12.7 热核与广义 $\zeta$ 函数

正如我们在12.2 节中提到的，证明阿蒂亚-辛格指标定理有若干种方法。热核方法对物理学家来说相对容易掌握，而且它在物理学的其他问题中也有许多应用。广义 $\zeta$ 函数与热核有关，在物理学中也有其意义。

12.7.1 热核与指标定理

设 $E$ 是 $m$ 维紧流形 $M$ 上的复向量丛，$\Delta :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,E)$ 是椭圆算子，其特征向量为 $|n⟩$，满足

$$\Delta |n⟩={\lambda }_n|n⟩.\text{\hspace{1em}(12.91)}$$

记 $\Delta$ 的特征值集合为 $\mathrm{Spec}\Delta$。假定 $\Delta$ 非负，即所有特征值都非负。设有 $n_0$ 个模 $|0,i⟩$（$1\le i\le n_0$）的特征值为零，换言之，

$$\dim \ker \Delta =n_0.\text{\hspace{1em}(12.92)}$$

这些模称为零模(zero mode)。定义热核(heat kernel) $h(t)$ 为

$$h(t)\equiv {\mathrm{e}}^{-t\Delta }.\text{\hspace{1em}(12.93)}$$

在坐标基下把 $h(t)$ 表示出来会比较方便：

$$\begin{array}{rl}h(x,y;t)\equiv ⟨x|h(t)|y⟩& =⟨x|\sum _n{\mathrm{e}}^{-t\Delta }|n⟩⟨n|y⟩\\ & =\sum _n{\mathrm{e}}^{-t{\lambda }_n}⟨x|n⟩⟨n|y⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(12.94)}$$

多重本征态应按其出现的重数计数。假定 $⟨x|n⟩$ 是正交归一的：$\int ⟨n|x⟩⟨x|m⟩\mathrm{d}x={\delta }_{mn}$。由于 $\Delta$ 非负，(12.93) 对 $t>0$ 的收敛性是有保证的。取极限 $t\to \infty$，得到

$$\underset{t\to \infty }{\lim }h(x,y;t)=\sum _{i=1}^{n_0}⟨x|0,i⟩⟨0,i|y⟩\text{\hspace{1em}(12.95)}$$

其中求和只对零模 $|0,i⟩$ 进行。于是，$h={\mathrm{e}}^{-t\Delta }$ 在极限下趋于投影算符，即到零模空间上的投影算符：

$${\mathrm{e}}^{-t\Delta }\stackrel{t\to \infty }{⟶}\sum _{i=1}^{n_0}|0,i⟩⟨0,i|.\text{\hspace{1em}(12.96)}$$

定义

$$\tilde{h}(t)\equiv \int h(x,x;t)dx=\sum _n{e}^{-t{\lambda }_n}.\text{\hspace{1em}(12.97)}$$

于是由(12.95)可得

$$n_0=\underset{t\to \infty }{\lim }\tilde{h}(t).\text{\hspace{1em}(12.98)}$$

容易验证 $h$ 满足热方程，

$$\left(\frac{\partial }{\partial t}+{\Delta }_x\right)h(x,y;t)=0.\text{\hspace{1em}(12.99)}$$

若 $\Delta$ 是通常的拉普拉斯算符，则(12.99)就化为普通的热方程。初始条件为

$$h(x,y;0)=\sum _n⟨x|n⟩⟨n|y⟩=\delta (x-y)\text{\hspace{1em}(12.100)}$$

其中最后一个等号由特征向量的完备性得到。

练习 12.4

设 $u(x,t)$ 是 (12.99) 的一个解，且满足 $u(x,0)=u(x)$。证明

$$u(x,t)=\int h(x,y;t)u(y)dy.\text{\hspace{1em}(12.101)}$$

[提示：先验证 (12.101) 满足初始条件，再验证它是热方程的解。]

已知 (12.99) 的解在 $t\to \epsilon$ 时具有如下渐近展开：

$$h(x,x;\epsilon )=\sum _i{a}_i(x){\epsilon }^i\text{\hspace{1em}(12.102)}$$

见 Gilkey (1984)。类似地，$h(t)$ 也有展开

$$\tilde{h}(ϵ)\equiv \sum _i{a}_i{\epsilon }^i\text{\hspace{1em}(12.103)}$$

其中 $a_i=\int a_i(x)\mathrm{d}x$

设 $E$ 与 $F$ 是 $M$ 上的复向量丛，$D:\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,F)$ 是椭圆算子。我们定义两个拉普拉斯算符

$${\Delta }_E\equiv D^{†}D:\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,E)\text{\hspace{1em}(12.104a)}$$

$${\Delta }_F\equiv D{D}^{†}:\Gamma (M,F)\to \Gamma (M,F).\text{\hspace{1em}(12.104b)}$$

重要的是要注意，它们具有相同的非零特征值，且重数也相同。为看出这一点，设 ${\Delta }_E|\lambda ⟩=\lambda |\lambda ⟩$。则存在向量 $D|\lambda ⟩\in \Gamma (M,F)$ 使得

$${\Delta }_F(D|\lambda ⟩)=D{D}^{†}D|\lambda ⟩=D{\Delta }_E|\lambda ⟩=\lambda (D|\lambda ⟩).$$

注意 $D|\lambda ⟩\ne 0$，因为 $\ker {\Delta }_E=\ker D$。反之，若 $|\mu ⟩\in \Gamma (M,F)$ 满足 ${\Delta }_F|\mu ⟩=\mu |\mu ⟩$，则 $D^{†}|\mu ⟩\in \Gamma (M,E)$ 是 ${\Delta }_E$ 的特征向量，且特征值同为 $\mu$。于是我们发现了对称性³

$${\mathrm{Spec}}^{\prime }{\Delta }_E={\mathrm{Spec}}^{\prime }{\Delta }_F\text{\hspace{1em}(12.105)}$$

其中撇号表示略去零模。

定义两个热核 $h_E$ 与 $h_F$ 如下：

$$h_E(x,y,t)=\sum {\mathrm{e}}^{-{\lambda }_n}⟨x|n⟩⟨n|y⟩\text{\hspace{1em}(12.106a)}$$

$$h_F(x,y,t)=\sum {\mathrm{e}}^{-{\mu }_m}⟨x|m)(m|y⟩.\text{\hspace{1em}(12.106b)}$$

我们有

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{\tilde{h}}_E(t)=\dim \ker {\Delta }_E=\dim \ker D\text{\hspace{1em}(12.107a)}$$

$$\underset{t\to \infty }{\lim }{\tilde{h}}_F(t)=\dim \ker {\Delta }_F=\dim \ker D^{†}.\text{\hspace{1em}(12.107b)}$$

更有趣的是 $D$ 的指标。由于 $\ker D=\ker {\Delta }_E$ 且 $\ker D^{†}=\ker {\Delta }_F$，我们有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{ind}D& =\dim \ker D-\dim \ker D^{†}=\dim \ker {\Delta }_E-\dim \ker {\Delta }_F\\ & =\underset{t\to \infty }{\lim }\left[{\tilde{h}}_E(t)-{\tilde{h}}_F(t)\right]={\tilde{h}}_E(t)-{\tilde{h}}_F(t).\end{array}\text{\hspace{1em}(12.108)}$$

最后一个等号成立，是因为 ${\tilde{h}}_E(t)-{\tilde{h}}_F(t)$ 中依赖于 $t$ 的部分由对称性 (12.105) 相互抵消。我们将 ${\tilde{h}}_E(t)$ 与 ${\tilde{h}}_F(t)$ 展开为

$${\tilde{h}}_E(t)=\sum a_i^E{t}^i{\tilde{h}}_F(t)=\sum a_i^F{t}^i.$$

这是一种超对称，见 12.10 节。

取出与 $t$ 无关的项，得到

$$\mathrm{ind}D=a_0^E-a_0^F=\int \mathrm{d}x\left[a_0^E(x)-a_0^F(x)\right]\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(12.109)}$$

其中 $a_0^{E,F}(x)$ 由 (12.102) 定义。

一般而言，$a_0^{E,F}(x)$ 是用曲率2-形式写出的局部不变量。在 13.2 节 中，我们用热核来证明指标定理

$$\mathrm{ind}D=v_{+}-v_{-}={\int }_M\mathrm{ch}(\mathcal{F}){|}_{\text{v o l}}$$

它适用于满足 $\hat{A}(TM)=1$ 的流形上的扭旋量复形。

练习 12.5

设 $D,D^{†},{\Delta }_E$ 与 ${\Delta }_F$ 如前。证明

$$I(s)\equiv \mathrm{tr}\left[\frac{s}{{\Delta }_E+s}-\frac{s}{{\Delta }_F+s}\right]\mathrm{Re}s>0\text{\hspace{1em}(12.110)}$$

与 $s$ 无关。再证明 $I(s)=\mathrm{ind}D$。

12.7.2 谱 $\zeta$ 函数

设 $E$ 与 $F$ 是 $M$ 上的向量丛。定义一个新函数

$${\zeta }_E(x,y;s)\equiv \sum ^{\prime }⟨x|n⟩⟨n|y⟩{\lambda }_n^{-s}\mathrm{Re}s>0\text{\hspace{1em}(12.111)}$$

其中 ${\Delta }_E|n⟩={\lambda }_n|n⟩$，撇号表示略去零模 $({\lambda }_n=0)$。对 ${\Delta }_F$ 也可类似地定义函数 ${\zeta }_F(x,y;s)$。函数 $h_E$ 与 ${\zeta }_E$ 通过梅林变换相联系。为看出这一点，我们回忆 $\Gamma$ 函数的定义，

$$\Gamma (s)\equiv {\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t={\lambda }^s{\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\mathrm{d}t$$

其中 $\lambda$ 取为严格正。由此可得

$$\begin{array}{rl}\Gamma (s)\zeta (x,y;s)& =\sum _n^{\prime }{\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{n}t}⟨x|n⟩⟨n|y⟩\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}\left[h(x,y;t)-\sum _i⟨x|0,i⟩⟨0,i|y⟩\right]dt.\end{array}\text{\hspace{1em}(12.112)}$$

我们还注意到

$${\zeta }_{\Delta }(s)\equiv {\int }_M\zeta (x,x;s)dx=\sum _n^{\prime }{\lambda }_n^{-s}\text{\hspace{1em}(12.113)}$$

就是如(1.158)所定义的谱 $\zeta$ 函数。

练习 12.6

验证

$${\Delta }^{-s}f(x)=\int \zeta (x,y;s)f(y)dy\text{\hspace{1em}(12.114)}$$

其中算符的一般幂可按特征值的方式定义，即令 ${\Delta }^{-s}|n⟩={\lambda }_n^{-s}|n⟩$。假定 Re $s$ 足够大，使得(12.114)有良好定义。[提示：利用特征向量的完备性。]

例 12.7

下例取自 Kulkarni (1975)。设 $M=S^1=\{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\}$，而 $E=F=$ 是 $S^1$（一个圆柱面）上的平凡线丛。取一个算符 $\Delta \equiv -{\partial }^2/\partial {\theta }^2$。由特征值方程，

$$-\frac{{\partial }^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\theta }}{\partial {\theta }^2}=n^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\theta }n\in \mathbb{Z}$$

可得

$${\lambda }_n=n^2⟨\theta |n⟩=(2\pi {)}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\theta }.$$

其热核为

$$\begin{array}{rl}h({\theta }_1,{\theta }_2;t)& =\sum {\mathrm{e}}^{-n^{2}t}⟨{\theta }_1|n⟩⟨n|{\theta }_2⟩\\ & =\frac{1}{2\pi }\left(1+\sum ^{\prime }{e}^{-n^{2}t}{e}^{in\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(12.115)}$$

而

$$\begin{array}{rl}\zeta \left({\theta }_1,{\theta }_2;s\right)& =\sum ^{\prime }{n}^{-2s}⟨{\theta }_1|n⟩⟨n|{\theta }_2⟩\\ & =\frac{1}{2\pi }\sum ^{\prime }{n}^{-2s}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)}.\end{array}\text{\hspace{1em}(12.116)}$$

我们容易验证 $\tilde{h}(t)=1+{\sum }^{\prime }{\mathrm{e}}^{-n^{2}t}$ 满足

$$1+2{\int }_1^{\infty }{e}^{-x^{2}t}dx<\tilde{h}(t)<1+2{\int }_0^{\infty }{e}^{-x^{2}t}dx.$$

于是由这些不等式可得

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^{2}t}\mathrm{d}x-1<\tilde{h}(t)<{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^{2}t}\mathrm{d}x+1$$

或者代入其值

$$\int {\mathrm{e}}^{-x^{2}t}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }{t}^{-1/2}$$

便得

$$\sqrt{\pi }{t}^{-1/2}-1<\tilde{h}(t)<\sqrt{\pi }{t}^{-1/2}+1.$$

这表明

$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\tilde{h}(t)\sim \sqrt{\pi }{t}^{-1/2}.\text{\hspace{1em}(12.117)}$$

一般地，渐近级数以 $t^{-\dim M/2}$ 为首项。

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