6.2 复数与复结构

English

复数 $\mathbb{C}$ 构成实数域上的二维交换结合代数，其基 $\{1,i\}$ 具有定义关系

$$1^2=11=1,i1=1i=i,i^2=ii=-1.$$

令 $E_1=1,E_2=i$，结构常数为

$$\begin{array}{lll}{C}_{11}^1=1& C_{12}^1=C_{21}^1=0& C_{22}^1=-1\\ C_{11}^2=0& C_{12}^2=C_{21}^2=1& C_{22}^2=0.\end{array}$$

通常将典型元素 $x{E}_1+y{E}_2=x1+xi$ 简写为 $x+iy$，而式 (6.1) 给出了复数乘法的标准法则，

$$(u+iv)(x+iy)=ux-vy+i(uy+vx).$$

随文练习

验证该代数是否可交换且结合。

每个非零复数$\alpha =x+iy$都有一个逆${\alpha }^{-1}$，具有性质$\alpha {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\alpha =1$。具体地，

$${\alpha }^{-1}=\frac{\overline{\alpha }}{|\alpha {|}^2},$$

其中

$$\overline{\alpha }=x-iy$$

和

$$|\alpha |=\sqrt{\alpha \overline{\alpha }}=\sqrt{x^2+y^2}$$

分别是$\alpha$,的复共轭和模。

任何其中所有非零向量均有逆的代数称为 除代数(division algebra)，因为对任意一对元素 $A$、$B\left(B\ne O\right)$，都可以定义 $A/B=A{B}^{-1}$。复数域是实数域 $\mathbb{R}$ 上唯一的维数 $>1$ 的结合、交换除代数。

随文练习

证明一个结合、交换的除代数是域。

例 6.4

复数还有一种不同但偶尔有用的矩阵表示。设 $I$ 和 $J$ 为矩阵

$$\mathsf{I}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\mathsf{J}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$$

验证这一点是轻而易举的。

$$\mathsf{JI}=\mathsf{IJ}=\mathsf{J},{\mathsf{I}}^2=\mathsf{I},{\mathsf{J}}^2=-\mathsf{I},\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

由这两个矩阵生成的${\mathcal{M}}_2$的子代数同构于复数代数。该同构可表示为

$$x+iy⟷x\mathsf{I}+y\mathsf{J}=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ -y& x\end{array}\right).$$

随文练习

验证上述映射是同构，只需确认

$$(u+iv)(x+iy)⟷(u\mathsf{I}+v\mathsf{J})(x\mathsf{I}+v\mathsf{J}).$$

实向量空间的复化

将实向量空间 $V$ 的 复化(complexification) $V^C$ 定义为所有有序对 $w=(u,v)\in V\times V$ 的集合，其向量加法与复数标量积定义为

$$\begin{array}{c}(u,v)+(u^{\prime },v^{\prime })=(u+u^{\prime },v+v^{\prime }),\\ (a+ib)(u,v)=(au-bv,bu+av),\end{array}$$

对于所有 $u,u^{\prime },v,v^{\prime }\in V$ 和 $a$，$b\in \mathbb{R}$。将任意实向量空间转化为复空间的这一过程是完全自然的，不依赖于基的选择。

随文练习

验证第 3.2 节中的公理(VS1)–(VS6)对以复数$\mathbb{C}$为标量域的$V^C$成立。大多数公理是平凡的，但(VS4)需要证明：

$$(c+id)((a+ib)(u,v))=((c+id)(a+ib))(u,v).$$

本质上，我们在这里所做的就是通过允许与复标量相乘来“扩张”原来的向量空间。采用记号$w=u+iv$表示$w=(u,v)$并无歧义，因为

$$(a+ib)(u+iv)\equiv (a+ib)(u,v)=(au-bv,bu+av)\equiv au-bv+i(bu+av).$$

若 $V$ 是有限维的且 $n=\dim V$，则 $V^C$ 也是有限维的，并且与 $V$ 有相同的维数。因为，设 $\{e_i|i=1,\dots ,n\}$ 是 $V$ 的任意一组基。这些向量显然张成 $V^C$，因为若 $\mathbf{u}={\mathbf{u}}^j{\mathbf{e}}_j$ 和 $v=v^j{e}_j$ 是 $V$ 中的任意一对向量，则

$$u+iv=(u^j+i{v}^j)e_j.$$

此外，向量 $\{e_j\}$ 在复数域上线性无关，因为若 $(u^j+i{v}^j)e_j=0$ ，则 $(u^j{e}_j,v^j{e}_j)=(0,0)$ 。因此 $u^j{e}_j=0$ 且 $v^j{e}_j=0$ ，从而对所有 $j=1,\dots ,n$ 都有 $u^j=v^j=0$ 。于是 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ 也构成 $V^C$ 的一组基

在实空间 $V$ 的复化 $V^C$ 中，我们可以通过以下方式定义复共轭：

$$\overline{w}=\overline{u+iv}=u-iv.$$

然而，在任意复向量空间中，并不存在一种自然的、不依赖于基的方式来定义向量的复共轭。例如，若我们将向量 $u=u^j{e}_j$ 的复共轭定义为 $\overline{u}=\overline{u^j}{e}_j$，那么在基 $\{i{e}_j\}$ 下，这一定义会给出不同的结果，因为

$$u=(-i{u}^j)(i{e}_j)⟹\overline{u}=(i\overline{u^j})(i{e}_j)=-\overline{u^j}{e}_j.$$

因此，向量的复共轭概念需要预先知道复向量空间的“实部”。实空间的复化恰好具有定义向量复共轭所需的额外结构，但从任意给定的复向量空间出发，并不存在自然的方式逆转复化过程以产生同维数的实向量空间。

向量空间上的复结构

由复向量空间 $V$ 构造实向量空间 $V^R$ 的一种方法是完全忘记向量与复数相乘的可能性，只允许与实数进行标量乘法。在此过程中，对于任意非零向量 $u\in V$，向量对 $u$ 与 $iu$ 必须视为 $V^R$ 中的线性无关向量。因此，若 $V$ 是有限维的且 $\dim V=n$，则 $V^R$ 是 $2n$ 维的，因为若 $\{e_1,\dots ,e_n\}$ 是 $V$ 的一组基，则

$$e_1,e_2,\dots ,e_n,i{e}_1,i{e}_2,\dots ,i{e}_n$$

容易证明它是张成$V^R$的线性无关向量集合

为逆转复向量空间的这种“实化”，首先注意由 $Jv=iv$ 定义的算符 $J:V^R\to V^R$ 满足关系 $J^2=-\mathrm{i}{\mathbf{d}}_{V^R}$。我们现在证明，给定实向量空间上具有此性质的任意算符，都可以定义到复向量空间的过渡。这一过程不应与向量空间的复化相混淆，但它与复化有联系（见习题 6.2）。

若 $V$ 是实向量空间，则任何满足 $J^2=-{\mathrm{id}}_V$ 的算符 $J:V\to V$ 称为 $V$ 上的 复结构(complex structure)。复结构 $J$ 可用于将 $V$ 转换为复向量空间 $V_J$，其方法是像在实空间 $V$ 中那样定义向量加法 $u+v$，并通过

$$(a+ib)v=av+bJv.$$

尚需证明 $V_J$ 是复向量空间；例如，为证明 第 3.2 节中的公理 VS4

$$\begin{array}{rl}(a+ib)((c+id)v)& =a(cv+dJv)+bJ(cv+dJv)\\ & =(ac-bd)v+(ad+bc)Jv\\ & =(ac-bd+i(ad+bc))v\\ & =((a+ib)(c+id))v.\end{array}$$

大多数其他公理都是平凡的。

复结构总是可逆的算符，因为

$$J{J}^3=J^4=(-{\mathrm{id}}_V{)}^2={\mathrm{id}}_V⟹J^{-1}=J^3.$$

此外，若 $\dim V=n$ 且 $\{e_1,\dots ,e_n\}$ 是 $V$ 的任意一组基，则由 $J{e}_i=J_i^j{e}_j$ 定义的矩阵 $\mathsf{J}=[J_i^j]$ 满足

$${\mathsf{J}}^2=-\mathsf{I}.$$

取行列式可得

$$(\det \mathrm{J}{)}^2=\det (-\mathsf{I})=(-1{)}^n,$$

这仅当 $n$ 为偶数 $n=2m$ 时，对实矩阵 $J$ 才可能成立。因此，实向量空间只有在其维数为偶数时才能具有复结构。

作为一个集合，原来的实向量空间 $V$ 与复空间 $V_J$ 相同，但标量乘法被限制在实数上。它实际上是由 $V_J$ 通过以下方式构造出的实空间：

上述实化过程，

$$V=(V_J{)}^R.$$

因此，复向量空间 $V_J$ 的维数是其来源实空间维数的一半，即 $\dim V_J=m=\frac{1}{2}\dim V$。

习题

习题 6.1

以下是定义复数代数的另一种方法。设 $\mathcal{P}$ 为实系数多项式在变量 $x$ 上构成的结合代数，如例 6.3 中所定义。令 $\mathcal{C}$ 为 $\mathcal{P}$ 中由 $x^2+1;$ 生成的理想，即所有形如 $f(x)(x^2+1)g(x)$ 的多项式构成的集合。证明由下式定义的线性映射 $\varphi :\mathbb{C}\to \mathcal{P}/\mathcal{C}$

$$\varphi (i)=[x]=x+\mathcal{C},\varphi (1)=[1]=1+\mathcal{C}$$

是一个代数同构。

哪个复数与多项式类$[1+x+3x^2+5x^3]\in \mathcal{P}/\mathcal{C}?$等同？

习题 6.2

设 $J$ 是实向量空间 $V$, 上的一个复结构，并令

$$V(J)=\{v=u-iJu\mid u\in V\}\subseteq V^C,\bar{V}(J)=\{v=u+iJu\mid u\in V\}.$$

(a) 证明 $V(J)$ 和 $\bar{V}(J)$ 是 $V^C$ 的复向量子空间

(b) 证明 $v\in V(J)\Rightarrow Jv=iv\mathrm{and}v\in \bar{V}(J)\Rightarrow Jv=-iv$.

(c) 证明 $V$ 的复化是 $V(J)$ 与 $\bar{V}(J)$ 的直和，

$$V^C=V(J)\oplus \bar{V}(J).$$

习题 6.3

若 $V$ 是实向量空间，且 $U$ 与 $\bar{U}$ 是 $V^C$ 的复共轭子空间，使得 $V^C=U\oplus \bar{U}$，则证明存在 $V$ 的复结构 $J$，使得 $U=V(J)$ 与 $\bar{U}=\bar{V}(J)$，其中 $V(J)$ 与 $\bar{V}(J)$ 由前一习题定义。

习题 6.4

设 $J$ 是实向量空间 $V$ 上的一个复结构，该空间的维数为 $n=2m$。设 $u_1,u_2,\dots ,u_m$ 是习题 6.2 中所定义子空间 $V(J)$ 的一组基，并令

$$u_a=e_a-i{e}_{m+a}\text{ where }{e}_a,e_{m+a}\in V(a=1,\dots ,m).$$

证明由 $J{e}_i=J_i^j{e}_j$ 定义的复结构的矩阵 ${\mathsf{J}}_0=[J_i^j]$，其中 $i=1,2,\dots ,n=2m$，具有形式

$$J_0=\left(\begin{array}{cc}O& I\\ -I& O\end{array}\right).$$

证明：任意复结构关于任意基的矩阵都具有以下形式

$$\mathsf{J}={\mathsf{AJ}}_0{\mathsf{A}}^{-1}.$$