式会变得特别简单。设 $c(t)$ 为

$(M,g)$ 中的一条测地线，它关于联络 $\nabla$ 定义，并满足

$$c(0)=p,{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_p=X=X^{\mu }{e}_{\mu }\in T_{p}M\text{\hspace{1em}(7.71)}$$

其中 $\{e_{\mu }\}$ 是 $p$ 处的坐标基。从 $p$ 出发的任一条测地线都由 $X\in T_{p}M$ 给定。取 $p$ 附近的一点 $q$。连接 $p$ 与 $q$ 的测地线有很多条，但存在唯一一条测地线 $c_q$ 满足 $c_q(1)=q$。设 $X_q\in T_{p}M$ 为该测地线在 $p$ 处的切向量。只要 $q$ 离 $p$ 不太远，$q$ 就唯一地确定 $X_q=X_q^{\mu }{e}_{\mu }\in T_{p}M$，于是 $\phi :q\to X_q^{\mu }$ 便构成 $p$ 邻域内一个良好的坐标系。这个坐标系称为以 $p$ 为基点、以 $\{e_{\mu }\}$ 为基的正规坐标系(normal coordinate system)。显然有 $\phi (p)=0$。我们由 $\mathrm{EXP}:X_q\mapsto q$ 定义映射 $\mathrm{EXP}:T_{p}M\to M$。按定义有

$$\phi \left(\mathrm{EXP}{X}_q^{\mu }{e}_{\mu }\right)=X_q^{\mu }.\text{\hspace{1em}(7.72)}$$

在这个坐标系下，满足 $c(0)=p$ 且 $c(1)=q$ 的测地线 $c(t)$ 的坐标表示为

$$\phi (c(t))=X^{\mu }=X_q^{\mu }t\text{\hspace{1em}(7.73)}$$

其中 $X_q^{\mu }$ 是 $q$ 的正规坐标。

下面我们证明，在正规坐标系中列维-奇维塔联络的系数为零。为此，我们写出正规坐标系中的测地线方程：

$$0=\frac{{\mathrm{d}}^2{X}^{\mu }}{\mathrm{d}{t}^2}+{\Gamma }_{v\lambda }^{\mu }\left(X_q^{\kappa }t\right)\frac{\mathrm{d}{X}^v}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{X}^{\lambda }}{\mathrm{d}t}={\Gamma }_{v\lambda }^{\mu }\left(X_q^{\kappa }t\right)X_q^v{X}_q^{\lambda }.\text{\hspace{1em}(7.74)}$$

由于对任意 $X_q^{\nu }$，只要在 $p$ 处 $t=0$，就有 ${\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }(p)X_q^{\nu }{X}_q^{\lambda }=0$，因此得到 ${\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }(p)+{\Gamma }_{\lambda \nu }^{\mu }(p)=0$。又因我们的联络是对称的，所以必有

$${\Gamma }_{v\lambda }^{\mu }(p)=0.\text{\hspace{1em}(7.75)}$$

于是，任意张量 $t$ 的协变导数在该坐标系中于 $p$ 处取极其简单的形式：

$${\nabla }_X{t}_{\dots }^{\dots }=X[t_{\dots }^{\dots }].\text{\hspace{1em}(7.76)}$$

式 (7.75) 并不意味着 ${\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }$ 在 $q(\ne p)$ 处也为零。事实上，由 (7.42) 可得

$$R_{\lambda \mu \nu }^{\kappa }(p)={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\kappa }(p)-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\kappa }(p)\text{\hspace{1em}(7.77)}$$

因此，若 $R_{\lambda \mu \nu }^{\kappa }(p)\ne 0$，则 ${\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\kappa }(p)\ne 0$。

7.4.5 采用列维-奇维塔联络的黎曼曲率张量

设 $\nabla$ 为列维-奇维塔联络。此时黎曼曲率张量的分量由 (7.42) 给出，其中

$${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }=\left\{\begin{array}{c}\kappa \\ \mu \nu \end{array}\right\}$$

而挠率张量按定义为零。采用列维-奇维塔联络可以使许多公式得到简化。

(a) 设 $g=\mathrm{d}r\otimes \mathrm{d}r+r^2(\mathrm{d}\theta \otimes \mathrm{d}\theta +{\sin }^2\theta \mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi )$ 为 $({\mathbb{R}}^3,\delta )$ 上的度量，其中 $0\le \theta \le \pi$，$0\le \varphi <2\pi$。通过直接计算证明：关于列维-奇维塔联络的黎曼曲率张量的所有分量均为零。

(b) 空间均匀且各向同性的宇宙由罗伯逊-沃克度规描述，

$$g=-\mathrm{d}t\otimes \mathrm{d}t+a^2(t)\left(\frac{\mathrm{d}r\otimes \mathrm{d}r}{1-k{r}^2}+r^2(\mathrm{d}\theta \otimes \mathrm{d}\theta +{\sin }^2\theta \mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi )\right)\text{\hspace{1em}(7.78)}$$

其中 $k$ 为常数，通过适当重新标度 $r$ 以及 $0\le \theta \le \pi$、$0\le \varphi <2\pi$，可以取其为 $-1$、0 或 $+1$。若 $k=+1$，则 $r$ 被限制在 $0\le r<1$ 内。计算黎曼张量、里奇张量和标量曲率。

(c) 施瓦西度规具有如下形式

$$\begin{array}{rl}& g=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt\otimes dt\\ & +\frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr\otimes dr+r^2(d\theta \otimes d\theta +{\sin }^2\theta d\varphi \otimes d\varphi )\end{array}\text{\hspace{1em}(7.79)}$$

其中 $0<2M<r$，$0\le \theta \le \pi$，$0\le \varphi <2\pi$。计算黎曼张量、里奇张量和标量曲率。[注：度规 (7.79) 描述一个质量为 $M$ 的球对称物体的时空。]

练习 7.11

设 $R$ 为关于列维-奇维塔联络定义的黎曼张量。证明

$$\begin{array}{rl}& R_{\kappa \lambda \mu \nu }=\frac{1}{2}\left(\frac{{\partial }^2{g}_{\kappa \mu }}{\partial x^{\lambda }\partial x^{\nu }}-\frac{{\partial }^2{g}_{\lambda \mu }}{\partial x^{\kappa }\partial x^{\nu }}-\frac{{\partial }^2{g}_{\kappa \nu }}{\partial x^{\lambda }\partial x^{\mu }}+\frac{{\partial }^2{g}_{\mu \nu }}{\partial x^{\kappa }\partial x^{\mu }}\right)\\ & +g_{\zeta \eta }\left({\Gamma }_{\kappa \mu }^{\zeta }{\Gamma }_{\lambda \nu }^{\eta }-{\Gamma }_{\kappa \nu }^{\zeta }{\Gamma }_{\lambda \mu }^{\eta }\right)\end{array}$$

其中 $R_{\kappa \lambda \mu \nu }\equiv g_{\kappa \zeta }{R}_{\lambda \mu \nu }^{\zeta }$。验证下列对称性：

$$R_{\kappa \lambda \mu \nu }=-R_{\kappa \lambda \nu \mu }(\text{c f (7 . 4 3)})\text{\hspace{1em}(7.80a)}$$

$$R_{\kappa \lambda \mu \nu }=-R_{\lambda \kappa \mu \nu }\text{\hspace{1em}(7.80b)}$$

$$R_{\kappa \lambda \mu \nu }=R_{\mu \nu \kappa \lambda }\text{\hspace{1em}(7.80c)}$$

$$Ri{c}_{\mu \nu }=Ri{c}_{v\mu }.\text{\hspace{1em}(7.80d)}$$

定理 7.2 · 比安基恒等式

设 $R$ 为关于列维-奇维塔联络定义的黎曼张量，则 $R$ 满足下列恒等式：

$$R(X,Y)Z+R(Z,X)Y+R(Y,Z)X=0$$

（第一比安基恒等式）(7.81a)

$$({\nabla }_{X}R)(Y,Z)V+({\nabla }_{Z}R)(X,Y)V+({\nabla }_{Y}R)(Z,X)V=0$$

（第二比安基恒等式）。(7.81b)

证明

我们的证明遵循 Nomizu（1981）的做法。定义对称化算子 $\mathfrak{S}$ 为 $\mathfrak{S}\{f(X,Y,Z)\}=f(X,Y,Z)+f(Z,X,Y)+f(Y,Z,X)$。下面来证明第一比安基恒等式 $\mathfrak{S}\{R(X,Y)Z\}=0$。对恒等式 $T(X,Y)={\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y]=0$ 关于 $Z$ 作协变微分，得到

$$\begin{array}{rl}0& ={\nabla }_Z\{{\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y]\}\\ & ={\nabla }_Z{\nabla }_{X}Y-{\nabla }_Z{\nabla }_{Y}X-\left\{{\nabla }_{[X,Y]}Z+[Z,[X,Y]]\right\}\end{array}$$

其中第二个等号再次用到了无挠条件。对此作对称化，得到

$$\begin{array}{rl}0& =\mathfrak{S}\left\{{\nabla }_Z{\nabla }_{X}Y-{\nabla }_Z{\nabla }_{Y}X-{\nabla }_{[X,Y]}Z-[Z,[X,Y]]\right\}\\ & =\mathfrak{S}\left\{{\nabla }_Z{\nabla }_{X}Y-{\nabla }_Z{\nabla }_{Y}X-{\nabla }_{[X,Y]}Z\right\}=\mathfrak{S}\left\{R(X,Y)Z\right\}\end{array}$$

其中用到了雅可比恒等式 $\mathfrak{S}\{[X,[Y,Z]]\}=0$。

第二比安基恒等式成为 $\mathfrak{S}\{({\nabla }_{X}R)(Y,Z)\}V=0$，其中 $\mathfrak{S}$ 只对 $(X,Y,Z)$ 作对称化。若对恒等式 $R(T(X,Y),Z)V=R({\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y],Z)V=0$ 作对称化，则得到

$$\begin{array}{rl}0& =\mathfrak{S}\left\{R\left({\nabla }_{X}Y,Z\right)-R\left({\nabla }_{Y}X,Z\right)-R([X,Y],Z)\right\}V\\ & =\mathfrak{S}\left\{R\left({\nabla }_{Z}X,Y\right)-R(X,{\nabla }_{Z}Y)-R([X,Y],Z)\right\}V.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.82)}$$

若注意到莱布尼茨法则，

$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_Z\{R(X,Y)V\}=({\nabla }_{Z}R)(X,Y)V\\ & +R(X,Y){\nabla }_{Z}V+R({\nabla }_{Z}X,Y)V+R(X,{\nabla }_{Z}Y)V\end{array}$$

则(7.82)化为

$$0=\mathfrak{S}\{-({\nabla }_{Z}R)(X,Y)+[{\nabla }_Z,R(X,Y)]-R([X,Y],Z)\}V.$$

将 $R(X,Y)V=\{[{\nabla }_X,{\nabla }_Y]-{\nabla }_{[X,Y]}\}V$ 代入后两项，它们便消失，

$$\begin{array}{rl}& \\ & \mathfrak{S}\left\{\left[{\nabla }_Z,R(X,Y)\right]-R([X,Y],Z)\right\}V\\ & =\mathfrak{S}\left\{\left[{\nabla }_Z,\left[{\nabla }_X,{\nabla }_Y\right]\right]-\left[{\nabla }_Z,{\nabla }_{[X,Y]}\right]-\left[{\nabla }_{[X,Y]},{\nabla }_Z\right]+{\nabla }_{\left[[X,Y],Z\right]}\right\}V\\ & =0\end{array}$$

其中用到了雅可比恒等式 $\mathfrak{S}\{[{\nabla }_Z,[{\nabla }_X,{\nabla }_Y]]\}=\mathfrak{S}\{[[X,Y],Z]\}=0$。最终得到 $\mathfrak{S}\{({\nabla }_{X}R)(Y,Z)\}V=0.$

写成张量分量形式，比安基恒等式为

$$R_{\lambda \mu \nu }^{\kappa }+R_{\mu \nu \lambda }^{\kappa }+R_{\nu \lambda \mu }^{\kappa }=0$$

（第一比安基恒等式）(7.83a)

$$({\nabla }_{\kappa }R{)}_{\lambda \mu \nu }^{\xi }+({\nabla }_{\mu }R{)}_{\lambda \nu \kappa }^{\xi }+({\nabla }_{\nu }R{)}_{\lambda \kappa \mu }^{\xi }=0$$

（第二比安基恒等式）。(7.83b)

将第二比安基恒等式的指标 $\xi$ 与 $\mu$ 缩并，便得到一个重要的关系式：

$$({\nabla }_{\kappa }Ric{)}_{\lambda \nu }+({\nabla }_{\mu }R{)}_{\lambda \nu \kappa }^{\mu }-({\nabla }_{\nu }Ric{)}_{\lambda \kappa }=0.\text{\hspace{1em}(7.84)}$$

若再将指标 $\lambda$ 与 $\nu$ 缩并，则得到 ${\nabla }_{\mu }(\mathcal{R}\delta -2Ric{)}_{\kappa }^{\mu }=0$，即

$${\nabla }_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(7.85)}$$

其中 $G^{\mu \nu }$ 是由下式定义的爱因斯坦张量

$$G^{\mu v}=Ri{c}^{\mu v}-\frac{1}{2}{g}^{\mu v}\mathcal{R}.\text{\hspace{1em}(7.86)}$$

历史上，爱因斯坦在创立广义相对论时，最初是把里奇张量 $Ri{c}^{\mu \nu }$ 与能动张量 $T^{\mu \nu }$ 等同起来。后来他意识到 $T^{\mu \nu }$ 满足协变守恒方程 ${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$，而 $Ri{c}^{\mu \nu }$ 却不满足。为避免这一困难，他提出应把 $G^{\mu \nu }$ 与 $T^{\mu \nu }$ 等同起来。这个新方程之所以自然，是因为它可以由某个标量作用量经变分导出，见7.10 节。

练习 7.12

设 $(M,g)$ 是二维流形，其上 $g=-\mathrm{d}t\otimes \mathrm{d}t+R^2(t)\mathrm{d}x\otimes \mathrm{d}x$，其中 $R(t)$ 是 $t$ 的任意函数。证明爱因斯坦张量为零。

对称性质 (7.80a)-(7.80c) 限制了黎曼张量的独立分量数目。设 $m$ 为流形 $(M,g)$ 的维数。反对称性 $R_{\kappa \lambda \mu \nu }=-R_{\lambda \kappa \nu \mu }$ 表明，指标对 $(\mu ,\nu )$ 有 $N\equiv \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2}\right)$ 种独立取法。同样，由 $R_{\kappa \lambda \mu \nu }=-R_{\lambda \kappa \mu \nu }$ 可知，指标对 $(\mu ,\nu )$ 有

$N$ 种独立取法。由于 $R_{\kappa \lambda \mu \nu }$ 关于指标对 $(\kappa ,\lambda )$ 与 $(\mu ,\nu )$ 的交换是对称的，指标对 $(\kappa ,\lambda )$ 的独立取法数目便由 $N^2$ 减为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+1}{2}\right)=\frac{1}{2}N(N+1)$。第一比安基恒等式

$$R_{\kappa \lambda \mu \nu }+R_{\kappa \mu \nu \lambda }+R_{\kappa \nu \lambda \mu }=0\text{\hspace{1em}(7.87)}$$

进一步减少了独立分量的数目。(7.87) 的左端关于指标 $(\lambda ,\mu ,\nu )$ 的交换是全反对称的。此外，反对称性 (7.80b) 保证它对所有指标都是全反对称的。若 $m<4$，则 (7.87) 平凡地成立，不给出任何附加限制。若 $m\ge 4$，则 (7.87) 仅当所有指标互不相同时才给出非平凡的约束。约束的数目等于从 $m$ 个指标中选出四个互不相同指标的取法数，即 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{4}\right)$。注意到当 $m<4$ 时 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{4}\right)=m(m-1)(m-2)(m-3)/4!$ 为零，便得到黎曼张量的独立分量数目为

$$F(m)=\frac{1}{2}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2}\right)\left[\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2}\right)+1\right]-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{4}\right)=\frac{1}{12}{m}^2\left(m^2-1\right).\text{\hspace{1em}(7.88)}$$

$F(1)=0$ 表明一维流形是平坦的。由于 $F(2)=1$，二维流形上只有一个独立分量 $R_{1212}$，其余分量或为 0，或为 $\pm R_{1212}$。$F(4)=20$ 是广义相对论中众所周知的事实。

练习 7.13

设 $(M,g)$ 为二维流形。证明黎曼张量可写成

$$R_{\kappa \lambda \mu \nu }=K\left(g_{\kappa \mu }{g}_{\lambda \nu }-g_{\kappa \nu }{g}_{\lambda \mu }\right)\text{\hspace{1em}(7.89)}$$

其中 $K\in \mathcal{F}(M)$。计算里奇张量，证明 $Ri{c}_{\mu \nu }\propto g_{\mu \nu }$。计算标量曲率，证明 $K=\mathcal{R}/2$。

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