18.7 卡当形式体系

English

嘉当处理曲率的方法完全用微分形式来表达。设 $e_i(i=1,\dots ,n)$ 是向量场的局部基，在开集 $U\subseteq M$ 上张成 $\mathcal{T}(U)$，而 $\{{\epsilon }^i\}$ 是 ${\mathcal{T}}^{\ast }(U)$ 的对偶基，使得 $⟨e_i,{\epsilon }^j⟩={\delta }_i^j$。例如，在坐标卡 $(U;x^i)$ 中，我们可以取 $e_i={\partial }_{x^i}$ 和 ${\epsilon }^j=\mathrm{d}{x}^j$，但对于任意基 $\{e_i\}$，这样的坐标系存在当且仅当对所有 $i,j=1,\dots ,n$ 都有 $[e_i,e_j]=0$。我们通过下式定义 联络一形式(connection 1-form) ${\omega }_{\text{ j }}^i:\mathcal{T}(U)\to \mathcal{F}(U)$

$$D_X{e}_j={\omega }_j^i(X)e_i.\text{\hspace{1em}(18.63)}$$

这些映射是 $U$ 上的微分1-形式，因为它们显然是 -线性的，

$$D_{X+fY}{e}_j=D_X{e}_j+f{D}_Y{e}_j⟹{\omega }_j^i(X+fY)={\omega }_j^i(X)+f{\omega }_j^i(Y).$$

$\mathrm{If}\tau :T(U)\times T(U)\to T(U)$ 是方程 (18.19) 中定义的挠率算符，集合

$$\tau (X,Y)={\tau }^i(X,Y)e_i.$$

映射 ${\tau }^i:\mathcal{T}(U)\times \mathcal{T}(U)\mathcal{F}(U)$ 由 $\tau$ 的 $\mathcal{F}$-线性而在两个自变量上均为 $\mathcal{F}$-线性的，并且是反对称的 ${\tau }^i(X,Y)=-{\tau }^i(Y,X)$。因此，它们是 $U$ 上的微分二形式，称为 挠率二形式(torsion 2-form)。

随文练习

证明 ${\tau }^i=T_{ik}^i{\epsilon }^j\wedge {\epsilon }^k$，其中 $T_{jk}^i=⟨\tau (e_j,e_k),{\epsilon }^i⟩$

由恒等式$Z=⟨{\epsilon }^i,Z⟩e_i$，对$U_{:}$上的任意向量场$Z$，我们有

$$\begin{array}{rl}& \tau (X,Y)=D_X(⟨{\epsilon }^i,Y⟩e_i)-D_Y(⟨{\epsilon }^i,X⟩e_i)-⟨{\epsilon }^i,[X,Y]⟩e_i\\ & =X(⟨{\epsilon }^i,Y⟩)e_i+⟨{\epsilon }^i,Y⟩{\omega }_i^k(X)e_k-Y(⟨{\epsilon }^i,X⟩)e_i-⟨{\epsilon }^i,X⟩{\omega }_i^k(X)e_k\\ & -⟨{\epsilon }^i,[X,Y]⟩e_i\\ & =2\mathsf{d}{\epsilon }^i(X,Y)e_i+2{\omega }_i^k\wedge {\epsilon }^i(X,Y)e_k,\end{array}$$

利用嘉当恒等式（16.14）。因此

$${\tau }^i(X,Y)e_i=2(\mathrm{d}{\epsilon }^i(X,Y)+2{\omega }_k^i\wedge {\epsilon }^k(X,Y))e_i,$$

而由向量场 $e_i$ 的 -线性无关性，我们得到嘉当第一结构方程

$$\mathrm{d}{\epsilon }^i=-{\omega }_k^i\wedge {\epsilon }^k+\frac{1}{2}{\tau }^i.\text{\hspace{1em}(18.64)}$$

由下式定义曲率二形式(curvature 2-form) ${\mathbf{\rho }}_j^i$：

$${\rho }_{X,Y}{e}_j={\rho }_j^i(X,Y)e_i,\text{\hspace{1em}(18.65)}$$

其中${\rho }_{X,Y}:\mathcal{T}(M)\to \mathcal{T}(M)$是式(18.22)中的曲率算符。

随文练习

证明 ${{\rho }^i}_j$ 是 $U;$ 上的微分 2-形式，即它们关于 $X$ 和 $Y$ 是 $\mathcal{F}$-线性的，并且满足 ${\rho }^i{}_j(X,Y)=-{\rho }^i{}_j(Y,X)$。

将式 (18.65) 右端的哑指标由 $i$ 改为 $k$，并对等式两端作用 $⟨{\epsilon }^i,\cdot ⟩$，借助式 (18.23)，可得

$$\begin{array}{l}{\rho }_j^i(X,Y)=⟨{\epsilon }^i,{\rho }_{X,Y}{e}_j⟩\\ =R({\epsilon }^i,e_j,X,Y)\\ =R_{jkl}^i{X}^k{Y}^l\text{where}{R}_{jkl}^i=R({\epsilon }^i,e_j,e_k,e_l)\\ =\frac{1}{2}{R}_{jkl}^i({\epsilon }^k\otimes {\epsilon }^l-{\epsilon }^l\otimes {\epsilon }^k)(X,Y).\end{array}$$

因此

$${\rho }_j^i=R_{jkl}^i{\epsilon }^k\wedge {\epsilon }^l.\text{\hspace{1em}(18.66)}$$

对挠率算符的类似分析得到

$$\begin{array}{l}{\rho }_{X,Y}{e}_j=D_X{D}_Y{e}_j-D_Y{D}_X{e}_j-D_{[X,Y]}{e}_j\\ =D_X(⟨{\omega }_j^i,Y⟩e_i)-D_Y(⟨{\omega }_j^i,X⟩e_i)-⟨{\omega }_j^i,[X,Y]⟩e_i\\ =2[\mathrm{d}{\omega }_j^i(X,Y)+{\omega }_k^i\wedge {\omega }_j^k(X,Y)]e_i,\end{array}$$

以及嘉当第二结构方程

$$\mathrm{d}{\omega }_j^i=-{\omega }_k^i\wedge {\omega }_j^k+\frac{1}{2}{\rho }_j^i.\text{\hspace{1em}(18.67)}$$

例 18.3

相对于坐标基 $e_i={\partial }_{x^i}$，嘉当结构方程化为本章前面已得到的公式。对于任意向量场 $X=X^k{\partial }_{x^k}$，

$$D_X{\partial }_{x^j}=X^k{D}_k{\partial }_{x^j}=X^k{\Gamma }_{jk}^i{\partial }_{x^i}.$$

因此，由式 (18.63)，我们有 ${\omega }_j^i(X)=X^k{\Gamma }_{jk}^i$，从而

$${\omega }_j^i={\Gamma }_{jk}^i\mathrm{d}{x}^k.\text{\hspace{1em}(18.68)}$$

因此，联络一形式在坐标基下的分量恰好就是联络的分量。

在嘉当第一结构方程 式 (18.64) 中令 ${\epsilon }^i=\mathrm{d}{x}^i$，我们有

$$\mathrm{d}{\epsilon }^i={\mathrm{d}}^2{x}^i=0=-{\omega }_j^i\wedge \mathrm{d}{x}^j+\frac{1}{2}{\tau }^i.$$

因此 ${\tau }^i=2{\Gamma }_{jk}^i\mathrm{d}{x}^k\wedge \mathrm{d}{x}^j$，由此可知挠率二形式的分量与式 (18.21) 中挠率张量 $T$ 的分量相同，

$${\tau }^i=T_{jk}^i\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^k\text{ where }{T}_{jk}^i={\Gamma }_{kj}^i-{\Gamma }_{jk}^i.\text{\hspace{1em}(18.69)}$$

最后，嘉当第二结构方程 式 (18.67) 在坐标基下简化为

$$\mathrm{d}{\Gamma }_{jk}^i\wedge \mathrm{d}{x}^k=-{\Gamma }_{kl}^i\mathrm{d}{x}^l\wedge {\Gamma }_{jm}^k\mathrm{d}{x}^m+\frac{1}{2}{\rho }_j^i,$$

因此，在使用分解式 18.66 时，

$$R_{jkl}^i\mathrm{d}{x}^k\wedge \mathrm{d}{x}^l=2{\Gamma }_{jk,l}^i\mathrm{d}{x}^l\wedge \mathrm{d}{x}^k+2{\Gamma }_{ml}^i{\Gamma }_{jk}^m\mathrm{d}{x}^l\wedge \mathrm{d}{x}^k.$$

因此，我们得到，与式（18.25）一致，

$$R_{jkl}^i={\Gamma }_{jl,k}^i-{\Gamma }_{jk,l}^i+{\Gamma }_{jl}^m{\Gamma }_{mk}^i-{\Gamma }_{jk}^m{\Gamma }_{ml}^i=-R_{jlk}^i.$$

嘉当结构方程相对于这些各种坐标表达式的一大优势在于，它们给出了任意向量场基下的挠率和曲率表达式。

比安基恒等式

对式 (18.64) 取外微分，并借助式 (18.67)，可得

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{d}}^2{\epsilon }^i=0=-\mathrm{d}{\omega }_k^i\wedge {\epsilon }^k+{\omega }_k^i\wedge \mathrm{d}{\epsilon }^k+\frac{1}{2}\mathrm{d}{\tau }^i\\ & ={\omega }_j^i\wedge {\omega }_k^j\wedge {\epsilon }^k-\frac{1}{2}{\rho }_k^i\wedge {\epsilon }^k-{\omega }_k^i\wedge {\omega }_j^k\wedge {\epsilon }^j+\frac{1}{2}{\omega }_k^i\wedge {\tau }^k+\frac{1}{2}\mathrm{d}{\tau }^i\\ & =\frac{1}{2}(-{\rho }_k^i\wedge {\epsilon }^k+{\omega }_k^i\wedge {\tau }^k+\mathrm{d}{\tau }^i).\end{array}$$

因此，我们得到第一比安基恒等式

$$\mathrm{d}{\tau }^i={\rho }_k^i\wedge {\epsilon }^k-{\omega }_k^i\wedge {\tau }^k.\text{\hspace{1em}(18.70)}$$

它与先前恒等式式 (18.24) 的关系留作练习（见习题 18.15）。

同样地

$$\begin{array}{r}{\mathrm{d}}^2{\omega }_j^i=0=-\mathrm{d}{\omega }_k^i\wedge {\omega }_j^k+{\omega }_k^i\wedge \mathrm{d}{\omega }_j^k+\frac{1}{2}\mathrm{d}{\rho }_j^i\\ =\frac{1}{2}(-{\rho }_k^i\wedge {\omega }_j^k+{\omega }_k^i\wedge {\rho }_j^k+\mathrm{d}{\rho }_j^i),\end{array}$$

从而得到第二比安基恒等式

$$\mathrm{d}{\rho }_j^i={\rho }_k^i\wedge {\omega }_j^k-{\omega }_k^i\wedge {\rho }_j^k.\text{\hspace{1em}(18.71)}$$

嘉当形式体系中的伪黎曼空间

在具有度量张量 ${}^{g,}$ 的伪黎曼流形中，令 $g_{ij}=g(e_i,e_j)$ 。由于对每个 $i,j=1,\dots ,n$ 和 $D_{X}g=0$ ，$g_{ij}$ 是标量场，我们有

$$\begin{array}{rl}⟨X,\mathrm{d}{g}_{ij}⟩=X(g_{i}j)& =D_X(g(e_i,e_j))\\ & =g(D_X{e}_i,e_j)+g(e_i,D_X{e}_j)\\ & =g({\omega }_i^k(X)e_k,ej)+g(e_i,{\omega }_j^k(X)e_k)\\ & =g_{kj}{\omega }_i^k(X)+g_{ik}{\omega }_j^k(X)\\ & =⟨X,{\omega }_{ji}⟩+⟨X,{\omega }_{ij}⟩\end{array}$$

其中

$${\omega }_{ij}=g_{ki}{\omega }_j^k.$$

由于$X$是任意向量场，

$$\mathrm{d}{g}_{ij}={\omega }_{ij}+{\omega }_{ji}.\text{\hspace{1em}(18.72)}$$

对于正交标准基 $e_i$，若满足 $g_{ij}={\eta }_{ij}$，则有 $\mathrm{d}{g}_{ij}=0$，并且

$${\omega }_{ij}=-{\omega }_{ji}.\text{\hspace{1em}(18.73)}$$

特别地，所有对角线元素均为零，即对于 $i=1,\dots ,n$ 有 $g_{ii}=0$

将曲率二形式 ${\rho }_{ij}=g_{ik}{\rho }_j^k$ 的第一个指标下降，由第二嘉当结构方程 式 (18.67) 可得，

$$\begin{array}{rl}& {\rho }_{ij}=2(\mathrm{d}{\omega }_{ij}+{\omega }_{ik}\wedge {\omega }_j^k)\\ & =2(-\mathrm{d}{\omega }_{ji}+{\omega }_j^k\wedge {\omega }_{ki})\\ & =2(-\mathrm{d}{\omega }_{ji}-{\omega }_{jk}\wedge {\omega }_i^k),\end{array}$$

因此

$${\rho }_{ij}=-{\rho }_{ji}.\text{\hspace{1em}(18.74)}$$

随文练习

证明式 (18.74) 等价于对称性 $R_{ijkl}=-R_{jikl}$

例 18.4

半径为$a$的三维球面是${\mathbb{R}}^4$的子流形，

$$S^3(a)=\{(x,y,z,w)|x^2+y^2+z^2+w^2=a^2\}\subset {\mathbb{R}}^4.$$

球极坐标$\chi ,\theta ,\varphi$由下式定义

$$\begin{array}{l}x=a\sin \chi \sin \theta \cos \varphi \\ y=a\sin \chi \sin \theta \sin \varphi \\ z=a\sin \chi \cos \theta \\ w=a\cos \chi \end{array}$$

其中 $0<\chi ,\theta <\pi$ 且 $0<\varphi <2\pi$。这些坐标覆盖了整个 $S^3(a)$，但不包括点 $y=0,x\ge 0$。${\mathbb{R}}^4$ 上的欧几里得度量

$$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2+\mathrm{d}{w}^2$$

在$S^3(a)$上诱导出一个度量，如同例18.1中对于2-球面那样：

$$\mathrm{d}{s}^2=a^2\left[\mathrm{d}{\chi }^2+{\sin }^2\chi (\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)\right].$$

一个正交标架是

$$e_1=\frac{1}{a}\frac{\partial }{\partial \chi },e_2=\frac{1}{a\sin \chi }\frac{\partial }{\partial \theta },e_3=\frac{1}{a\sin \chi \sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }$$ $${\epsilon }^1=a\mathrm{d}\chi ,{\epsilon }^2=a\sin \chi \mathrm{d}\theta ,{\epsilon }^3=a\sin \chi \sin \theta \mathrm{d}\varphi$$

其中

$$g_{ij}=g(e_i,e_j)={\delta }_{ij},g={\epsilon }^1\otimes {\epsilon }^1+{\epsilon }^2\otimes {\epsilon }^2+{\epsilon }^3\otimes {\epsilon }^3.$$

由于度量联络是无挠的，${\tau }^i=0$，第一结构方程读作

$$\mathsf{d}{\epsilon }^i=-{\omega }_k^i\wedge {\epsilon }^k=-{\omega }_{ik}\wedge {\epsilon }^k$$

设置

$${\omega }_{ij}=A_{ijk}{\epsilon }^k$$

其中 $A_{ijk}=-A_{jik}$。通过交换哑指标 $j$ 与 $k$，我们也可以写出

$$\mathbf{d}{\epsilon }^i=-A_{ikj}{\epsilon }^j\wedge {\epsilon }^k=A_{ikj}{\epsilon }^k\wedge {\epsilon }^j=A_{ijk}{\epsilon }^j\wedge {\epsilon }^k.$$

对于 $i=1$，使用 $A_{11k}=0$

$$\mathrm{d}{\epsilon }^1=a{\mathrm{d}}^2\chi =0=A_{121}{\epsilon }^2\wedge {\epsilon }^1+A_{131}{\epsilon }^3\wedge {\epsilon }^1+(A_{123}-A_{132}){\epsilon }^2\wedge {\epsilon }^3,$$

因此

$$A_{121}=A_{131}=0,A_{123}=A_{132}.$$

对于 $i=2$

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}{\epsilon }^2=a\cos \chi \mathrm{d}\chi \wedge \mathrm{d}\theta =a^{-1}\cot \chi {\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^2\\ & =A_{212}{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^2+A_{232}{\epsilon }^3\wedge {\epsilon }^2+(A_{213}-A_{231}){\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^3,\end{array}$$

这意味着

$$A_{212}=a^{-1}\cot \chi ,A_{213}=A_{231},A_{232}=0.$$

类似地，$i$ 3 方程给出

$$A_{312}=A_{321},A_{313}=a^{-1}\cot \chi ,A_{323}=a^{-1}\frac{\cot \theta }{\sin \chi }.$$

所有三个指标均不相同的系数，例如 ${\mathbf{A}}_{123}$，必须为零，因为

$$A_{123}=A_{132}=-A_{312}=-A_{321}=A_{231}=A_{213}=-A_{123}⟹A_{123}=0.$$

现在已有足够的信息写出联络一形式：

$${\omega }_{12}=-{\omega }_{21}=-a^{-1}\cot \chi {\epsilon }^2,$$ $${\omega }_{13}=-{\omega }_{31}=-a^{-1}\cot \chi {\epsilon }^3,$$ $${\omega }_{23}=-{\omega }_{32}=-a^{-1}\frac{\cot \theta }{\sin \chi }{\epsilon }^3.$$

第二个结构关系式 式 (18.67) 现在可用于计算曲率2-形式：

$$\begin{array}{l}{\rho }_{12}=2(\mathrm{d}{\omega }_{12}+{\omega }_{1k}\wedge {\omega }_2^k)\\ =2(a^{-1}{\mathrm{cosec}}^2\chi \mathrm{d}\chi \wedge {\epsilon }^2-a^{-1}\cot \chi \mathrm{d}{\epsilon }^2+{\omega }_{13}\wedge {\omega }_{32})\\ =2a^{-2}({\mathrm{cosec}}^2\chi {\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^2-{\cot }^2\chi {\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^2)\\ =2a^{-2}{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^2,\end{array}$$

类似地

$$\begin{array}{l}{\rho }_{13}=2(\mathrm{d}{\omega }_{13}+{\omega }_{12}\wedge {\omega }_{23})=2a^{-2}{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^3,\\ {\rho }_{23}=2(\mathrm{d}{\omega }_{23}+{\omega }_{21}\wedge {\omega }_{13})=2a^{-2}{\epsilon }^2\wedge {\epsilon }^3.\end{array}$$

黎曼曲率张量的分量可利用式 (18.66) 读出：

$$R_{1212}=R_{1313}=R_{2323}=a^{-2},$$

而黎曼张量的所有其他分量都通过对称性与这些分量简单地相联系；例如，$R_{2121}=-R_{1221}=a^{-2},R_{1223}=0$ 等。验证该关系是直接的

$$R_{ijkl}=\frac{1}{a^2}(g_{ik}{g}_{jl}-g_{il}{g}_{jk}).$$

对于任意黎曼空间 $(M,g)$，由任意点 $p$ 处的一对切向量 $X$ 与 $Y$ 所张成的向量二维空间的 截面曲率(sectional curvature) 定义为

$$K(X,Y)=\frac{R(X,Y,X,Y)}{A(X,Y)}$$

其中 $A(X,Y)$ 是由 $X$ 和 $Y$ 张成的平行四边形的“面积”，

$$A(X,Y)=g(X,Y)g(X,Y)-g(X,X)g(Y,Y).$$

对于三维球面

$$K(X,Y)=\frac{1}{a^2}\frac{X_i{Y}^i{X}_k{Y}^k-X_i{X}^i{Y}_k{Y}^k}{X_i{Y}^i{X}_k{Y}^k-X_i{X}^i{Y}_k{Y}^k}=\frac{1}{a^2}$$

独立于点 $p\in S^3(a)$ 以及切向量 $X$、$Y$ 的选择。因此，3-球面被称为常曲率空间。

局部平坦的空间

一个带有仿射联络的流形 $M$ 被称为 局部平坦的(locally flat)，如果对每一点 $p\in M$，都存在一个图卡 $(U;x^i)$，使得联络的所有分量在整个 $U$ 上为零。这当然意味着挠率张量和曲率张量在整个 $U$ 上均为零，但更有趣的是，这些条件既是必要的也是充分的。这一结果在嘉当形式体系中最容易证明，并且需要联络一形式在基变换下的变换。

$${\epsilon }^{\prime i}=A_j^i{\epsilon }^j\text{ where }{A}_j^i=A_j^i(x^1,\dots ,x^n).$$

计算 $\mathrm{d}{\epsilon }^{\prime i}$，利用式（18.64），得到

$$\mathrm{d}{\epsilon }^{\prime i}=\mathrm{d}{A}_j^i\wedge {\epsilon }^j+A_j^i\mathrm{d}{\epsilon }^j=-{\omega }_k^{\prime i}\wedge {\epsilon }^{\prime k}+\frac{1}{2}{\tau }^{\prime i}$$

其中 ${\tau }^{\prime i}={A^i}_j{\tau }^j$ 且

$$A_j^k{\omega }_k^{\prime i}=\mathrm{d}{A}_j^i-A_k^i{\omega }_j^k.\text{\hspace{1em}(18.75)}$$

随文练习

由该方程与式 (18.67) 证明：若存在一个变换使得 ${\omega }_k^{\prime i}=0$，则曲率二形式为零，${\rho }_j^k=0$

定理 18.1 · 无挠联络的局部平坦性判据 (Criterion for local flatness of a torsion-free connection)

一个带有对称联络的流形处处局部平坦，当且仅当曲率二形式为零，${{\rho }^k}_j=0$

证明

仅当部分由上述评注推出。反之，我们假设处处有 ${\tau }^i={\rho }_j^i=0$。若 $(U;x^i)$ 是 $M$ 上的任意坐标图，令 $N=U\times {\mathbb{R}}^{n^2}$，并将 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 上的坐标记为 ${\mathbf{z}}_{\mathbf{k}}^j$。利用第二个结构公式 式 (18.67) 及 ${{\rho }^i}_j=0$，$N$ 上的 1-形式 ${\mathbf{\alpha }}_j^i=\mathrm{d}{z}_j^i-z_k^i{\mathbf{\omega }}_j^k$ 满足

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{\alpha }_j^i& =-\mathrm{d}{z}_k^i\wedge {\omega }_j^k-z_k^i\mathrm{d}{\omega }_j^k\\ & =-({\alpha }_k^i+z_m^i\mathrm{d}{\omega }_k^m)\wedge {\omega }_j^k+z_k^i{\omega }_m^k\wedge {\omega }_j^m\\ & ={\omega }_j^k\wedge {\alpha }_k^i.\end{array}\text{\hspace{1em}(18.76)}$$

由 弗罗贝尼乌斯 定理 16.4，$\mathrm{d}{\alpha }_j^i=0$ 是 $N_z$ 上的可积系统，并且在任意满足 $\det$[ $A_{0k}^j]\ne 0$ 的点 $x_0^i,A_{0k}^j$ 处都有一个局部积分子流形，可以假设其具有如下形式

$$z_i^j=A_i^j(x^1,\dots ,x^n)\text{ where }{A}_i^j(x_0^1,\dots ,x_0^n)=A_{0i}^j.$$

我们可以假设 $[A_k^j]$ 的行列式在 ${\mathbf{X}}_0$ 的一个邻域内非奇异。因此

$${\alpha }_j^i=0⟹\mathrm{d}{A}_j^i-A_k^i{\omega }_j^k=0$$

将其代入式（18.75）后得到

$${\omega }_k^{\prime i}=0\text{ if }{\epsilon }^{\prime i}=A_j^i{\epsilon }^j.$$

最后，结构方程 式 (18.64) 给出 $\mathbf{d}{\epsilon }^{\prime i}=0$，而 庞加莱 引理 17.5 意味着存在局部坐标 $y^i$，使得 ${\epsilon }^{\prime i}=\mathrm{d}{\mathbf{y}}^i$ -

在伪黎曼空间的情形下，使得${\Gamma }_{jk}^i=0$成立的局部平坦坐标，由式（18.37）可推出$g_{ij,k}=0$。因此在整个坐标区域内$g_{ij}=\mathrm{const}.$，并且可以使用线性变换将度量对角化为标准对角形式$g_{ij}={\eta }_{ij}$，其对角线上为1。

习题

习题 18.15

设 $e_i={\partial }_{x^i}$ $i$ 为一个坐标基。

(a) 证明第一比安基恒等式为

$$R_{[jkl]}^i=T_{[jk;l]}^i-T_{[jk}^a{T}_{l]a}^i,$$

并在无挠联络的情形下化为循环恒等式 式 (18.26)

(b) 证明第二比安基恒等式变为

$$R_{j[kl;m]}^i=R_{ja[k}^i{T}_{ml]}^a,$$

其与问题18.10的式(18.32)相同

习题 18.16

在黎曼流形 $(M,g)$ 中，证明例 ${}^{18.4,}$ 中所定义的、在点 $p_{:}$ 处的截面曲率 $K(X,Y)$ 与 2 维子空间的基的选取无关；即 $K(X^{\prime },Y^{\prime })=K(X,Y)\mathrm{if}{X}^{\prime }=aX+bY,Y^{\prime }=cX+\mathrm{d}Y$，其中 $ad-bc\ne 0$

若 $K(X,Y)$ 与切向量 $X$ 和 $Y\mathrm{at}p$ 的选择无关，则称该空间在 $p\in M$ 处是各向同性的。若该空间在每一点 $p$ 处都是各向同性的，则证明

$$R_{ijkl}=f(g_{ik}{g}_{jl}-g_{il}{g}_{jk})$$

其中 $f$ 是 $M$ 上的标量场。若流形的维数大于 2，证明舒尔定理：处处各向同性的黎曼流形是常曲率空间，$f=const.[Hint;$ 利用缩并的比安基恒等式 式 (18.59)。]

习题 18.17

证明：一个空间是局部平坦的，当且仅当存在一个由向量场$\{e_i\}$构成的局部基，这些向量场是绝对平行的，$D{e}_i=0$

习题 18.18

设 $(M,\phi )$ 为 ${\mathbb{E}}^3$ 的一个子流形，其形式为旋转曲面

$$x=g(u)\cos \theta ,y=g(u)\sin \theta ,z=h(u).$$

证明诱导度量（见例18.1）是

$$\mathrm{d}{s}^2=\left(g^{\prime }(u{)}^2+h^{\prime }(u{)}^2\right)\mathrm{d}{u}^2+g^2(u)\mathrm{d}{\theta }^2.$$

选取参数 $u$ 使得 $g^{\prime }(u{)}^2+h^{\prime }(u{)}^2=1$（解释这一选择！），并令基一形式为 $\begin{array}{r}{\epsilon }^1=\mathrm{d}u,{\epsilon }^2=g\mathrm{d}\theta \end{array}$，计算联络一形式 ${\omega }_j^i$、曲率一形式 ${{\rho }^i}_j$ 与曲率张量分量 $R_{1212}$

习题 18.19

对于椭球

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

证明截面曲率由下式给出

$$K={\left(\frac{x^{2}bc}{a^3}+\frac{y^{2}ac}{b^3}+\frac{z^{2}ab}{c^3}\right)}^{-2}.$$