41.2 狄拉克 \gamma 矩阵与 Clif(3, 1)

41.2 狄拉克 \gamma 矩阵与 Clif(3, 1)

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射 · 李代数 · 泡利矩阵 · 复化

在我们对谐振子费米子版本的讨论中，我们定义了克利福德代数 $\mathrm{Cliff}(r,s)$，并发现其生成元中的二次元素给出了 $\mathfrak{so}(r,s)=\mathfrak{spin}(r,s)$ 的李代数的一组基。将这些元素指数化，便给出了群 $Spin(r,s)$ 的一个显式构造。我们可以把这一一般理论应用于 Clif(3, 1) 的情形，这将给出表示 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 和 $(0,\frac{1}{2})$

如果我们将 ${\mathbf{R}}^4$ 复化，那么它的 Clifford 代数就成为 4 乘 4 复矩阵的代数

$$\mathrm{Cliff}(3,1)\otimes \mathbf{C}=\mathrm{Cliff}(4,\mathbf{C})=M(4,\mathbf{C})$$

我们将把 $\mathrm{Cliff}(3,1)$ 的元素表示为这样的 4 乘 4 矩阵，但应牢记我们是在与洛伦兹群对应的克利福德代数的复化中工作，因此需要对矩阵施加某种条件并加以跟踪，以识别 $\mathrm{Cliff}(3,1)\subset M(4,\mathbf{C})$。对于如何显式表示这些矩阵，有若干不同的选择，而对于不同的目的，不同的选择最为方便。我们将从有时称为手征表示或外尔表示的那种选择开始，并且主要使用它，它对于讨论无质量带电粒子最为方便。我们将尽量遵循 [100] 中对此表示所使用的约定。注意，这些 4 乘 4 矩阵并不作用于四维时空，而是作用于旋量。这是 4 维的一个特殊性质：洛伦兹群的这两种不同表示具有相同的维数。

将 4 乘 4 矩阵写成 2 乘 2 分块形式，并使用泡利矩阵 ${\sigma }_j$，我们为克利福德代数生成元指定以下矩阵

$${\gamma }_0=-i\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\gamma }_1=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_1\\ -{\sigma }_1& 0\end{array}\right),{\gamma }_2=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_2\\ -{\sigma }_2& 0\end{array}\right),{\gamma }_3=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_3\\ -{\sigma }_3& 0\end{array}\right)$$

人们可以很容易地验证，这些满足 $\mathrm{Cliff}(3,1)$ 生成元的克利福德代数关系：它们彼此反交换，并且

$${\gamma }_0^2=-1,{\gamma }_1^2={\gamma }_2^2={\gamma }_3^2=1$$

二次Clifford代数元素$-\frac{1}{2}{\gamma }_j{\gamma }_k$对于$j<k$满足so(3, 1)的对易关系。这些关系明确为

$$-\frac{1}{2}{\gamma }_1{\gamma }_2=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_3& 0\\ 0& {\sigma }_3\end{array}\right),-\frac{1}{2}{\gamma }_1{\gamma }_3=\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_2& 0\\ 0& {\sigma }_2\end{array}\right),-\frac{1}{2}{\gamma }_2{\gamma }_3=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_1& 0\\ 0& {\sigma }_1\end{array}\right)$$

和

$$-\frac{1}{2}{\gamma }_0{\gamma }_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-{\sigma }_1& 0\\ 0& {\sigma }_1\end{array}\right),-\frac{1}{2}{\gamma }_0{\gamma }_2=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-{\sigma }_2& 0\\ 0& {\sigma }_2\end{array}\right),-\frac{1}{2}{\gamma }_0{\gamma }_3=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-{\sigma }_3& 0\\ 0& {\sigma }_3\end{array}\right)$$

它们提供了李代数 $\mathfrak{so}(3,1)$ 的一个表示 $({\pi }^{\prime },{\mathbf{C}}^4)$，且具有

$${\pi }^{\prime }(l_1)=-\frac{1}{2}{\gamma }_2{\gamma }_3,{\pi }^{\prime }(l_2)=\frac{1}{2}{\gamma }_1{\gamma }_3,{\pi }^{\prime }(l_3)=-\frac{1}{2}{\gamma }_1{\gamma }_2$$

和

$${\pi }^{\prime }(k_1)=-\frac{1}{2}{\gamma }_0{\gamma }_1,{\pi }^{\prime }(k_2)=-\frac{1}{2}{\gamma }_0{\gamma }_2,{\pi }^{\prime }(k_3)=-\frac{1}{2}{\gamma }_0{\gamma }_3$$

注意，${\pi }^{\prime }(l_j)$ 是斜伴随的，因为 $\mathfrak{so}(3)\subset$ $\mathfrak{so}(3,1)$ 子代数的这个表示是酉的。${\pi }^{\prime }(k_j)$ 是自伴的，而 $\mathfrak{so}(3,1)$ 的这个表示 ${\pi }^{\prime }$ 不是酉的。

关于$\mathfrak{so}(3,1)\otimes \mathbf{C}$的两个相互对易的$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$子代数，其基为（见40.2节）

$$A_j=\frac{1}{2}(l_j+i{k}_j),B_j=\frac{1}{2}(l_j-i{k}_j)$$

这个表示是

$${\pi }^{\prime }(A_1)=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),{\pi }^{\prime }(A_2)=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_2& 0\\ 0& 0\end{array}\right),{\pi }^{\prime }(A_3)=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_3& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

和

$${\pi }^{\prime }(B_1)=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& {\sigma }_1\end{array}\right),{\pi }^{\prime }(B_2)=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& {\sigma }_2\end{array}\right),{\pi }^{\prime }(B_3)=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& {\sigma }_3\end{array}\right)$$

我们明确看到，Cliford 代数的二次元素在旋量表示 ${\mathbf{C}}^4$ 上的作用是约化的，分解为 ${\mathbf{C}}^2$ 上两个不等价表示的直和 $S_L\oplus S_R^{\ast }$

$$\Psi =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_L}{{\psi }_R^{\ast }}\right)$$

通过复共轭（交换 $A_j$ 与 $B_j)$，从而将 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$ 的作用量联系到各分量上。$A_j$ 仅作用于 $S_L$，$B_j$ 仅作用于 $S_R^{\ast }$。作为二分量 van der Waerden 记法的另一种标准记法，是使用 ${\mathbf{C}}^4$ 的四个分量以及 $\gamma$ 矩阵的作用。两种记法之间的关系由下式给出

$${\Psi }_A\leftrightarrow \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_B}{{\varphi }^{\dot{B}}}\right)$$

其中左侧的指标 $A$ 取值 1、2、3、4，而右侧的指标 $B,\dot{B}$ 各自取值 1、2。

注意，通过将闵可夫斯基空间与克利福德代数中的元素等同起来，

$$(x_0,x_1,x_2,x_3)\to /x=x_0{\gamma }_0+x_1{\gamma }_1+x_2{\gamma }_2+x_3{\gamma }_3$$

将闵可夫斯基空间与某些4乘4矩阵等同起来。这再次给出了先前所使用的将闵可夫斯基空间与从$S_R^{\ast }$到$S_L$的线性映射等同起来的方式，因为矩阵的右上2乘2块将由

$$-i\left(\begin{array}{cc}{x}_0+x_3& x_1-i{x}_2\\ x_1+i{x}_2& x_0-x_3\end{array}\right)$$

并将$S_R^{\ast }$取为$S_L$

克利福德代数的一个重要元素由将所有基元素相乘而构造。物理学家传统上将其乘以$i$以使其成为自伴的，并定义

$${\gamma }_5=i{\gamma }_0{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

这可用于从狄拉克旋量构造到左手和右手外尔旋量上的投影算符。

$$\frac{1}{2}(1-{\gamma }_5)\Psi ={\psi }_L,\frac{1}{2}(1+{\gamma }_5)\Psi ={\psi }_R^{\ast }$$

克利福德代数关系还有两种其他常用的表示，它们与上述表示通过基变换相联系。狄拉克表示对于描述大质量带电粒子很有用，尤其是在非相对论极限下。生成元由下式给出

$${\gamma }_0^D=-i\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),{\gamma }_1^D=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_1\\ -{\sigma }_1& 0\end{array}\right)$$ $${\gamma }_2^D=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_2\\ -{\sigma }_2& 0\end{array}\right),{\gamma }_3^D=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_3\\ -{\sigma }_3& 0\end{array}\right)$$

而 Weyl 旋量的投影算符不再是对角的，因为

$${\gamma }_5^D=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

第三种表示，即马约拉纳表示，由以下给出（现在不再以2乘2分块形式书写，而是作为4乘4矩阵）

$${\gamma }_0^M=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right),{\gamma }_1^M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$ $${\gamma }_2^M=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right),{\gamma }_3^M=\left(\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right)$$

与

$${\gamma }_5^M=i\left(\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right)$$

Majorana 表示的重要性在于，它表明存在一种有趣的可能性：在符号差 $(3,1))$ 下，于实向量空间 ${\mathbf{R}}^4.$ 上存在旋量表示，因为可以看到 Clifford 代数矩阵可以选为实矩阵。有

$${\gamma }_0{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3=\left(\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right)$$

和

$${\left({\gamma }_0{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3\right)}^2=-1$$

马约拉纳旋量表示定义在 $S_M={\mathbf{R}}^4$ 上，其中 ${\gamma }_0{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3$ 是该空间上的一个实算符，其平方为 −1，因此它给出了 $S_M$ 上的一个复结构。回忆一下，实向量空间上的复结构将该实向量空间的复化分裂为两个复向量空间之和，二者由复共轭相联系。在此情形下，这对应于

$$S_M\otimes \mathbf{C}=S_L\oplus S_R^{\ast }$$

将马约拉纳旋量复化后得到两类外尔旋量这一事实。

上一节：41.1 洛伦兹群的表示 · 下一节：41.3 进一步阅读 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 435、436、437、438、439、440、441、442、443

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：1713050bc9b4dcf69cc30304c3aaa7d1d0dc152c2a2971715af1bed97ed5b744

译稿产物 SHA-256：ef9701b2bd58368460d70e96f5379ad522bcef8949310df1d1487d4d464eb1c6

机翻模型：deepseek-v4.1-flash