联络一形式 (connection 1-form)

别名：connection 1-forms

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已登记出处中的最早位置：§18.7 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§18.7 · zh-CN · translation · unreviewed

嘉当处理曲率的方法完全用微分形式来表达。设 $e_i(i=1,\dots ,n)$ 是向量场的局部基，在开集 $U\subseteq M$ 上张成 $\mathcal{T}(U)$，而 $\{{\epsilon }^i\}$ 是 ${\mathcal{T}}^{\ast }(U)$ 的对偶基，使得 $⟨e_i,{\epsilon }^j⟩={\delta }_i^j$。例如，在坐标卡 $(U;x^i)$ 中，我们可以取 $e_i={\partial }_{x^i}$ 和 ${\epsilon }^j=\mathrm{d}{x}^j$，但对于任意基 $\{e_i\}$，这样的坐标系存在当且仅当对所有 $i,j=1,\dots ,n$ 都有 $[e_i,e_j]=0$。我们通过下式定义 联络一形式(connection 1-form) ${\omega }_{\text{ j }}^i:\mathcal{T}(U)\to \mathcal{F}(U)$

§18.7 · en · original_transcription · unreviewed

Cartan’s approach to curvature is expressed entirely in terms of differential forms. Let $e_i(i=1,\dots ,n)$ be a local basis of vector fields, spanning $\mathcal{T}(U)$ over an open set $U\subseteq M$ and $\{{\epsilon }^i\}$ the dual basis of ${\mathcal{T}}^{\ast }(U)$ , such that $⟨e_i,{\epsilon }^j⟩={\delta }_i^j$ . For example, in a coordinate chart $(U;x^i)$ we may set $e_i={\partial }_{x^i}$ and ${\epsilon }^j=\mathrm{d}{x}^j$ , but such a coordinate system will exist for an arbitrary basis $\{e_i\}$ if and only if $[e_i,e_j]=0$ for all $i,j=1,\dots ,n$ . We define the connection 1-forms ${\omega }_{\text{ j }}^i:\mathcal{T}(U)\to \mathcal{F}(U)$ by

来源覆盖、定位与记录

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