6.3 四元数与克利福德代数

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四元数

1842年，哈密顿 证明了复数之后的下一个自然推广必须出现在四维中。设 $\mathcal{Q}$ 为 $\mathbb{R}$ 上由四个元素 $\{1,i,j,k\}$ 生成的结合代数，满足

$$\begin{array}{l}{i}^2=j^2=k^2=-1,\\ ij=k,jk=i,ki=j,\\ 1^2=1,1i=i,1j=j,1k=k.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.4)}$$

元素1可以视为与实数1等同。由这些关系及结合律可推出

$$ji=-k,kj=-i,ik=-j.$$

为证明第一个恒等式，请使用定义关系$jk=i$和结合律，

$$ji=j(jk)=(jj)k=j^{2}k=(-1)k=-k.$$

其余恒等式可以类似方式推出。这个代数的元素称为四元数(quaternion)；它们构成一个非交换代数，因为$ij-ji=2k\ne 0$

随文练习

写出四元数代数关于基 $E_1=1,E_2=i,E_3=j,E_4=k$. 的结构常数

每个四元数都可以写成

$$Q=q_{0}1+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k=q_0+\mathbf{q}$$

其中 $q_0$ 称为其 标量部(scalar part)，而 $\mathbf{q}=q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$ 是其 向量部(vector part)。定义 共轭四元数(conjugate quaternion) $\overline{\mathbf{Q}}$ 为

$$\overline{Q}=q_{0}1-q_{1}i-q_{2}j-q_{3}k=q_0-\mathbf{q}.$$

纯四元数(pure quaternion) 是形如 $Q=q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k=\mathbf{q}$ 的四元数，其标量部为零。若 $p$ 与 $q$ 均为纯四元数，则

$$\mathbf{pq}=-\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}+\mathbf{p}\times \mathbf{q},\text{\hspace{1em}(6.5)}$$

一个公式，其中普通3-向量的标量积和叉积均出现。

随文练习

证明式（6.5）。

对于完整四元数

$$\begin{array}{l}PQ=(p_0+\mathbf{p})(q_0+\mathbf{q})\\ =p_0{q}_0-\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}+p_0\mathbf{q}+q_0\mathbf{p}+\mathbf{p}\times \mathbf{q}.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.6)}$$

有趣的是，$PQ$ 的标量部正是狭义相对论中的四维闵可夫斯基标量积

$$\frac{1}{2}(PQ+\overline{PQ})=p_0{q}_0-p_1{q}_1-p_2{q}_2-p_3{q}_3=p_0{q}_0-\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}.$$

为表明四元数构成除代数，定义四元数 $\mathbf{Q}$ 的量值 $|Q|$ 为

$$|Q{|}^2=Q\overline{Q}=q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2.$$

右端显然是一个非负量，当且仅当$Q=0$时它为零

随文练习

证明 $|\overline{Q}|=|Q|$

任意非零四元数$Q$的逆是

$$Q^{-1}=\frac{\overline{Q}}{|Q{|}^2},$$

因为

$$Q^{-1}Q=Q{Q}^{-1}=\frac{\overline{Q}Q}{|Q{|}^2}=1.$$

因此，如所断言，四元数构成一个除代数。

克利福德代数

设 $V$ 为具有内积 $u\cdot v$, 的实向量空间，且 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 为一组正交标准基，

$$g_{ij}=e_i\cdot e_j=\{\begin{array}{ll}\pm 1& \text{if}i=j,\\ 0& \text{if}i\ne j.\end{array}$$

与该内积空间相联系的 克利福德代数(Clifford algebra)，记作 ${\mathcal{C}}_g$，定义为由 1、$e_1,e_2,\dots ,e_n$ 生成的结合代数，其乘积规则为

$$e_i{e}_j+e_j{e}_i=2g_{ij}1,1e_i=e_{i}1=e_i.\text{\hspace{1em}(6.7)}$$

情形 $n=1$ 与 $g_{11}=-1$ 通过设定 $i=e_1$ 产生复数。四元数代数通过设定 $n=2$ 与 $g_{ij}=-{\delta }_{ij}$ 并进行如下等同而出现

$$i\equiv e_1,j\equiv e_2,k\equiv e_1{e}_2=-e_2{e}_1.$$

显然 $k=ij=-ji$，而式 (6.4) 中的其他四元数恒等式则易于证明。例如，

$$ki=e_1{e}_2{e}_1=-e_1{e}_1{e}_2=e_2=j,\text{ etc. }$$

因此，克利福德代数是复数和四元数的自然推广。然而，它们并非除代数——唯一可能的高维除代数最终被证明是非结合的，被称为八元数。

克利福德代数 ${\mathcal{C}}_g$ 由更高阶的逐次乘积 ${\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j,{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j{\mathbf{e}}_k$ 等张成。然而，由于对 $i\ne j$ 有任意一对 $e_i{e}_j=-e_j{e}_i$，可以不断交换任意乘积 $e_{i_1}{e}_{i_2}\dots e_{i_r}$ 中相邻的元素，直至它们按递增顺序 $i_1\le i_2\le \cdots \le i_r$ 排列，最终表达式中至多发生符号变化。此外，只要相邻位置出现相等的一对，$e_i{e}_i$，它们就可以用 $g_{ii}=\pm 1$ 替换，因此假设 $i_1<i_2<\cdots <i_r$ 不失一般性。整个代数因此由

$$\begin{array}{c}1,\{e_i\mid i=1,\dots ,n\},\{e_i{e}_j\mid i<j\},\{e_i{e}_j{e}_k\mid i<j<k\},\dots \\ \{e_{i_1}{e}_{i_2}\dots e_{i_r}\mid i_1<i_2<\cdots <i_r\},\dots ,e_1{e}_2\dots e_n.\end{array}$$

每个基元素可标记为 $e_A$，其中 $A$ 是整数集 $\{1,2,\dots ,n\}$ 的任意子集，空集对应于单位标量 $e_{\varnothing }\equiv 1$。由例 1.1 可知，${\mathcal{C}}_g$ 的维数为 $2^n$。此处给出的克利福德代数定义依赖于 $V$ 的基的选取。可以给出一个不依赖于基的定义，但这涉及自由代数的概念（见下一章习题 7.5）。

克利福德代数在物理学中最重要的应用是自旋 $\frac{1}{2}$ 粒子的相对论理论。1928年，保罗·狄拉克（1902–1984）为电子寻找一个线性一阶方程，

$${\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi =-m_e\psi \text{ where }\mu =1,2,3,4,{\partial }_{\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial x^{\mu }}.$$

为了使该方程蕴含相对论性的克莱因–戈尔登方程，

$$g^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\psi =-m_e^2\psi$$

其中

$$[g^{\mu \nu }]=[g_{\mu \nu }]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),$$

要求系数 ${\gamma }^{\mu }$ 满足

$${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2g^{\mu \nu }.$$

由“降指标”定义的要素 ${\gamma }_{\mu }$，${\gamma }_{\mu }=g_{\mu \rho }{\gamma }^{\rho }$，必须满足

$${\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }+{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\mu }=2g_{\mu \nu }$$

并且可用于生成一个具有 $n=4$ 的克利福德代数。这样的克利福德代数具有 $2^4=16$ 维数。若试图用一组矩阵表示这个代数，最低可能的阶结果是 $4\times 4$ 个矩阵。这些矩阵所作用的向量性量 $\psi$ 被称为 旋量(spinor)；它们至少有四个分量，这一事实与相对论性自旋的概念有关。对狄拉克理论的最大检验是对称为正电子的反粒子的预言，安德森于1932年通过实验证明了其存在。

习题

习题 6.5

展示共轭的“反交换律”，

$$\overline{PQ}=\overline{Q}\overline{P}.$$

因此证明

$$|PQ|=|P||Q|.$$

习题 6.6

证明：由形如 $2\times 2$ 的矩阵构成的集合

$$\left(\begin{array}{cc}z& w\\ -\bar{w}& \bar{z}\end{array}\right),$$

其中 $z$ 和 $w$ 是复数，构成实数域上维数为 4 的代数。

(a) 利用该双射证明此代数同构于四元数代数

$$Q=a+bi+cj+dk⟷\left(\begin{array}{cc}a+ib& c+id\\ -c+id& a-ib\end{array}\right).$$

(b) 利用此矩阵表示证明习题 6.5 中给出的恒等式。

习题 6.7

求一个四元数$\mathbf{Q}$，使得

$$Q^{-1}iQ=j,Q^{-1}jQ=k.$$

[提示：将第一个方程写作 $iQ=Qj.]$ 对于此 $\mathbf{Q}$ 计算 $Q^{-1}kQ$

习题 6.8

设 $e_A$ 与 $e_B$，其中 $A$，$B\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$ 为与具有 $g_{ij}={\delta }_{ij}$ 的欧几里得内积空间相联系的克利福德代数的两个基元素。证明 $e_A{e}_B=\pm e_C$，其中 $C=A\cup B-A\cap B$。证明若数对的数目

$$\{(i_r,j_s)|i_r\in A,j_s\in B,i_r>j_s\}$$

为偶数，而如果这对数为奇数，则出现负号。