16.3 弗罗贝尼乌斯定理：对偶形式

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设 $D^k$ 是流形 $M$ 上的一个 $k$ 维分布，它在每一点 $p\in M$ 处指定切空间的一个 $k$ 维子空间 $D^k(p)$。其零化子子空间 $(D^k{)}^{\perp }(p)$（见问题 3.16）由在 $D^k(p)$ 上取零的 $p$ 处的余向量集合组成，

$$(D^k{)}^{\perp }(p)=\{{\omega }_p\mid ⟨{\omega }_p,X_p⟩=0\text{ for all }{X}_p\in D^k(p)\}.$$

由于分布 $D^k$ 要求是 $C^{\infty }$，由定理 3.7 可知，每一点 $p$ 都有一个邻域 $U$ 以及 $U,$ 上光滑向量场的一组基 $e_i$，使得 $e_{r+1},\dots ,e_n$ 在每一点 $q\in U$ 处张成 $D^k(q)$，其中 $r=n-k$。由 $⟨{\omega }^i,e_j⟩={\delta }_j^i$ 定义的 1-形式对偶基 ${\omega }^i$ 具有如下性质：前 $r$ 个 1-形式 ${\omega }^1,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^r$ 线性无关，并且在每个 $q\in U$ 处张成零化子子空间 $(D^k{)}^{\perp }(q)$

零化子性质是对称的：给定开子集 $U$ （ $M,$ 的开子集）上 $r$ 个线性无关的一次形式 ${\omega }^a(a=1,\dots ,r)$ ，它们张成 $k=(n-r)$ 维分布 $(D^k{)}^{\perp }$ 的零化子子空间

$$D^k=\{X\in \mathcal{T}(U)|⟨{\omega }^a,X⟩=0\}.$$

如 8.3 节末尾所示，简单微分 $k$-形式

$$\Omega ={\omega }^1\wedge {\omega }^2\wedge \cdots \wedge {\omega }^k$$

由子空间$(D^k{)}^{\perp }$唯一确定到相差一个标量场因子，并具有如下性质：一个1-形式$\omega$属于$(D^k{)}^{\perp }$当且仅当$\omega \wedge \Omega =0$

假设分布 $D^k$ 是对合的，因此 $X$，$Y\in D^k\Rightarrow [X,Y]\in D^k$。由式（16.14）

$$\mathrm{d}{\omega }^a(X,Y)=\frac{1}{2}(X(⟨Y,{\omega }^a⟩)-Y(⟨X,{\omega }^a⟩)-⟨[X,Y],{\omega }^a⟩)=0$$

对任意一对向量 $X$、$Y\in D^k$。反之，若所有 ${\omega }^a$ 和 $\mathrm{d}{\omega }^a$ 限制在分布 $D^k$ 上时为零，则对所有 $\zeta ,Y\in D^k$ 有 $⟨[X,Y],{\omega }^a⟩=0$。因此，分布 $D^k$ 为对合的充分必要条件是：对所有 ${\omega }^a\in (D^k{)}^{\perp }$，外微分 $\mathrm{d}{\omega }^a$ 在 $D^k$ 上为零

设 $A_{ij}^a=-A_{ji}^a$ 为标量场，使得对所有 $\alpha$，$\beta =r+1,\dots ,n$ 均有 $\mathrm{d}{\omega }^a=A_{ij}^a{\omega }^i\wedge {\omega }^j.\mathrm{If}\mathrm{d}{\omega }^a(e_{\alpha },e_{\beta })=0$，则 $A_{\alpha \beta }^a=0$ 且

$$\mathrm{d}{\omega }^a=A_{bc}^a{\omega }^b\wedge {\omega }^c+A_{b\beta }^a{\omega }^b\wedge {\omega }^{\beta }+A_{\alpha c}^a{\omega }^{\alpha }\wedge {\omega }^c.$$

因此，$D^k$ 是对合的，当且仅当对于 1-形式 $\mathrm{d}{\omega }^a$，存在 1-形式 ${\theta }_b^a$，使得

$$\mathrm{d}{\omega }^a={\theta }_b^a\wedge {\omega }^b.$$

另一方面，弗罗贝尼乌斯 定理 15.4 断言：$D^k$ 是对合的，当且仅当在任意点 $p$ 处存在局部坐标 $(U;x^i)$，使得对于 $U.$ 上的可逆标量场矩阵 $\left[B_{\alpha }^{\beta }\right]$，有 $e_{\alpha }=B_{\alpha }^{\beta }{\partial }_{x^{\beta }}$。在这些坐标下，令 ${\omega }^a=A_b^a\mathrm{d}{x}^b+W_{\alpha }^a\mathrm{d}{x}^{\alpha }$，并利用 $⟨{\omega }^a,e_{\alpha }⟩=0.$，我们得到 ${\mathcal{W}}_{\alpha }^a=0$。因此，$D^k$ 为对合的一个等价必要充分条件是存在坐标 $(U;x^i)$），使得

$${\omega }^a=A_b^a\mathrm{d}{x}^b.$$

定理 16.4 · 弗罗贝尼乌斯定理的微分形式表述 (Frobenius theorem in differential-form language)

设 ${\omega }^a(a=1,\dots ,r)$ 是开集 $U,$ 上的一组 1-形式，在每一点 $p\in U$ 处线性无关。以下陈述均等价：

(i) 在每一点 $p\in U$ 处存在局部坐标 $(U;x^i)$，使得 ${\omega }^a=A_b^a\mathrm{d}{x}^b$

(ii) 存在 1-形式 ${\theta }_b^a$，使得 $\mathrm{d}{\omega }^a={\theta }_b^a\wedge {\omega }^b$

(iii) $\mathrm{d}{\omega }^a\wedge \Omega =0$，其中 $\Omega ={\omega }^1\wedge {\omega }^2\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge {\omega }^r$

(iv) $\mathrm{d}\Omega \wedge {\omega }^a=0.$

(v) 存在一个1-形式 $\theta$，使得 $\mathrm{d}\Omega =\theta \wedge \Omega$

证明

由上述注记可知，$(\mathrm{i})\iff (\mathrm{ii})$，因为这两个命题都等价于如下命题：零化所有 ${\omega }^a$ 的分布 $D^k$ 是对合的。条件 (ii) $\iff (\mathrm{iii})$，因为 ${\omega }^a\wedge \Omega =0$，而逆命题可通过令 $\mathrm{d}{\omega }^a={\theta }_b^a\wedge {\omega }^b+A_{\alpha \beta }^a{\omega }^{\alpha }\wedge {\omega }^{\beta }$ 得到，其中 ${\omega }^i(i=1,\dots ,n)$ 是补全 ${\omega }^a$ 的任意局部 1-形式基。

蕴含 $(\mathrm{iii})\iff (\mathrm{iv})$ 由式 (16.3) 立即推出，且 $(\mathrm{v})⟹(\mathrm{iv})$ 因为

$$\mathrm{d}\Omega =\theta \wedge \Omega ⟹\mathrm{d}\Omega \wedge {\omega }^a=\theta \wedge \Omega \wedge {\omega }^a=0.$$

最后，$(\ddot{1}\dot{1})\Rightarrow (\mathbf{v})$，因为如果 $\mathrm{d}{\omega }^a={\theta }_b^a\wedge {\omega }^b$，那么

$$\begin{array}{l}\mathrm{d}\Omega =\mathrm{d}{\omega }^1\wedge {\omega }^2\wedge \cdots \wedge {\omega }^r-{\omega }^1\wedge \mathrm{d}{\omega }^2\wedge \cdots \wedge {\omega }^r+\dots \\ ={\theta }_1^1\wedge {\omega }^1\wedge {\omega }^2\wedge \cdots \wedge {\omega }^r-{\omega }^1\wedge {\theta }_2^2\wedge {\omega }^2\wedge \cdots \wedge {\omega }^r+\dots \\ =({\theta }_1^1+{\theta }_2^2+\cdots +{\theta }_r^r)\wedge {\omega }^1\wedge {\omega }^2\wedge \cdots \wedge {\omega }^r\\ =\theta \wedge \Omega \end{array}$$

其中 $\theta ={\theta }_a^a$ 。因此 $(\mathrm{iv})\Rightarrow (\mathrm{iii})\Rightarrow (\mathrm{ii})\Rightarrow (\mathrm{v})$ ，证明完毕。

开集$U_{\text{ : }}$上线性无关的一组1-形式${\omega }^1,\dots ,{\omega }^r$，若满足本定理的条件$(\mathrm{i})-(\mathrm{v})$中的任意一条，则称其为完全可积的(completely integrable)。消去这些${\omega }^a$的分布$D^k\left(k=n-r\right)$由方程$⟨{\omega }^a,X⟩=0$给出，通常写成一个方程组的普法夫方程组(Pfaffian system)

$${\omega }^a=0(a=1,\dots ,r).$$

条件 (i) 表明，局部存在 $r$ 个函数 $g^a(x^1,\dots ,x^n)$ 在 $U$ 上，使得

$${\omega }^a=f_b^a\mathrm{d}{g}^b$$

其中函数 $f_b^a$ 在 $U.$ 的每一点构成非奇异的 $r\times r$ 矩阵。函数 $g^a$ 称为该系统的一个 第一积分(first integral)。由 $g^a(x^1,\dots ,x^n)=c^a=$ 为常数所定义的 $r$ 维子流形 $(N_{\mathbf{c}},{\psi }_{\mathbf{c}})$ 具有性质

$${\psi }_{\mathbf{c}}^{\ast }{\omega }^a=f_b^a\circ {\psi }_{\mathbf{c}}\mathrm{d}{c}^b=0,$$

并称为该系统的积分子流形。

例 16.2

考虑三维空间中的一个普法夫方程，

$$\omega =P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z=0.$$

若 $\omega =f\mathrm{d}g$，其中 $f(0,0,0)\ne 0$，则称函数 $f(x,y,z)$ 为一个 积分因子(integrating factor)。于是立即有

$$\mathrm{d}\omega =\mathrm{d}f\wedge \mathrm{d}g=\mathrm{d}f\wedge \frac{1}{f}\omega =\theta \wedge \omega$$

其中 $\theta =d(\ln f)$ 。这等价于定理 16.4 的条件 (ii) 和 (v)。条件 (iii) 和 (iv) 相同，因为 $\Omega =\omega ,$ ，并且立即由

$$\mathrm{d}\omega \wedge \omega =\theta \wedge \omega \wedge \omega =0,$$

这归结为欧拉关于积分因子存在性的著名可积性条件，

$$P\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)+Q\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)+R\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=0.$$

例如，如果 $\omega =\mathrm{d}x+z\mathrm{d}y+\mathrm{d}z$ 不存在积分因子，$\omega =f\mathrm{d}g$，因为

$$\mathrm{d}\omega \wedge \omega =\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x=-\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z\ne 0.$$

另一方面，如果 $\omega =2xz\mathrm{d}x+2yz\mathrm{d}y+\mathrm{d}z$，那么

$$\mathrm{d}\omega \wedge \omega =(2x\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+2y\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}y)\wedge \omega =4xyz(\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x)=0.$$

因此，局部上应当能够将 $\omega$ 表示为 $f$ $\mathrm{d}g$ 的形式。函数 $f$ 与 $g$ 并非唯一，因为若 $G(g)$ 是任意函数，则 $\omega =F$ $\mathrm{d}G$，其中 $F=f/(\mathrm{d}G/\mathrm{d}g)$。为求积分因子 $f$，我们求解一个由三个微分方程组成的方程组

$$f\frac{\partial g}{\partial x}=2xz,\text{\hspace{1em}(a)}$$ $$f\frac{\partial g}{\partial y}=2yz,\text{\hspace{1em}(b)}$$ $$f\frac{\partial g}{\partial z}=1.\text{\hspace{1em}(c)}$$

从(a)和(b)中消去$f$，我们得到

$$\frac{1}{x}\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{y}\frac{\partial g}{\partial y},$$

其可表示为

$$\frac{\partial g}{\partial x^2}=\frac{\partial g}{\partial y^2}.$$

该方程有通解 $g(z,u)$，其中 $u=x^2+y^2$，并且从 (b) 和 (c) 中消去 $f$ 得到

$$\frac{\partial g}{\partial z}=2yz\frac{\partial g}{\partial y}⟹\frac{\partial g}{\partial \ln z}=\frac{\partial g}{\partial y^2}=\frac{\partial g}{\partial u}.$$

因此 $g=G(\ln z+u)$，并且由于可以选取任意函数 $G$，我们可以设 $g=z{\mathrm{e}}^{x^2+y^2}$。由 (c) 可知 $f={\mathbf{e}}^{-x^2-y^2}$，并且容易验证

$$\omega ={\mathrm{e}}^{-x^2-y^2}\mathrm{d}\left(z{\mathrm{e}}^{x^2+y^2}\right)=2xz\mathrm{d}x+2yz\mathrm{d}y+\mathrm{d}z.$$

习题

习题 16.7

令 $\omega =yz\mathbf{d}x+xz+z^2$ $\mathrm{d}z$。证明普法夫方程组 $\omega =0$ 有积分曲面 $g=z^3{\mathbf{e}}^{xy}=const.$，并将 $\omega$ 表示为 $f\mathrm{d}\mathbf{g}$ 的形式。

习题 16.8

给定一个 $r\times r$ 的 1-形式矩阵 $\Omega ,$，证明方程

$$\mathrm{d}\mathsf{A}=\Omega \mathsf{A}-\mathsf{A}\Omega$$

对于函数矩阵$A$的$r\times r$矩阵，仅当

$$\Theta \mathsf{A}=\mathsf{A}\Theta$$

其中 $\Theta =\mathrm{d}\Omega -\Omega \wedge \Omega$

若该方程对任意点 $p\in M$ 处的任意初值 $\mathsf{A}={\mathsf{A}}_0$ 都有解，则证明存在一个 2-形式 $\alpha$，使得“$\alpha I$ 且 $\mathrm{d}\alpha =0$