双重覆盖 (double cover)

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§6.2 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§6.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于定理入口环境中
§6.2	en · 中文上下文	术语出现；位于定理入口环境中
§7.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§7.1	en · 中文上下文	术语出现
§25.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§25.3	en · 中文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§6.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

拓展

其拓扑原因是：当 $n>2$ 时，$\mathrm{SO}(n)$ 的基本群(fundamental group)非平凡，且 ${\pi }_1(\mathrm{SO}(n))\cong {\mathbb{Z}}_2$。特别地，$\mathrm{SO}(n)$ 中存在一条不可缩的环路，沿它绕行两圈后便可缩。自旋群在拓扑上是 $\mathrm{SO}(n)$ 的单连通双重覆盖(double cover)，而覆盖映射(covering map) $\Phi :\mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)$ 可以选为群同态。

§6.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Digression

The topological reason is that, for $n>2$, the fundamental group of $\mathrm{SO}(n)$ is nontrivial: ${\pi }_1(\mathrm{SO}(n))\cong {\mathbb{Z}}_2$. In particular, $\mathrm{SO}(n)$ contains a noncontractible loop that becomes contractible when traversed twice. The spin group is the simply connected double cover of $\mathrm{SO}(n)$, and the covering map $\Phi :\mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)$ can be chosen to be a group homomorphism.

§7.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

$\mathrm{SU}(2)$ 的自旋表示(spin representation)并不是 $\mathrm{SO}(3)$ 的表示。映射 $\Phi :\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3)$ 是一个二重覆盖(double cover)，也是一个群同态(group homomorphism)；因此，将 $\mathrm{SO}(3)$ 的任一表示 $(\pi ,V)$ 与 $\Phi$ 复合，就得到 $\mathrm{SU}(2)$ 的表示 $(\pi \circ \Phi ,V)$。反过来则不能这样构造：不存在同态 $\mathrm{SO}(3)\to \mathrm{SU}(2)$，能把 $\mathrm{SU}(2)$ 在 ${\mathbf{C}}^2$ 上的自旋表示变成 $\mathrm{SO}(3)$ 的表示。

§7.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§25.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

这样得到的算符满足正确的 $\mathfrak{sp}(2d,\mathbb{R})$ 对易关系，尤其是 $a_j^2$ 与 $(a_j^{†}{)}^2$ 的对易关系。但要得到群的真正表示，必须转到一个二重覆盖(double cover)。因此，Bargmann–Fock 构造给出 $\mathfrak{u}(d)$ 在 Fock 空间 ${\mathcal{F}}_d$ 上的酉表示；取指数后，得到的不是 $U(d)$ 本身的表示，而是其二重覆盖 $\widetilde{U(d)}$ 的表示。

§25.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

This gives the correct $\mathfrak{sp}(2d,\mathbb{R})$ commutation relations, in particular for the commutator of $a_j^2$ with $(a_j^{†}{)}^2$. But a true representation of the group then requires passage to a double cover. Thus the Bargmann–Fock construction gives a unitary representation of $\mathfrak{u}(d)$ on Fock space ${\mathcal{F}}_d$; after exponentiation, this is a representation of a double cover, denoted $\widetilde{U(d)}$, rather than of $U(d)$ itself.

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 6；当前可定位出现 6。

永久身份：urn:uuid:004c393d-b3c2-4027-957a-d8cea3b92491。

身份历史 · 结构化来源索引