46.6 协变规范量子化

46.6 协变规范量子化

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 复内积 · 酉表示 · 复化

迄今为止用于处理规范不变性的方法存在各种问题，这些问题可能使其使用变得笨拙，最明显的问题是它们通过施加非洛伦兹不变的条件$(A_0=0,\nabla$ $\mathbf{A}=0)$而破坏洛伦兹不变性。通过使用洛伦兹不变的规范条件可以保持洛伦兹不变性，例如（注意该名称并非笔误）：

定义（洛伦兹规范）

若矢势 $A_{\mu }$ 满足

$$\chi (A)\equiv -\frac{\partial A_0}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{A}=0$$

除了洛伦兹不变性（洛伦兹规范下矢势的洛伦兹变换仍保持在洛伦兹规范内）之外，该规范还具有一个吸引人的特点，即

麦克斯韦方程组恰好成为标准无质量波动方程。由于

$$\begin{array}{rl}\nabla \times \mathbf{B}-\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}& =\nabla \times \nabla \times \mathbf{A}+\frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}-\frac{\partial }{\partial t}\nabla A_0\\ & =\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A})-{\nabla }^2\mathbf{A}+\frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}-\frac{\partial }{\partial t}\nabla A_0\\ & =\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}-\frac{\partial }{\partial t}{A}_0)-{\nabla }^2\mathbf{A}+\frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}\\ & =-{\nabla }^2\mathbf{A}+\frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}\end{array}$$

麦克斯韦方程46.3是$\mathbf{A}$的空间分量的无质量克莱因-戈尔登方程。

类似地，

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{E}& =\nabla \left(-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\nabla A_0\right)\\ & =-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \mathbf{A}+{\nabla }^2{A}_0^2\\ & =-\frac{{\partial }^2{A}_0}{\partial t^2}+{\nabla }^2{A}_0\end{array}$$

因此，高斯定律变为关于 $A_0$ 的无质量克莱因-戈尔登方程

与时间规范类似，洛伦兹规范并未完全消除规范自由度。在规范变换下

$$-\frac{\partial A_0}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{A}\to -\frac{\partial A_0}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{A}-\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}+{\nabla }^2\phi$$

因此满足波动方程的$\phi$

$$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}={\nabla }^2\phi \text{\hspace{1em}(46.20)}$$

将给出保持洛伦兹规范条件 $\chi (A)=$ 0 的规范变换。

$A_{\mu }$ 的四个分量可视为无质量克莱因-戈尔登方程的四组独立解，随后该理论以洛伦兹协变的方式量子化。域算符将为

$${\hat{A}}_{\mu }(t,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}(a_{\mu }(\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}+a_{\mu }^{†}(\mathbf{p})e^{i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}$$

使用满足以下条件的湮灭算符和产生算符

$$[a_{\mu }(\mathbf{p}),a_{\nu }^{†}({\mathbf{p}}^{\prime })]=\pm {\delta }_{\mu \nu }\delta (\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })\text{\hspace{1em}(46.21)}$$

其中 $\pm \mathrm{is}+1$ 表示空间坐标，−1 表示时间坐标。

然而，会出现两类问题：

• 需要洛伦兹规范条件才能得到麦克斯韦方程组，但不能将其作为算符条件强加

$$-\frac{\partial {\hat{A}}_0}{\partial t}+\nabla \cdot \hat{\mathbf{A}}=0$$

由于这与正则对易关系不一致，因为

$$\left[{\hat{A}}_0(\mathbf{x}),-\frac{\partial {\hat{A}}_0({\mathbf{x}}^{\prime })}{\partial t}+\nabla \cdot \hat{\mathbf{A}}({\mathbf{x}}^{\prime })\right]=\left[{\hat{A}}_0(\mathbf{x}),-\frac{\partial {\hat{A}}_0({\mathbf{x}}^{\prime })}{\partial t}\right]=i\delta (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })\ne 0$$

• 算符 $a_0(\mathbf{p}),a_0^{†}(\mathbf{p})$ 的对易关系 46.21 的符号有误。回顾第 26.3 节中的讨论，为了使 Bargmann-Fock 量子化在谐振子态空间上给出酉表示，需要正号，其中 a 是湮灭算符，而 $a^{†}$ 是产生算符。

我们在 46.3 节中看到，在 $A_0=0$ 规范下，存在第一个问题的类似情形，其中 $\begin{array}{r}\nabla \cdot \hat{\mathbf{E}}=0\end{array}$ 是一个不相容的算符方程。在那里，∇ · $E$ 扮演了时间无关规范变换群的矩映射的角色。可以证明，类似地，$\chi (A)$ 扮演了满足波动方程 46.20 的规范变换群 $\phi$ 的矩映射的角色。在 $A_0=0$ 规范情形中，我们看到 $\nabla \cdot \hat{\mathbf{E}}=0$ 可以不被视为算符方程，而是作为对态的条件，从而确定物理态空间 ${\mathcal{H}}_{phys}\subset \mathcal{H}$

这对洛伦兹规范条件不适用，因为可以证明不存在这样的态使得

$$\left(-\frac{\partial {\hat{A}}_0}{\partial t}+\nabla \cdot \hat{\mathbf{A}}\right)|\psi ⟩=0$$

问题在于，与高斯定律情形不同，用于量子化的复结构 $J_r$（正能单粒子态上为 +$i$，负能单粒子态上为 $-i$）不与洛伦兹规范条件对易。规范条件需要在 ${\mathcal{H}}_1={\mathcal{M}}_{J_r}^{+}$ 上实现，而不是在对偶相空间 $M$（此处为满足无质量波动方程的 $A_{\mu }$ 的空间）上，其中

$$\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}={\mathcal{M}}_{J_r}^{+}\oplus {\mathcal{M}}_{J_r}^{-}$$

这就是 ${\mathcal{H}}_1$ 的复化分解为负能量子空间与正能量子空间。因此，我们所要的条件是

$$\chi (A{)}^{+}=0$$

其中$\chi (A{)}^{+}$是$\chi (A)$分解为正能量分量和负能量分量后的正能量部分。

这种规范条件既可以在量子化之前实施，也可以在量子化之后实施，具体如下：

• 可以把 ${\mathcal{H}}_1$ 的元素取作 ${\mathbf{R}}^3$ 上取值于 ${\mathbf{C}}^4.$ 的函数 $\alpha =({\alpha }_0(\mathbf{p}),\alpha (\mathbf{p}))$，并带有洛伦兹不变的不定内积

$$⟨\alpha ,{\alpha }^{\prime }⟩={\int }_{{\mathbf{R}}^3}(-\overline{{\alpha }_0(\mathbf{p})}{\alpha }_0^{\prime }(\mathbf{p})+\overline{\mathbf{\alpha }(\mathbf{p})}\cdot {\mathbf{\alpha }}^{\prime }(\mathbf{p}))d^3\mathbf{p}\text{\hspace{1em}(46.22)}$$

这里，对于单分量域情形，每个 ${\alpha }_{\mu }(\mathbf{p})$ 都如方程 43.7 中所定义。满足 $\chi (A{)}^{+}=0$ 的子空间将是 ${\alpha }_{\mu }$ 的满足以下条件的子空间 ${\mathcal{H}}_1^{\prime }\subset$ ${\mathcal{H}}_1$

$$-p_0{\alpha }_0(\mathbf{p})+\sum _{j=1}^3{p}_j{\alpha }_j(\mathbf{p})=0$$

这个子空间又将有一个子空间 ${\mathcal{H}}_1^{\prime \prime }\subset {\mathcal{H}}_1^{\prime }$，对应于 $A_{\mu }$，它们是 0 的规范变换，即其傅里叶系数满足

$${\alpha }_0(\mathbf{p})=p_{0}f(\mathbf{p}),{\alpha }_j(\mathbf{p})=p_{j}f(\mathbf{p})$$

对于某个函数$f(\mathbf{p})$。这两个子空间都带有洛伦兹群的作用，商空间也是如此

$${\mathcal{H}}_1^{\prime }/{\mathcal{H}}_1^{\prime \prime }$$

可以证明，不定内积 46.22 在 ${\mathcal{H}}_1^{\prime }$ 上非负，且在 ${\mathcal{H}}_1^{\prime \prime }$ 上为零，因此在商空间上正定。注意，这是辛约化的一个例子，尽管其背景是一个无限维复群（满足无质量波动方程的正能量规范变换）的作用。可以通过将 Bargmann-Fock 方法应用于该商空间来构造量子理论。

• 也可以改为在量子化之后施加规范条件，即先把 $A_{\mu }$ 的四个分量量子化为无质量场，得到态空间 $H$（它不具有正定内积），然后把 ${\mathcal{H}}^{\prime }\subset \mathcal{H}$ 定义为满足以下条件的态的子空间

$${\left(-\frac{\partial {\hat{A}}_0}{\partial t}+\nabla \cdot \hat{\mathbf{A}}\right)}^{+}|\psi ⟩=0$$

其中取算符的正能量部分。态空间${\mathcal{H}}^{\prime }$又有一个由零范数态构成的子空间${\mathcal{H}}^{\prime \prime }$，并且可以定义

$${\mathcal{H}}_{phys}={\mathcal{H}}^{\prime }/{\mathcal{H}}^{\prime \prime }$$

${\mathcal{H}}_{phys}$ 将具有一个正定厄米内积，并承载 Poincar´e 群的酉作用。可以证明，它同构于使用库仑规范构造的横光子的物理态空间。

这种协变量子化方法通常被称为“古普塔-布劳尔”方法，在许多量子场论教科书中都有更详细的描述。

在杨-米尔斯情形中，我们讨论过的处理规范对称性的每一种方法都会遇到问题：

• 在$A_0=0$规范中，再次存在关于时间无关规范变换群的对称性，以及一个矩映射µ，其中$\mu =0$是高斯定律的杨-米尔斯版本。然而，辛约化现在是一个非线性空间，因此我们已发展的量子化方法不适用。高斯定律反而可以施加在态上，但明确刻画由此得到的物理态空间是困难的。

• 可以定义库仑规范条件的杨-米尔斯类比，但此时方程 46.13 的类比将是一个没有唯一解的非线性方程（此问题被称为“格裡波夫歧义”）。

• 域的组合 $\chi (A)$ 现在不再满足线性波动方程，并且不能一致地限制到正能量子空间并使用 Gupta-Bleuler 协变量子化方法。

题外话。有一种更为精巧的洛伦兹协变量子化方法（称为“BRST方法”），用于处理规范对称性，其所用技巧颇为不同。该理论首先通过添加非物理（“鬼”）费米子场而得到扩展，从而给出一种耦合的玻色子与费米子振子理论，其类型即我们在 33.1 节所研究者。这包括一个类似于 $Q_1$ 的算符，其具有性质 $Q_1^2=0$ 。在电磁场情形下，可以如此安排诸事项，使得

$${\mathcal{H}}_{phys}=\frac{\{|\psi ⟩:Q_1|\psi ⟩=0\}}{\{|\psi ⟩:|\psi ⟩=Q_1|{\psi }^{\prime }⟩\}}$$

在BRST方法中，人们处理的是无约束的洛伦兹协变域，但状态空间是非酉的，只有在诸如${\mathcal{H}}_{phys}$这样的商空间上才能实现酉性。这一构造与电磁场情形下的Gupta-Bleuler方法相关，但与该方法不同，它可推广到Yang-Mills情形。它也可以通过考虑在路径积分中施加规范条件时会发生什么来得到启发（这被称为“Faddeev-Popov方法”）。

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来源版本：2025-10-20

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