7.10 广义相对论的几个方面

7.10.1 广义相对论引论

广义相对论是经典物理学中最优美、最成功的理论之一。该理论与太阳系检验、脉冲星的引力辐射、引力红移以及新近发现的引力透镜效应等天体物理和宇宙学观测之间没有任何矛盾。对广义相对论不太熟悉的读者可以参阅 Berry (1989) 或 Price (1982) 的入门读物。

爱因斯坦提出了以下原理来构造广义相对论：

(I) 广义相对性原理(principle of general relativity)：物理学中的一切定律在任何坐标系中都取相同的形式。 (II) 等效原理(principle of equivalence)：存在这样的坐标系，在其中引力场的作用局部地消失。（在自由下落的电梯中的观察者感觉不到引力，直到电梯坠毁。）

任何引力理论都必须在弱场极限下退化为牛顿引力理论。在牛顿理论中，引力势 $\Phi$ 满足泊松方程

$$\Delta \Phi =4\pi G\rho \text{\hspace{1em}(7.200)}$$

其中 $\rho$ 是质量密度。爱因斯坦方程推广了这一经典结果，使之满足广义相对性原理。

在广义相对论中，引力势被度量张量的分量所取代。于是，代替 (7.200) 的左端，我们得到由下式定义的爱因斯坦张量

$$G_{\mu v}\equiv Ri{c}_{\mu v}-\frac{1}{2}{g}_{\mu v}\mathcal{R}.\text{\hspace{1em}(7.201)}$$

类似地，质量密度被一个更一般的对象所取代，称为能动张量(energy-momentum tensor) $T_{\mu \nu }$。爱因斯坦方程的形式与(7.200)非常相似：

$$G_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }.\text{\hspace{1em}(7.202)}$$

常数 $8\pi G$ 的选取使得(7.202)在弱场极限下重现牛顿理论的结果。张量 $T_{\mu \nu }$ 由物质作用量通过变分原理得到。由Noether定理，$T_{\mu \nu }$ 必须满足形如 ${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$ 的守恒方程。对 $G_{\mu \nu }$ 也有类似的守恒定律（但对 $Ri{c}_{\mu \nu }$ 则不然）。我们将在下一小节看到，(7.202) 的左端同样可由变分原理得到。

练习 7.24

考虑一个度量

$$g_{00}=-1-\frac{2\Phi }{c^2}{g}_{0i}=0g_{ij}={\delta }_{ij}1\le i,j\le 3$$

以及由 $T_{00}=\rho c^2$、$T_{0i}=T_{ij}=0$ 给出的 $T_{\mu \nu }$，它对应于静止的尘埃。证明 (7.202) 在弱场极限 $(\Phi /c^2\ll 1)$ 下约化为泊松方程。

7.10.2 爱因斯坦-希尔伯特作用量

本例与下一例均取自 Weinberg (1972)。广义相对论描述几何的动力学，也就是 $g_{\mu \nu }$ 的动力学。那么，这一理论的作用量原理是什么？按照惯例，我们要求相应的作用量应当是一个标量。此外，它还应包含 $g_{\mu \nu }$ 的导数：$\int \sqrt{|g|}{\mathrm{d}}^{m}x$ 无法描述度量的动力学。最简单的猜测是 $S_{\mathrm{EH}}\propto \int \mathcal{R}\sqrt{|g|}{\mathrm{d}}^{m}x$。由于 $\mathcal{R}$ 是标量，而 $\sqrt{|g|}\mathrm{d}{x}^1\mathrm{d}{x}^2\dots \mathrm{d}{x}^m$ 是不变体积元，所以 $S_{\mathrm{EH}}$ 是标量。下面我们将证明，在对度量作变分时，$S_{\mathrm{EH}}$ 确实给出爱因斯坦方程。我们的联络限定为列维-奇维塔联络。我们先证明一个技术性的命题。

命题 7.2

设 $(M,g)$ 为一个伪黎曼流形。在变分 $g_{\mu \nu }\to g_{\mu \nu }+\delta g_{\mu \nu },g^{\mu \nu },g$ 之下，$Ri{c}_{\mu \nu }$ 的变化为

(a) $\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \kappa }{g}^{\lambda \nu }\delta g_{\kappa \lambda }$ (7.203)
(b) $\delta g=g{g}^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu },$ (7.204)
(c) $\delta Ri{c}_{\mu \nu }={\nabla }_{\kappa }\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\kappa }-{\nabla }_{\nu }\delta {\Gamma }_{\kappa \mu }^{\kappa }$（帕拉蒂尼恒等式）。(7.205)

证明

(a) 由 $g_{\kappa \lambda }{g}^{\lambda \nu }={\delta }_{\kappa }^{\nu }$ 可得

$$0=\delta \left(g_{\kappa \lambda }{g}^{\lambda \nu }\right)=\delta g_{\kappa \lambda }{g}^{\lambda \nu }+g_{\kappa \lambda }\delta g^{\lambda \nu }.$$

两边乘以 $g^{\mu \kappa }$，即得 $\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \kappa }{g}^{\lambda \nu }\delta g_{\kappa \lambda }$。

(b) 首先注意矩阵恒等式 $\ln (\det g_{\mu \nu })=\mathrm{tr}(\ln g_{\mu \nu })$。这可以通过将 $g_{\mu \nu }$ 对角化来证明。在变分 $\delta g_{\mu \nu }$ 之下，左端变为 $\delta g\cdot g^{-1}$，而右端给出 $g^{\mu \nu }\cdot \delta g_{\mu \nu }$，因此 $\delta g=g{g}^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$。由它容易推出 (7.204) 的其余部分。
(c) 设 $\Gamma$ 与 $\tilde{\Gamma }$ 为两个联络。其差 $\delta \Gamma \equiv \tilde{\Gamma }-\Gamma$ 是一个 (1, 2) 型张量，见练习 7.5。在目前的情形下，我们取 $\tilde{\Gamma }$ 为与 $g+\delta g$ 相联系的联络，取 $\Gamma$ 为与 $g$ 相联系的联络。我们将在正规坐标系中计算，其中 $\Gamma \equiv 0$（当然一般地 $\partial \Gamma \ne 0$）；见7.4 节。我们得到

$$\delta Ri{c}_{\mu \nu }={\partial }_{\kappa }\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\kappa }-{\partial }_{\nu }\delta {\Gamma }_{\kappa \mu }^{\kappa }={\nabla }_{\kappa }\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\kappa }-{\nabla }_{\nu }{\Gamma }_{\kappa \mu }^{\kappa }.$$

[读者应自行验证第二个等号。]由于两端都是张量，故该式在任何坐标系中都成立。

我们如下定义爱因斯坦-希尔伯特作用量：

$$S_{\mathrm{EH}}\equiv \frac{1}{16\pi G}\int \mathcal{R}\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x.\text{\hspace{1em}(7.206)}$$

引入常数因子 $1/16\pi G$ 是为了在加入物质后重现牛顿极限；见(7.214)。下面我们证明 $\delta S_{\mathrm{EH}}=0$ 会导出真空爱因斯坦方程。在满足当 $|x|\to 0$ 时 $\delta g\to 0$ 的变分 $g\to g+\delta g$ 之下，被积函数的变化为

$$\begin{array}{rl}& \delta (\mathcal{R}\sqrt{-g})=\delta (g^{\mu \nu }Ri{c}_{\mu \nu }\sqrt{-g})\\ & =\delta g^{\mu v}Ri{c}_{\mu v}\sqrt{-g}+g^{\mu v}\delta Ri{c}_{\mu v}\sqrt{-g}+\mathcal{R}\delta (\sqrt{-g})\\ & =-g^{\mu \kappa }{g}^{\lambda \nu }\delta g_{\kappa \lambda }Ri{c}_{\mu \nu }\sqrt{-g}\\ & +g^{\mu \nu }\left({\nabla }_{\kappa }\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\kappa }-{\nabla }_{\nu }{\Gamma }_{\kappa \mu }^{\kappa }\right)\sqrt{-g}+\frac{1}{2}\mathcal{R}\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }.\end{array}$$

我们注意到第二项是一个全散度，

$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_{\kappa }\left(g^{\mu \nu }\delta {\Gamma }_{\nu \mu }^{\kappa }\sqrt{-g}\right)-{\nabla }_{\nu }\left(g^{\mu \nu }\delta {\Gamma }_{\kappa \mu }^{\kappa }\sqrt{-g}\right)\\ & ={\partial }_{\kappa }\left(g^{\mu \nu }\delta {\Gamma }_{\mu \nu }^{\kappa }\sqrt{-g}\right)-{\partial }_{\nu }\left(g^{\mu \nu }\delta {\Gamma }_{\kappa \mu }^{\kappa }\sqrt{-g}\right)\end{array}$$

因而对变分没有贡献。由其余各项得到

$$\delta S_{\mathrm{EH}}=\frac{1}{16\pi G}\int \left(-Ri{c}^{\mu v}+\frac{1}{2}\mathcal{R}{g}^{\mu v}\right)\delta g_{\mu v}\sqrt{-g}{d}^{4}x.\text{\hspace{1em}(7.207)}$$

若要求对任意变分 $\delta g$ 都有 $\delta S_{\mathrm{EH}}=0$，便得到真空爱因斯坦方程

$$G_{\mu \nu }=Ri{c}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }\mathcal{R}=0\text{\hspace{1em}(7.208)}$$

其中对称张量 $G$ 称为爱因斯坦张量(Einstein tensor)。

至此我们只考虑了引力场。现在假设存在由作用量

$$S_{\mathrm{M}}\equiv \int \mathcal{L}(\varphi )\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x\text{\hspace{1em}(7.209)}$$

描述的物质，其中 $\mathcal{L}(\varphi )$ 是该理论的拉格朗日密度。典型的例子是实标量场与麦克斯韦场，

$$S_{\mathrm{S}}\equiv -\frac{1}{2}\int \left[g^{\mu v}{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }_v\varphi +m^2{\varphi }^2\right]\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x\text{\hspace{1em}(7.210a)}$$

$$S_{\mathrm{ED}}\equiv -\frac{1}{4}\int F_{\mu v}{F}^{\mu v}\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x\text{\hspace{1em}(7.210b)}$$

其中 $F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }={\nabla }_{\mu }{A}_{\nu }-{\nabla }_{\nu }{A}_{\mu }$。若在 $\delta g$ 之下物质作用量的改变为 $\delta S_{\mathrm{M}}$，则能动张量 $T^{\mu \nu }$ 定义为

$$\delta S_{\mathrm{M}}=\frac{1}{2}\int T^{\mu v}\delta g_{\mu v}\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x.\text{\hspace{1em}(7.211)}$$

由于 $\delta g_{\mu \nu }$ 是对称的，$T^{\mu \nu }$ 也取为对称的。例如，实标量场的 $T_{\mu \nu }$ 由下式给出：

$$\begin{array}{rl}{T}_{\mu \nu }(x)& =2\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta }{\delta g^{\mu \nu }(x)}{S}_S\\ & ={\partial }_{\mu }\varphi {\partial }_{\nu }\varphi -\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }\left(g^{\kappa \lambda }{\partial }_{\kappa }\varphi {\partial }_{\lambda }\varphi +m^2{\varphi }^2\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(7.212)}$$

假设有一个引力场与一个物质场耦合，后者的作用量为 $S_{\mathrm{M}}$。此时我们的作用量原理为

$$\delta \left(S_{\mathrm{EH}}+S_{\mathrm{M}}\right)=0\text{\hspace{1em}(7.213)}$$

它在 $g\to g+\delta g$ 之下成立。由(7.207)与(7.211)，我们得到爱因斯坦方程

$$G_{\mu v}=8\pi G{T}_{\mu v}.\text{\hspace{1em}(7.214)}$$

练习 7.25

我们可以在标量曲率上再加一个额外的标量，而不破坏作用量的不变性。例如，我们可以加上一个常数，称为宇宙学常数(cosmological constant) $\Lambda$，

$${\tilde{S}}_{\mathrm{EH}}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_M(\mathcal{R}+\Lambda )\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x.\text{\hspace{1em}(7.215)}$$

写出真空爱因斯坦方程。其他可能的标量可以是 ${\mathcal{R}}^2$、$Ri{c}^{\mu \nu }Ri{c}_{\mu \nu }$ 或 $R_{\kappa \lambda \mu \nu }{R}^{\kappa \lambda \mu \nu }$ 这样的项。

7.10.3 弯曲时空中的旋量

为具体起见，我们考虑四维洛伦兹流形 $M$ 上的一个狄拉克旋量 $\psi$。由下式定义的四元标架 $e_{\mu }^{\alpha }$

$$g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{\alpha }{e}_{\nu }^{\beta }{\eta }_{\alpha \beta }\text{\hspace{1em}(7.216)}$$

在每一点 $p\in M$ 处给出一个正交归一标架(orthonormal frame) $\{{\hat{\theta }}^{\alpha }=e_{\mu }^{\alpha }\mathrm{d}{x}^{\mu }\}$。如前所述，$\alpha ,\beta ,\gamma ,\dots$ 是局部正交归一指标，而 $\mu ,\nu ,\lambda ,\dots$ 是坐标指标。相对于这个标架，狄拉克矩阵 ${\gamma }^{\alpha }=e_{\mu }^{\alpha }{\gamma }^{\mu }$ 满足 $\{{\gamma }^{\alpha },{\gamma }^{\beta }\}=2{\eta }^{\alpha \beta }$。在局部洛伦兹变换 ${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }(p)$ 下，狄拉克旋量的变换为

$$\psi (p)\to \rho (\Lambda )\psi (p)\bar{\psi }(p)\to \bar{\psi }(p)\rho (\Lambda {)}^{-1}\text{\hspace{1em}(7.217)}$$

其中 $\bar{\psi }\equiv {\psi }^{†}{\gamma }^0$，而 $\rho (\Lambda )$ 是 $\Lambda$ 的旋量表示。为了构造不变的作用量，我们寻找一个协变导数 ${\nabla }_{\alpha }\psi$，它既是局部洛伦兹矢量，又按旋量的方式变换，

$${\nabla }_{\alpha }\psi \to \rho (\Lambda ){\Lambda }_{\alpha }^{\beta }{\nabla }_{\beta }\psi .\text{\hspace{1em}(7.218)}$$

若能找到这样的 ${\nabla }_{\alpha }\psi$，则不变的拉格朗日量可以取为

$$\mathcal{L}=\bar{\psi }(\mathrm{i}{\gamma }^{\alpha }{\nabla }_{\alpha }+m)\psi \text{\hspace{1em}(7.219)}$$

其中 $m$ 是 $\psi$ 的质量。我们注意到，$e_{\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi$ 在 $\Lambda (p)$ 下的变换为

$$e_{\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi \to {\Lambda }_{\alpha }^{\beta }{e}_{\beta }^{\mu }{\partial }_{\mu }\rho (\Lambda )\psi ={\Lambda }_{\alpha }^{\eta }{e}_{\beta }^{\mu }[\rho (\Lambda ){\partial }_{\mu }\psi +{\partial }_{\mu }\rho (\Lambda )\psi ].\text{\hspace{1em}(7.220)}$$

假设 ${\nabla }_{\alpha }$ 具有如下形式

$${\nabla }_{\alpha }\psi =e_{\alpha }^{\mu }\left[{\partial }_{\mu }+{\Omega }_{\mu }\right]\psi .\text{\hspace{1em}(7.221)}$$

由(7.218)和(7.220)可知，${\Omega }_{\mu }$ 满足

$${\Omega }_{\mu }\to \rho (\Lambda ){\Omega }_{\mu }\rho (\Lambda {)}^{-1}-{\partial }_{\mu }\rho (\Lambda )\rho (\Lambda {)}^{-1}.\text{\hspace{1em}(7.222)}$$

为求出 ${\Omega }_{\mu }$ 的显式形式，我们考虑一个无穷小局部洛伦兹变换 ${\Lambda }_{\alpha }^{\beta }(p)={\delta }_{\alpha }^{\beta }+{\epsilon }_{\alpha }^{\beta }(p)$。狄拉克旋量的变换为

$$\psi \to \exp \left[\frac{1}{2}\mathrm{i}{\epsilon }^{\alpha \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }\right]\psi \simeq \left[1+\frac{1}{2}\mathrm{i}{\epsilon }^{\alpha \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }\right]\psi \text{\hspace{1em}(7.223)}$$

其中 ${\Sigma }_{\alpha \beta }\equiv \frac{1}{4}\mathrm{i}\left[{\gamma }_{\alpha },{\gamma }_{\beta }\right]$ 是洛伦兹变换的生成元的旋量表示。${\Sigma }_{\alpha \beta }$ 满足 $\mathfrak{o}(1,3)$ 李代数

$$\mathrm{i}\left[{\Sigma }_{\alpha \beta },{\Sigma }_{\gamma \delta }\right]={\eta }_{\gamma \beta }{\Sigma }_{\alpha \delta }-{\eta }_{\gamma \alpha }{\Sigma }_{\beta \delta }+{\eta }_{\delta \beta }{\Sigma }_{\gamma \alpha }-{\eta }_{\delta \alpha }{\Sigma }_{\gamma \beta }.\text{\hspace{1em}(7.224)}$$

在同一个洛伦兹变换下，${\Omega }_{\mu }$ 的变换为

$$\begin{array}{rl}& {\Omega }_{\mu }\to (1+\frac{1}{2}\mathrm{i}{\epsilon }^{\alpha \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }){\Omega }_{\mu }(1-\frac{1}{2}\mathrm{i}{\epsilon }^{\gamma \delta }{\Sigma }_{\gamma \delta })-\frac{1}{2}\mathrm{i}{\partial }_{\mu }{\epsilon }^{\alpha \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }(1-\frac{1}{2}\mathrm{i}{\epsilon }^{\gamma \delta }{\Sigma }_{\gamma \delta })\\ & ={\Omega }_{\mu }+\frac{1}{2}\mathrm{i}{\epsilon }^{\alpha \beta }\left[{\Sigma }_{\alpha \beta },{\Omega }_{\mu }\right]-\frac{1}{2}\mathrm{i}{\partial }_{\mu }{\epsilon }^{\alpha \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.225)}$$

我们回忆，联络一形式 ${\omega }_{\beta }^{\alpha }$ 在无穷小洛伦兹变换下的变换为（见(7.152)）

$${\omega }_{\beta }^{\alpha }\to {\omega }_{\beta }^{\alpha }+{\epsilon }_{\gamma }^{\alpha }{\omega }_{\beta }^{\gamma }-{\omega }_{\gamma }^{\alpha }{\epsilon }_{\beta }^{\gamma }-\mathrm{d}{\epsilon }_{\beta }^{\alpha }\text{\hspace{1em}(7.226a)}$$

或者写成分量形式，

$${\Gamma }_{\mu \beta }^{\alpha }\to {\Gamma }_{\mu \beta }^{\alpha }+{\epsilon }_{\gamma }^{\alpha }{\Gamma }_{\mu \beta }^{\gamma }-{\Gamma }_{\mu \gamma }^{\alpha }{\epsilon }_{\beta }^{\gamma }-{\partial }_{\mu }{\epsilon }_{\beta }^{\alpha }.\text{\hspace{1em}(7.226b)}$$

由(7.224)、(7.225)和(7.226b)可知，组合

$${\Omega }_{\mu }\equiv \frac{1}{2}\mathrm{i}{\Gamma }^{\alpha }{}_{\mu }{}^{\beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }=\frac{1}{2}\mathrm{i}{e}_{\nu }^{\alpha }{\nabla }_{\mu }{e}^{\beta \nu }{\Sigma }_{\alpha \beta }\text{\hspace{1em}(7.227)}$$

满足变换性质(7.222)。事实上，

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}\mathrm{i}{\Gamma }_{\mu }^{\alpha \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }\to \frac{1}{2}\mathrm{i}({\Gamma }_{\mu }^{\alpha \beta }+{\epsilon }_{\gamma }^{\alpha }{\Gamma }_{\mu }^{\gamma \beta }-{\Gamma }_{\mu \gamma }^{\alpha }{\epsilon }^{\gamma \beta }-{\partial }_{\mu }{\epsilon }^{\alpha \beta }){\Sigma }_{\alpha \beta }\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{i}{\Gamma }_{\mu }^{\alpha \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }+\frac{1}{2}\mathrm{i}({\epsilon }_{\gamma }^{\alpha }{\Gamma }_{\mu }^{\gamma \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }-{\Gamma }_{\mu \gamma }^{\alpha }{\epsilon }^{\gamma \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta })\\ & -\frac{1}{2}\mathrm{i}{\partial }_{\mu }{\epsilon }^{\alpha \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{i}{\Gamma }_{\mu }^{\alpha \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }+\frac{1}{2}\mathrm{i}{\epsilon }^{\alpha \beta }[{\Sigma }_{\alpha \beta },\frac{1}{2}\mathrm{i}{\Gamma }_{\mu }^{\gamma \delta }{\Sigma }_{\gamma \delta }]-\frac{1}{2}\mathrm{i}{\partial }_{\mu }{\epsilon }^{\alpha \beta }{\Sigma }_{\alpha \beta }.\end{array}$$

最终我们得到拉格朗日量，它在坐标变换与局部洛伦兹转动下都是标量，

$$\mathcal{L}\equiv \bar{\psi }\left[\mathrm{i}{\gamma }^{\alpha }{e}_{\alpha }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }+\frac{1}{2}\mathrm{i}{\Gamma }_{\mu }{}^{\beta }{}^{\gamma }{\Sigma }_{\beta \gamma }\right)+m\right]\psi \text{\hspace{1em}(7.228)}$$

以及标量作用量

$$S_{\psi }\equiv {\int }_M{d}^{4}x\sqrt{-g}\bar{\psi }\left[i{\gamma }^{\alpha }{e}_{\alpha }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }+\frac{1}{2}i{\Gamma }_{\mu }{}^{\beta }{}^{\gamma }{\Sigma }_{\beta \gamma }\right)+m\right]\psi .\text{\hspace{1em}(7.229a)}$$

若将 $\psi$ 与规范场 $\mathcal{A}$ 耦合，则作用量为

$$S_{\psi }={\int }_M{d}^{4}x\sqrt{-g}\bar{\psi }[i{\gamma }^{\alpha }{e}_{\alpha }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }+{\mathcal{A}}_{\mu }+\frac{1}{2}i{\Gamma }_{\mu }{}^{\beta }{}^{\gamma }{\Sigma }_{\beta \gamma }\right)+m]\psi .\text{\hspace{1em}(7.229b)}$$

有趣的是，当 $\dim M=2$ 时，自旋联络项会消失。为看出这一点，我们把 (7.229a) 改写为

$$S_{\psi }=\frac{1}{2}{\int }_M{\mathrm{d}}^{2}x\sqrt{-g}\bar{\psi }[\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }\overleftrightarrow{{\partial }_{\mu }}+\frac{1}{2}\mathrm{i}{\Gamma }^{\beta }{}_{\mu }{}^{\gamma }\{\mathrm{i}{\gamma }^{\mu },{\Sigma }_{\beta \gamma }\}+m]\psi \text{\hspace{1em}(7.229a’)}$$

其中 ${\gamma }^{\mu }={\gamma }^{\alpha }{e}_{\alpha }^{\mu }$，并且我们已在拉格朗日量中加上全导数，使其成为厄米的。$\Sigma$ 的非零分量为 ${\Sigma }_{01}\propto [{\gamma }_0,{\gamma }_1]\propto {\gamma }_3$，其中 ${\gamma }_3$ 是 ${\gamma }_5$ 的二维类比。由于 $\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }_3\}=0$，自旋联络项便从 $S_{\psi }$ 中消去了。

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