单位四元数 (unit quaternion)

别名：unit quaternions

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§6.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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§7.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

在 $\mathrm{SU}(2)$ 和 $\mathrm{Sp}(1)$ 的情形下，还存在比伴随表示更简单的非平凡不可约表示：一是 $\mathrm{SU}(2)$ 中的 $2\times 2$ 复矩阵按矩阵乘法作用于列向量 ${\mathbf{C}}^2$ 所给出的表示；二是 $\mathrm{Sp}(1)$ 中的单位四元数(unit quaternion)按标量乘法作用于 $\mathbf{H}$ 所给出的表示。选定 ${\mathbf{C}}^2$ 与 $\mathbf{H}$ 之间的识别后，这两个表示便是同构群在 ${\mathbf{C}}^2$ 上的同构表示。为便于计算，我们将使用 $\mathrm{SU}(2)$ 及其复矩阵，而不直接处理四元数。于是有：

§7.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

In the $\mathrm{SU}(2)$ and $\mathrm{Sp}(1)$ cases, there is an even simpler nontrivial irreducible representation than the adjoint. One is given by the $2\times 2$ complex matrices in $\mathrm{SU}(2)$ acting by matrix multiplication on column vectors in ${\mathbf{C}}^2$; the other is given by the unit quaternions in $\mathrm{Sp}(1)$ acting by scalar multiplication on $\mathbf{H}$. After identifying ${\mathbf{C}}^2$ with $\mathbf{H}$, these are isomorphic representations on ${\mathbf{C}}^2$ of isomorphic groups. For convenience in calculations, we will use $\mathrm{SU}(2)$ and its complex matrices rather than deal with quaternions. We thus have:

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