11.1 不变多项式与陈-韦伊同态

这里我们简要概述德拉姆上同调群（详见第 6 章）。设$M$为$m$维流形。一个$r$形式$\omega \in {\Omega }^r(M)$若满足$\mathrm{d}\omega =0$，则称为闭的；若存在某个$\eta \in {\Omega }^{r-1}(M)$使得$\omega =\mathrm{d}\eta$，则称为恰当的。闭$r$形式的集合记作$Z^r(M)$，恰当$r$形式的集合记作$B^r(M)$。由于${\mathrm{d}}^2=0$，故有$Z^r(M)\supset B^r(M)$。我们定义第$r$个德拉姆上同调群$H^r(M)$为

$$H^r(M)\equiv Z^r(M)/B^r(M).$$

在$H^r(M)$中，两个闭$r$形式${\omega }_1$与${\omega }_2$若满足对某个$\eta \in {\Omega }^{r-1}(M)$有${\omega }_1-{\omega }_2=\mathrm{d}\eta$，则视为等同。设$M$为$m$维流形。形式之和

$$H^{\ast }(M)\equiv H^0(M)\oplus H^1(M)\oplus \cdots \oplus H^m(M)$$

构成上同调环(cohomology ring)，其乘法$\wedge :H^{\ast }(M)\times H^{\ast }(M)\to H^{\ast }(M)$由$\wedge :H^p(M)\times H^q(M)\to H^{p+q}(M)$诱导。设$f:M\to N$为

光滑映射。$f^{\ast }:{\Omega }^r(N)\to {\Omega }^r(M)$自然地诱导出线性映射$f^{\ast }:H^r(N)\to H^r(M)$，因为$f^{\ast }$与外微分可交换：$f^{\ast }\mathrm{d}\omega =\mathrm{d}{f}^{\ast }\omega$。$f^{\ast }$保持上同调环的代数结构，因为$f^{\ast }(\omega \wedge \eta )=f^{\ast }\omega \wedge f^{\ast }\eta$。

11.1.1 不变多项式

设 $M(k,\mathbb{C})$ 为复 $k\times k$ 矩阵的集合。以 $S^r(M(k,\mathbb{C}))$ 表示 $M(k,\mathbb{C})$ 上取值于 $\mathbb{C}$ 的对称 $r$ 重线性函数所构成的向量空间。换言之，一个映射

$$\tilde{P}:\stackrel{r}{\otimes }M(k,\mathbb{C})\to \mathbb{C}$$

若除对每个变量线性之外还满足对称性，则它是 $S^r(M(k,\mathbb{C}))$ 中的元素：

$$\begin{array}{rl}& \tilde{P}\left(a_1,\dots ,a_i,\dots ,a_j,\dots ,a_r\right)\\ & =\tilde{P}\left(a_1,\dots ,a_j,\dots ,a_i,\dots ,a_r\right)1\le i,j\le r\end{array}\text{\hspace{1em}(11.1)}$$

其中 $a_p\in \mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$。令

$$S^{\ast }(M(k,\mathbb{C}))\equiv \underset{r=0}{\overset{\infty }{⨁}}{S}^r(M(k,\mathbb{C}))$$

表示取值于 $\mathbb{C}$ 的对称多线性函数的形式和。我们定义 $\tilde{P}\in S^p(M(k,\mathbb{C}))$ 与 $\tilde{Q}\in S^q(M(k,\mathbb{C}))$ 的乘积为

$$\begin{array}{rl}& \tilde{P}\tilde{Q}(X_1,\dots ,X_{p+q})\\ & =\frac{1}{(p+q)!}\sum _P\tilde{P}\left(X_{P(1)},\dots ,X_{P(p)}\right)\tilde{Q}\left(X_{P(p+1)},\dots ,X_{P(p+q)}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(11.2)}$$

其中 $P$ 是 $(1,\dots ,p+q)$ 的置换。在此乘法下，$S^{\ast }(M(k,\mathbb{C}))$ 构成一个代数。

设 $G$ 为一个矩阵群，$\mathfrak{g}$ 为其李代数。实际中常取 $G=\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$、$\mathrm{U}(k)$ 或 $\mathrm{SU}(k)$。李代数 $\mathfrak{g}$ 是 $M(k,\mathbb{C})$ 的子空间，因此我们可以考虑其限制 $S^r(\mathfrak{g})$ 与 $S^{\ast }(\mathfrak{g})\equiv {⨁}_{r\ge 0}{S}^r(\mathfrak{g})$。称 $\tilde{P}\in S^r(\mathfrak{g})$ 是不变的，如果对任意 $g\in G$ 和 $A_i\in \mathfrak{g}$，$\tilde{P}$ 都满足

$$\tilde{P}\left({\mathrm{Ad}}_g{A}_1,\dots ,{\mathrm{Ad}}_g{A}_r\right)=\tilde{P}\left(A_1,\dots ,A_r\right)\text{\hspace{1em}(11.3)}$$

其中 ${\mathrm{Ad}}_g{A}_i=g^{-1}{A}_{i}g$。例如，

$$\begin{array}{rl}\tilde{P}(A_1,A_2,\dots ,A_r)& =\mathrm{str}(A_1,A_2,\dots ,A_r)\\ & \equiv \frac{1}{r!}\sum _P\mathrm{tr}\left(A_{P(1)},A_{P(2)},\dots ,A_{P(r)}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(11.4)}$$

是对称的、$r$-线性的且不变的，其中“str”表示对称化迹(symmetrized trace)，并由最后一个等式定义。$S^r(\mathfrak{g})$ 中所有 $G$-不变的元素构成的集合记作 $I^r(G)$。注意，${\mathfrak{g}}_1={\mathfrak{g}}_2$ 未必蕴含 $I^r(G_1)=I^r(G_2)$。由(11.2)定义的乘积自然地诱导出一个乘法

$$I^p(G)\otimes I^q(G)\to I^{p+q}(G).\text{\hspace{1em}(11.5)}$$

和 $I^{\ast }(G)\equiv {⨂}_{r>0}{I}^r(G)$ 在此乘积下构成一个代数。

取 $\tilde{P}\in I^r(G)$。对角组合的简写记号即为

$$P(A)\equiv \tilde{P}(\underset{r}{\underbrace{A,A,\dots ,A}})A\in \mathfrak{g}.\text{\hspace{1em}(11.6)}$$

显然，$P$ 是 $r$ 次多项式，称为不变多项式(invariant polynomial)。$P$ 还是 Ad $G$ 不变的，

$$P\left({\mathrm{Ad}}_{g}A\right)=P\left(g^{-1}Ag\right)=P(A)A\in \mathfrak{g},g\in G.\text{\hspace{1em}(11.7)}$$

例如，$\mathrm{tr}(A^r)$ 就是由 (11.4) 得到的一个不变多项式。一般地，不变多项式可以写成 $P_r\equiv \mathrm{tr}(A^r)$ 的乘积之和的形式。

反之，任一不变多项式 $P$ 都通过把 $P(t_1{A}_1+\cdots +t_r{A}_r)$ 展开为 $t_i$ 的多项式，而定义一个不变且对称的 $r$ 重线性形式 $\tilde{P}$。于是，$1/r!$ 乘以 $t_1{t}_2\cdots t_r$ 的系数按构造就是不变且对称的，它称为 $P$ 的极化(polarization)。以 $P(A)\equiv \mathrm{tr}(A^3)$ 为例。按照上述做法，我们把 $\mathrm{tr}(t_1{A}_1+t_2{A}_2+t_3{A}_3{)}^3$ 展开成 $t_1,t_2$ 与 $t_3$ 的幂。$t_1{t}_2{t}_3$ 的系数为

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{tr}\left(A_1{A}_2{A}_3+A_1{A}_3{A}_2+A_2{A}_1{A}_3+A_2{A}_3{A}_1+A_3{A}_1{A}_2+A_3{A}_2{A}_1\right)\\ & =3\mathrm{tr}\left(A_1{A}_2{A}_3+A_2{A}_1{A}_3\right)\end{array}$$

这里用到了迹的循环性。其极化为

$$\tilde{P}(A_1,A_2,A_3)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(A_1{A}_2{A}_3+A_2{A}_1{A}_3)=\mathrm{str}(A_1,A_2,A_3).$$

上一章中，我们在主丛上引入了局部规范势(local gauge potential) $\mathcal{A}={\mathcal{A}}_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 与场强 $\mathcal{F}=\frac{1}{2}{\mathcal{F}}_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }$。我们已经证明，这些几何对象同样描述相伴向量丛。由于联络的集合 $\{{\mathcal{A}}_i\}$ 刻画了纤维丛的扭曲，主丛的非平凡性也为其相伴丛所共有。事实上，若把 (10.57) 用作向量丛中局部联络的定义，那么即使不借助最初与之相伴的主丛，也能定义它。后面我们会遇到必须使用向量丛的情形（惠特尼和丛、分裂原理等）。

设 $P(M,\mathbb{C})$ 为主丛。我们把不变多项式的定义域从 $\mathfrak{g}$ 扩充到 $M$ 上取值于 $\mathfrak{g}$ 的 $p$ 次形式。对 $A_i{\eta }_i$（$A_i\in \mathfrak{g},\eta \in {\Omega }^{p_i}(M);1\le i\le r$），定义

$$\tilde{P}\left(A_1{\eta }_1,\dots ,A_r{\eta }_r\right)\equiv {\eta }_1\wedge \cdots \wedge {\eta }_r\tilde{P}\left(A_1,\dots ,A_r\right).\text{\hspace{1em}(11.8)}$$

例如，与 (11.4) 相对应，我们有

$$\mathrm{str}\left(A_1{\eta }_1,\dots ,A_r{\eta }_r\right)={\eta }_1\wedge \cdots \wedge {\eta }_r\mathrm{str}\left(A_1,\dots ,A_r\right).$$

对角组合为

$$P(A\eta )\equiv \underset{r}{\underbrace{\eta \wedge \cdots \wedge \eta }}P(A).\text{\hspace{1em}(11.9)}$$

$\tilde{P}$ 或 $P$ 对一般元素的作用由 $r$-线性性给出。特别地，下文我们关注形如 $P(\mathcal{F})$ 的不变多项式。不变多项式的重要性在于下面这个基本定理。

定理 11.1 · Chern-Weil 定理

设 $P$ 为不变多项式，则 $P(\mathcal{F})$ 满足

(a) $\mathrm{d}P(\mathcal{F})=0$
(b) 设 $\mathcal{F}$ 与 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 是分别对应于不同联络 $\mathcal{A}$ 与 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 的曲率2-形式，则其差 $P({\mathcal{F}}^{\prime })-P(\mathcal{F})$ 是恰当的。

证明

(a) 只需对次数为 $r$ 的齐次不变多项式 $P_r(\mathcal{F})$ 证明 $\mathrm{d}P(\mathcal{F})=0$，因为任何不变多项式都可以分解为齐次多项式之和。先考虑恒等式

$${\tilde{P}}_r(g_t^{-1}{X}_1{g}_t,\dots ,g_t^{-1}{X}_r{g}_t)={\tilde{P}}_r(X_1,\dots ,X_r)$$

其中 $g_t\equiv \exp (tX)$，$X,X_i\in \mathfrak{g}$。在对 $t$ 求导之后令 $t=0$，便得到

$$\sum _{i=1}^r{\tilde{P}}_r\left(X_1,\dots ,\left[X_i,X\right],\dots ,X_r\right)=0.\text{\hspace{1em}(11.10)}$$

其次，设 $A$ 为取值于 $\mathfrak{g}$ 的 $p$-形式，${\Omega }_i$ 为取值于 $\mathfrak{g}$ 的 $p_i$-形式（$1\le i\le r$）。不失一般性，可以取 $A=X\eta$ 与 ${\Omega }_i=X_i{\eta }_i$，其中 $X,X_i\in \mathfrak{g}$，而 $\eta ({\eta }_i)$ 是 $p$-形式（$p_i$-形式）。定义

$$\begin{array}{rl}& [{\Omega }_i,A]\equiv {\eta }_i\wedge \eta [X_i,X]\\ & =X_{i}X\left({\eta }_i\wedge \eta \right)-(-1{)}^{p{p}_i}X{X}_i\left(\eta \wedge {\eta }_i\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(11.11)}$$

注意

$$\begin{array}{rl}& {\tilde{P}}_r\left({\Omega }_1,\dots ,\left[{\Omega }_i,A\right],\dots ,{\Omega }_r\right)\\ & ={\eta }_1\wedge \cdots \wedge {\eta }_i\wedge \eta \wedge \cdots \wedge {\eta }_r{\tilde{P}}_r(X_1,\dots ,X_{i}X,\dots ,X_r)\\ & -(-1{)}^{p\cdot p_i}{\eta }_1\wedge \cdots \wedge \eta \wedge {\eta }_i\wedge \dots \\ & \cdots \wedge {\eta }_r{\tilde{P}}_r(X_1,\dots ,X{X}_i,\dots ,X_r)\\ & =\eta \wedge {\eta }_1\wedge \cdots \wedge {\eta }_r(-1{)}^{p(p_1+\cdots +p_i)}\\ & \times {\tilde{P}}_r(X_1,\dots ,[X_i,X],\dots ,X_r).\end{array}$$

由此及(11.10)可得

$$\sum _{i=1}^r(-1{)}^{p\left(p_1+\cdots +p_i\right)}{\tilde{P}}_r\left({\Omega }_1,\dots ,\left[{\Omega }_i,A\right],\dots ,{\Omega }_r\right)=0.\text{\hspace{1em}(11.12)}$$

接下来考虑导数

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}{\tilde{P}}_r({\Omega }_1,\dots ,{\Omega }_r)=\mathrm{d}\left({\eta }_1\wedge \cdots \wedge {\eta }_r\right){\tilde{P}}_r\left(X_1,\dots ,X_r\right)\\ & =\sum _{i=1}^r(-1{)}^{\left(p_1+\cdots +p_{i-1}\right)}\left({\eta }_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{\eta }_i\wedge \cdots \wedge {\eta }_r\right)\\ & \times {\tilde{P}}_r\left(X_1,\dots ,X_i,\dots ,X_r\right)\\ & =\sum _{i=1}^r(-1{)}^{\left(p_1+\cdots +p_{i-1}\right)}{\tilde{P}}_r\left({\Omega }_1,\dots ,d{\Omega }_i,\dots ,{\Omega }_r\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(11.13)}$$

在(11.12)与(11.13)中取 $A=\mathcal{A}$ 与 ${\Omega }_i=\mathcal{F}$，此时 $p=1$，$p_i=2$。把形如(11.12)的 0 加到(11.13)上，便得到

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}{\tilde{P}}_r(\mathcal{F},\dots ,\mathcal{F})\\ & =\sum _{i=1}^r\left[{\tilde{P}}_r(\mathcal{F},\dots ,\mathrm{d}\mathcal{F},\dots ,\mathcal{F})+{\tilde{P}}_r(\mathcal{F},\dots ,[\mathcal{A},\mathcal{F}],\dots ,\mathcal{F})\right]\\ & =\sum _{i=1}^r{\tilde{P}}_r(\mathcal{F},\dots ,\mathcal{D}\mathcal{F},\dots ,\mathcal{F})=0\end{array}\text{\hspace{1em}(11.14)}$$

因为 $\mathcal{D}\mathcal{F}=\mathrm{d}\mathcal{F}+[\mathcal{A},\mathcal{F}]=0$（比安基恒等式）。于是我们证明了

$$\mathrm{d}{P}_r\left(\mathcal{F}\right)=\mathrm{d}{\tilde{P}}_r\left(\mathcal{F},\dots ,\mathcal{F}\right)=0.$$

(b) 设 $\mathcal{A}$ 与 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 是 $E$ 上的两个联络，$\mathcal{F}$ 与 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 分别是它们对应的场强。定义插值规范势 ${\mathcal{A}}_t$ 为

$${\mathcal{A}}_t\equiv \mathcal{A}+t\theta \theta \equiv \left({\mathcal{A}}^{\prime }-\mathcal{A}\right)0\le t\le 1\text{\hspace{1em}(11.15)}$$

于是 ${\mathcal{A}}_0=\mathcal{A}$，${\mathcal{A}}_1={\mathcal{A}}^{\prime }$。相应的场强为

$${\mathcal{F}}_t\equiv \mathrm{d}{\mathcal{A}}_t+{\mathcal{A}}_t\wedge {\mathcal{A}}_t=\mathcal{F}+t\mathcal{D}\theta +t^2{\theta }^2\text{\hspace{1em}(11.16)}$$

其中 $\mathcal{D}\theta =\mathrm{d}\theta +[\mathcal{A},\theta ]=\mathrm{d}\theta +\mathcal{A}\wedge \theta +\theta \wedge \mathcal{A}$。我们首先注意到

$$\begin{array}{rl}{P}_r({\mathcal{F}}^{\prime })-P_r(\mathcal{F})& =P_r({\mathcal{F}}_1)-P_r({\mathcal{F}}_0)={\int }_0^1\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{P}_r({\mathcal{F}}_t)\\ & =r{\int }_0^1\mathrm{d}t{\tilde{P}}_r\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathcal{F}}_t,{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(11.17)}$$

由(11.16)可得

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{P}_r\left({\mathcal{F}}_t\right)& =r{\tilde{P}}_r\left(\mathcal{D}\theta +2t{\theta }^2,{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t\right)\\ & =r{\tilde{P}}_r(\mathcal{D}\theta ,{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t)+2rt{\tilde{P}}_r({\theta }^2,{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t).(11.18)\end{array}$$

还要注意

$$\mathcal{D}{\mathcal{F}}_t=\mathrm{d}{\mathcal{F}}_t+[\mathcal{A},{\mathcal{F}}_t]=-[{\mathcal{A}}_t,{\mathcal{F}}_t]+[\mathcal{A},{\mathcal{F}}_t]=t[{\mathcal{F}}_t,\theta ]$$

这里用到了比安基恒等式 ${\mathcal{D}}_t{\mathcal{F}}_t=\mathrm{d}{\mathcal{F}}_t+[{\mathcal{A}}_t,{\mathcal{F}}_t]=0$。$[\mathcal{D}]$ 是关于 $\mathcal{A}$ 的协变导数，而 ${\mathcal{D}}_t$ 是关于 ${\mathcal{A}}_t$ 的协变导数。] 由此可得

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}\left[{\tilde{P}}_r\left(\theta ,{\mathfrak{T}}_t,\dots ,{\mathfrak{T}}_t\right)\right]\\ & ={\tilde{P}}_r(\mathrm{d}\theta ,{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t)-(r-1){\tilde{P}}_r(\theta ,\mathrm{d}{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t)\\ & ={\tilde{P}}_r(\mathcal{D}\theta ,{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t)-(r-1){\tilde{P}}_r(\theta ,\mathcal{D}{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t)\\ & ={\tilde{P}}_r(\mathcal{D}\theta ,{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t)-(r-1)t{\tilde{P}}_r(\theta ,[{\mathcal{F}}_t,\theta ],{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t)\end{array}\text{\hspace{1em}(11.19)}$$

这里我们加上了一个形如 (11.12) 的 0，以便把 $\mathsf{d}$ 换成 $\mathcal{D}$。若在 (11.12) 中取 ${\Omega }_1=A=\theta$、${\Omega }_2=\cdots ={\Omega }_m={\mathcal{F}}_t$，便得到

$$2{\tilde{P}}_r({\theta }^2,{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t)+(r-1){\tilde{P}}_r(\theta ,[{\mathcal{F}}_t,\theta ],{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t)=0.$$

由 (11.18)、(11.19) 以及上述恒等式，我们得到

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{P}_r({\mathcal{F}}_t)=r\mathrm{d}[{\tilde{P}}_r(\theta ,{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t)].$$

最终得到

$$P_r\left({\mathcal{F}}^{\prime }\right)-P_r(\mathcal{F})=\mathrm{d}\left[r{\int }_0^1{\tilde{P}}_r\left({\mathcal{A}}^{\prime }-\mathcal{A},{\mathcal{F}}_t,\dots ,{\mathcal{F}}_t\right)\mathrm{d}t\right].\text{\hspace{1em}(11.20)}$$

这表明 $P_r({\mathcal{F}}^{\prime })$ 与 $P_r(\mathcal{F})$ 相差一个恰当形式。

我们如下定义 $P_r$ 的超越(transgression) $T{P}_r({\mathcal{A}}^{\prime },\mathcal{A})$：

$$T{P}_r\left({\mathcal{A}}^{\prime },\mathcal{A}\right)\equiv r{\int }_0^1\mathrm{d}t{\tilde{P}}_r\left({\mathcal{A}}^{\prime }-\mathcal{A},{\mathfrak{F}}_t,\dots ,{\mathfrak{F}}_t\right)\text{\hspace{1em}(11.21)}$$

其中 ${\tilde{P}}_r$ 是 $P_r$ 的极化。当我们于 11.5 节 中讨论陈-西蒙斯形式时，超越将起重要作用。设 $\dim M=m$。由于 $P_m({\mathcal{F}}^{\prime })$ 与 $P_m(\mathcal{F})$ 相差一个恰当形式，它们在一个无边界流形 $M$ 上的积分应当相同：

$${\int }_M{P}_m\left({\mathcal{F}}^{\prime }\right)-{\int }_M{P}_m(\mathcal{F})={\int }_M\mathrm{d}T{P}_m\left({\mathcal{A}}^{\prime },\mathcal{A}\right)={\int }_{\partial M}{P}_m\left({\mathcal{A}}^{\prime },\mathcal{A}\right)=0.\text{\hspace{1em}(11.22)}$$

如前所证，不变多项式是闭的，而且一般是非平凡的。因此，它定义了 $M$ 的一个上同调类。定理 11.1(b) 保证这个上同调类与所选的规范势无关。这样定义的上同调类称为示性类(characteristic class)。由不变多项式 $P$ 定义的示性类记作 ${\chi }_E(P)$，其中 $E$ 是定义联络与曲率的纤维丛。[注：由于主丛与其相伴丛具有相同的规范势和场强，陈-韦伊定理对这两种丛同样适用。因此，$E$ 既可以是主丛，也可以是向量丛。]

定理 11.2

设 $P$ 是 $I^{\ast }(G)$ 中的不变多项式，$E$ 是以 $G$ 为结构群的 $M$ 上的纤维丛。

(a) 映射

$${\chi }_E:I^{\ast }(G)\to H^{\ast }(M)\text{\hspace{1em}(11.23)}$$

由 $P\to {\chi }_E(P)$ 定义的映射是一个同态（称为韦伊同态(Weil homomorphism)）。

(b) 设 $f:N\to M$ 为可微映射。对于 $E$ 的拉回丛 $f^{\ast }E$，我们有所谓的自然性

$${\chi }_{f^{\ast }E}=f^{\ast }{\chi }_E.\text{\hspace{1em}(11.24)}$$

证明

(a) 取 $P_r\in I^r(G)$ 与 $P_s\in I^s(G)$。若记 $\mathcal{F}={\mathcal{F}}^{\alpha }{T}_{\alpha }$，则有

$$\begin{array}{rl}& (P_r{P}_s)(\mathcal{F})={\mathcal{F}}^{{\alpha }_1}\wedge \cdots \wedge {\mathcal{F}}^{{\alpha }_r}\wedge {\mathcal{F}}^{{\beta }_1}\wedge \cdots \wedge {\mathcal{F}}^{{\beta }_s}\\ & \times \frac{1}{(r+s)!}{\tilde{P}}_r\left(T_{{\alpha }_1},\dots ,T_{{\alpha }_r}\right){\tilde{P}}_n\left(T_{{\beta }_1},\dots ,T_{{\beta }_s}\right)\\ & =P_r(\mathcal{F})\wedge P_s(\mathcal{F}).\end{array}$$

由于 $P_r(\mathcal{F}),P_s(\mathcal{F})\in H^{\ast }(M)$，故 (a) 得证。

(b) 设 $\mathcal{A}$ 是 $E$ 的规范势，且 $\mathcal{F}=\mathrm{d}\mathcal{A}+\mathcal{A}\wedge \mathcal{A}$。容易验证，拉回 $f^{\ast }\mathcal{A}$ 是 $f^{\ast }E$ 中的联络。事实上，设 ${\mathcal{A}}_i$ 与 ${\mathcal{A}}_j$ 是 $M$ 的相互重叠的坐标卡 $U_i$ 与 $U_j$ 中的局部联络。若 $t_{ij}$ 是过渡函数

（定义在 $U_i\cap U_j$ 上），则 $f^{\ast }E$ 上的过渡函数由 $f^{\ast }{t}_{ij}=t_{ij}\circ f$ 给出。拉回 $f^{\ast }{\mathcal{A}}_i$ 与 $f^{\ast }{\mathcal{A}}_j$ 之间的关系为

$$\begin{array}{rl}{f}^{\ast }{\mathcal{A}}_j& =f^{\ast }\left(t_{ij}^{-1}{\mathcal{A}}_i{t}_{ij}+t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}\right)\\ & =\left(f^{\ast }{t}_{ij}^{-1}\right)\left(f^{\ast }{\mathcal{A}}_i\right)\left(f^{\ast }{t}_{ij}\right)+\left(f^{\ast }{t}_{ij}^{-1}\right)\left(\mathrm{d}{f}^{\ast }{t}_{ij}\right).\end{array}$$

这表明 $f^{\ast }\mathcal{A}$ 确实是 $f^{\ast }E$ 上的局部联络。$f^{\ast }E$ 上相应的场强为

$$\mathrm{d}\left(f^{\ast }{\mathcal{A}}_i\right)+f^{\ast }{\mathcal{A}}_i\wedge f^{\ast }{\mathcal{A}}_i=f^{\ast }\left[\mathrm{d}{\mathcal{A}}_i+{\mathcal{A}}_i\wedge {\mathcal{A}}_i\right]=f^{\ast }{\mathcal{F}}_i.$$

因此 $f^{\ast }P({\mathcal{F}}_i)=P(f^{\ast }{\mathcal{F}}_i)$，即 $f^{\ast }{\chi }_E(P)={\chi }_{f^{\ast }E}(P)$。

推论 11.1

平凡丛的示性类是平凡的。

证明

设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 为平凡丛。由于 $E$ 是平凡的，故存在映射 $f:M\to \{p\}$，使得 $E=f^{\ast }{E}_0$，其中 $E_0⟶\{p\}$ 是点 $p$ 上的丛。点的所有德拉姆上同调群都是平凡的，因而示性类也是平凡的。由定理 11.2可知，$E$ 的示性类 ${\chi }_E$（$=f^{\ast }{\chi }_{E_0}$）也是平凡的。

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