11.3 陈特征

11.3.1 定义

在各种示性类中，陈特征由于出现在阿蒂亚-辛格指标定理中而具有特殊的重要性。全陈特征(total Chern character)定义为

$$\mathrm{ch}(\mathcal{F})\equiv \mathrm{tr}\exp \left(\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\right)=\sum _{j=1}\frac{1}{j!}\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\right)}^j.\text{\hspace{1em}(11.47)}$$

第 $j$ 个陈特征 ${\mathrm{ch}}_j(\mathcal{F})$ 为

$${\mathrm{ch}}_j(\mathcal{F})\equiv \frac{1}{j!}\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\right)}^j.\text{\hspace{1em}(11.48)}$$

若 $2j>m=\dim M$，则 ${\mathrm{ch}}_j(\mathcal{F})$ 为零，因此 $\mathrm{ch}(\mathcal{F})$ 是有限次多项式。将 $\mathcal{F}$ 对角化为

$$\frac{\mathrm{i}\mathfrak{F}}{2\pi }\to g^{-1}\left(\frac{\mathrm{i}\mathfrak{F}}{2\pi }\right)g=A\equiv \mathrm{diag}(x_1,\dots ,x_k)g\in \mathrm{GL}(k,\mathbb{C}).$$

全陈特征可表示为

$$\mathrm{tr}[\exp (A)]=\sum _{j=1}^k\exp \left(x_j\right).\text{\hspace{1em}(11.49)}$$

用初等对称函数 $S_r(x_j)$ 表示，全陈特征成为

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^k\exp (x_j)& =\sum _{j=1}^k\left(1+x_j+\frac{1}{2!}{x}_j^2+\frac{1}{3!}{x}_j^3+\dots \right)\\ & =k+S_1\left(x_j\right)+\frac{1}{2!}\left[S_1{\left(x_j\right)}^2-2S_2\left(x_j\right)\right]+\dots .\end{array}\text{\hspace{1em}(11.50)}$$

于是，每个陈特征都可用陈类表示如下：

$${\mathrm{ch}}_0(\mathcal{F})=k\text{\hspace{1em}(11.51a)}$$

$${\mathrm{ch}}_1(\mathcal{F})=c_1(\mathcal{F})\text{\hspace{1em}(11.51b)}$$

$${\mathrm{ch}}_2(\mathcal{F})=\frac{1}{2}\left[c_1(\mathcal{F}{)}^2-2c_2(\mathcal{F})\right]\text{\hspace{1em}(11.51c)}$$

其中 $k$ 是该丛的纤维维数。

例 11.2

设 $P$ 是 $S^2$ 上的一个U(1) 丛。若 ${\mathcal{A}}_{\mathrm{N}}$ 与 ${\mathcal{A}}_{\mathrm{S}}$ 分别是 $U_{\mathrm{N}}$ 与 $U_{\mathrm{S}}$ 上由10.5 节定义的局部联络，则场强由 ${\mathcal{F}}_i=\mathrm{d}{\mathcal{A}}_i$（$i=\mathrm{N},\mathrm{S}$）给出。于是有

$$\mathrm{ch}(\mathcal{F})=1+\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\text{\hspace{1em}(11.52)}$$

其中我们已注意到在 $S^2$ 上 ${\mathcal{F}}^n=0$（$n\ge 2$）。该丛描述磁单极子。由(10.94)给出的磁荷 $2g$ 是一个整数，用陈特征表示为

$$N=\frac{\mathrm{i}}{2\pi }{\int }_{S^2}\mathcal{F}={\int }_{S^2}{\mathrm{ch}}_1(\mathcal{F}).\text{\hspace{1em}(11.53)}$$

设 $P$ 是 $S^4$ 上的一个SU(2) 丛。$P$ 的全陈类由(11.27)给出。全陈特征为

$$\mathrm{ch}(\mathcal{F})=2+\mathrm{tr}\left(\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\right)+\frac{1}{2}\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\right)}^2.\text{\hspace{1em}(11.54)}$$

$\mathrm{Ch}(\mathcal{F})$ 终止于 ${\mathrm{ch}}_2(\mathcal{F})$，因为当 $n\ge 3$ 时 ${\mathcal{F}}^n=0$。此外，当 $G=\mathrm{SU}(2)$ 时 $\mathrm{tr}\mathcal{F}=0$，$n\ge 2$。正如我们在10.5 节中所见，瞬子数由下式给出

$$\frac{1}{2}{\int }_{S^4}\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\right)}^2={\int }_{S^4}{\mathrm{ch}}_2(\mathcal{F}).\text{\hspace{1em}(11.55)}$$

在这两种情形下，${\mathrm{ch}}_j$ 都度量了把各局部片段拼接起来时丛的扭曲程度。

例 11.3

设 $P$ 是 $2m$ 维流形 $M$ 上的一个U(1) 丛。第 $m$ 个陈特征为

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{m!}\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathrm{i}\mathfrak{F}}{2\pi }\right)}^m& =\frac{1}{m!}{\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^m{\left[\frac{1}{2}{\mathfrak{F}}_{\mu v}\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^v\right]}^m\\ & =\frac{1}{m!}{\left(\frac{\mathrm{i}}{4\pi }\right)}^m{\mathcal{F}}_{{\mu }_1{v}_1}\dots {\mathcal{F}}_{{\mu }_m{v}_m}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \mathrm{d}{x}^{v_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_m}\wedge \mathrm{d}{x}^{v_m}\\ & ={\left(\frac{\mathrm{i}}{4\pi }\right)}^m{ϵ}^{{\mu }_1{v}_1\dots {\mu }_m{v}_m}{\mathcal{F}}_{{\mu }_1{v}_1}\dots {\mathcal{F}}_{{\mu }_m{v}_m}\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{2m}\end{array}$$

它描述了 $2m$ 维空间中的 U(1) 反常，参见第 13 章。

例 11.4

设 $L$ 为复线丛，则可得

$$\mathrm{ch}(L)=\mathrm{tr}\exp \left(\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\right)={\mathrm{e}}^x=1+xx\equiv \frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }.\text{\hspace{1em}(11.56)}$$

例如，取 $L\stackrel{\pi }{\to }\mathbb{C}{P}^1$ 为 $\mathbb{C}{P}^1=S^2$ 上的典范线丛。Fubini-Study 度量给出曲率

$$\mathcal{F}=-\partial \bar{\partial }\ln (1+|z{|}^2)=-\frac{\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}\bar{z}}{(1+z\bar{z}{)}^2}\text{\hspace{1em}(11.57)}$$

见例 8.8。在实坐标 $z=x+\mathrm{i}y=r\exp (\mathrm{i}\theta )$ 下，有

$$\mathcal{F}=2\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y}{(1+x^2+y^2{)}^2}=2\mathrm{i}\frac{r\mathrm{d}r\wedge \mathrm{d}\theta }{(1+r^2{)}^2}.\text{\hspace{1em}(11.58)}$$

由 $\mathrm{ch}(\mathcal{F})=1+\mathrm{tr}(\mathrm{i}\mathcal{F}/2\pi )$ 可得

$${\mathrm{ch}}_1(\mathcal{F})=-\frac{1}{\pi }\frac{r\mathrm{d}r\wedge \mathrm{d}\theta }{(1+r^2{)}^2}.\text{\hspace{1em}(11.59)}$$

对 ${\mathrm{Ch}}_1(L)$ 而言，${\mathrm{ch}}_1(\mathcal{F})$ 在 $S^2$ 上的积分为整数，

$${\mathrm{Ch}}_1(L)=-\frac{1}{\pi }\int \frac{r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta }{(1+r^2{)}^2}=-{\int }_1^{\infty }{t}^{-2}\mathrm{d}t=-1.\text{\hspace{1em}(11.60)}$$

11.3.2 陈特征的性质

定理 11.5

(a)（自然性）设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是以 $F={\mathbb{C}}^k$ 为纤维的向量丛，$f:N\to M$ 为可微映射。则

$$\mathrm{ch}\left(f^{\ast }E\right)=f^{\ast }\mathrm{ch}(E).\text{\hspace{1em}(11.61)}$$

(b) 设 $E$ 与 $F$ 是可微流形 $M$ 上的向量丛。则 $E\otimes F$ 与 $E\oplus F$ 的陈特征分别由下式给出

$$\mathrm{ch}(E\otimes F)=\mathrm{ch}(E)\wedge \mathrm{ch}(F)\text{\hspace{1em}(11.62a)}$$

$$\mathrm{ch}(E\oplus F)=\mathrm{ch}(E)\oplus \mathrm{ch}(F).\text{\hspace{1em}(11.62b)}$$

证明

(a) 由定理 11.2(a) 即得。

(b) 这些结果可由 ch 多项式的定义直接得到。设

$$\mathrm{ch}(A)=\sum \frac{1}{j!}\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathrm{i}A}{2\pi }\right)}^j$$

是矩阵 $A$ 的一个多项式。设 $A$ 是 $B$ 与 $C$ 的张量积，即 $A=B\otimes C=B\otimes I+I\otimes C$（注意 ${\mathcal{F}}_{E\otimes F}={\mathcal{F}}_E\otimes I+I\otimes {\mathcal{F}}_F$）。于是可得

$$\begin{array}{rl}\mathrm{ch}(B\otimes C)& =\sum _j\frac{1}{j!}{\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^j\mathrm{tr}(B\otimes I+I\otimes C{)}^j\\ & =\sum _j\frac{1}{j!}{\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^j\sum _{m=1}^j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m}\right)\mathrm{tr}(B^m)\mathrm{tr}(C^{j-m})\\ & =\sum _m\frac{1}{m!}\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathrm{i}B}{2\pi }\right)}^m\sum _n\frac{1}{n!}\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathrm{i}C}{2\pi }\right)}^n=\mathrm{ch}(B)\mathrm{ch}(C).\end{array}$$

若把 $B$ 换成 ${\mathcal{F}}_E$、把 $C$ 换成 ${\mathcal{F}}_F$，便证明了式 (11.62a)。

若 $A$ 是分块对角的，

$$A=\left(\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& C\end{array}\right)=B\oplus C$$

则有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{ch}(B\oplus C)& =\sum \frac{1}{j!}{\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^j\mathrm{tr}(B\oplus C{)}^j\\ & =\sum \frac{1}{j!}{\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^j[\mathrm{tr}(B^j)+\mathrm{tr}(C^j)]=\mathrm{ch}(B)+\mathrm{ch}(C).\end{array}$$

若把 $A,B$ 与 $C$ 分别换成 ${\mathcal{F}}_{E\oplus F},{\mathcal{F}}_E$ 与 ${\mathcal{F}}_F$，这一关系仍然成立。

下面来看分裂原理在这一情形中如何起作用。设 $L_j$（$1\le j\le k$）为复线丛。由 (11.62b)，对 $E=L_1\oplus L_2\oplus \cdots \oplus L_k$ 有

$$\mathrm{ch}(E)=\mathrm{ch}\left(L_1\right)\oplus \mathrm{ch}\left(L_2\right)\oplus \cdots \oplus \mathrm{ch}\left(L_k\right).\text{\hspace{1em}(11.63)}$$

由于 $\mathrm{ch}(L_i)=\exp (x_i)$，可得

$$\mathrm{ch}(E)=\prod _{j=1}^k\exp \left(x_j\right)\text{\hspace{1em}(11.64)}$$

这恰好就是(11.50)。因此，一般向量丛 $E$ 的陈特征由 $k$ 个复线丛的惠特尼和的陈特征给出。示性类本身无法区分底空间相同、纤维维数也相同的两个向量丛；重要的是它们在底空间上的积分。

11.3.3 托德类

与复向量丛相联系的另一个有用的示性类是由下式定义的托德类(Todd class)：

$$\mathrm{Td}(\mathcal{F})=\prod _j\frac{x_j}{1-{\mathrm{e}}^{-x_j}}\text{\hspace{1em}(11.65)}$$

这里已按分裂原理来理解。若按 $x_j$ 的幂展开，则 $\mathrm{Td}(\mathcal{F})$ 成为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Td}\left(\mathcal{F}\right)& =\prod _j\left(1+\frac{1}{2}{x}_j+\sum _{k\ge 1}(-1{)}^{k-1}\frac{B_k}{(2k)!}{x}_j^{2k}\right)\\ & =1+\frac{1}{2}\sum _j{x}_j+\frac{1}{12}\sum _j{x}_j^2+\frac{1}{4}\sum _{j<k}{x}_j{x}_k+\dots \\ & =1+\frac{1}{2}{c}_1(\mathcal{F})+\frac{1}{12}\left[c_1(\mathcal{F}{)}^2+c_2(\mathcal{F})\right]+\dots \end{array}\text{\hspace{1em}(11.66)}$$

其中 $B_k$ 是伯努利数

$$B_1=\frac{1}{6}{B}_2=\frac{1}{30}{B}_3=\frac{1}{42}{B}_4=\frac{1}{30}{B}_5=\frac{5}{66}\dots .$$

(11.66) 的前几项为：

$${\mathrm{Td}}_0(\mathcal{F})=1\text{\hspace{1em}(11.67a)}$$

$${\mathrm{Td}}_1(\mathcal{F})=\frac{1}{2}{c}_1\text{\hspace{1em}(11.67b)}$$

$${\mathrm{Td}}_2(\mathcal{F})=\frac{1}{12}\left(c_1^2+c_2\right)\text{\hspace{1em}(11.67c)}$$

$${\mathrm{Td}}_3(\mathcal{F})=\frac{1}{24}{c}_1{c}_2\text{\hspace{1em}(11.67d)}$$

$${\mathrm{Td}}_4(\mathcal{F})=\frac{1}{720}\left(-c_1^4+4c_1^2{c}_2+3c_2^2+c_1{c}_3-c_4\right)\text{\hspace{1em}(11.67e)}$$

$${\mathrm{Td}}_5(\mathcal{F})=\frac{1}{1440}\left(-c_1^3{c}_2+3c_1{c}_2^2+c_1^2{c}_3-c_1{c}_4\right)\text{\hspace{1em}(11.67f)}$$

其中 $c_i$ 表示 $c_i(\mathfrak{F})$

练习 11.2

习题 11.2 设 $E$ 与 $F$ 是 $M$ 上的复向量丛。证明

$$\mathrm{Td}(E\oplus F)=\mathrm{Td}(E)\wedge \mathrm{Td}(F).\text{\hspace{1em}(11.68)}$$

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