19.5 等距变换群

English

设 $(M,g)$ 为一个伪黎曼流形。$M$ 的一个 等距变换(isometry) 是一个变换 $\phi :M\to M$，使得 $\tilde{\phi }g=g$，其中 $\tilde{\phi }$ 是按第 15.5 节所定义的在张量场上诱导的映射。该条件等价于要求

$$g_{\phi (p)}({\phi }_{\ast }{X}_p,{\phi }_{\ast }{Y}_p)=g_p(X_p,Y_p)$$

对于所有 $X_p,Y_p\in T_p(\mathcal{M})$

设 $G$ 是 $(M,g)$ 的等距变换李群，其李代数为左不变向量场构成的李代数。若 $A\in \mathcal{G}$ 是左不变向量场，则诱导向量场 $X=\tilde{A}$ 称为 $M$ 上的 基灵向量(Killing vector)。若 ${\sigma }_t$ 是由 $A$ 生成的单参数等距变换群，则由式 (15.33)，我们有

$${\mathcal{L}}_{X}g=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}(g-{\tilde{\sigma }}_{t}g)=0.$$

在任意坐标卡 $(U;x^i)$ 中，令 $X={\xi }^i{\partial }_{x^i}$，并且由式 (15.39)，此方程变为

$${\mathcal{L}}_X{g}_{ij}=g_{ij,k}{\xi }^k+{\xi }_{,i}^k{g}_{kj}+{\xi }_{,j}^k{g}_{ik}=0,\text{\hspace{1em}(19.17)}$$

称为基灵方程(Killing’s equations)。在满足${\xi }^i=(1,0,\dots ,0)$的局部坐标卡中（见定理15.3），式（19.17）表示为

$$g_{ij,1}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^1}=0$$

而 $g$ 的分量独立于坐标 $x^1,g_{ij}=g_{ij}(x^2,\dots ,x^n)$ ）。通过从克里斯托费尔符号直接计算，或通过在测地坐标中考虑该方程，式（19.17）中的普通导数可以用协变导数代替

$$g_{ij;k}{\xi }^k+{\xi }_{;i}^k{g}_{kj}+{\xi }_{;j}^k{g}_{ik}=0,$$

并且由于 $g_{ij;k}=0$ 基灵方程可以写成协变形式：

$${\xi }_{i;j}+{\xi }_{j;i}=0.\text{\hspace{1em}(19.18)}$$

由定理 19.6，若 $X=\tilde{A}$ 且 $Y=\tilde{B}$，则 $[X,Y]=\widetilde{[A,B]}$。我们还可由问题 15.18 得出结论：若 $X$ 与 $Y$ 满足基灵方程，则 $[X,Y]$ 也满足。事实上，

最多只能有有限个线性无关的基灵向量。因为，由式 (19.18) 和里奇恒等式 (18.29)，${\xi }_{k;ij}-{\xi }_{k;ji}={\xi }_a{R}^a{}_{kij}$（无挠），我们有

$${\xi }_{k;ij}+{\xi }_{j;ki}={\xi }_a{R}_{kij}^a.$$

由循环第一比安基恒等式（18.26），${R^i}_{jkl}+{R^i}_{klj}+{R^i}_{ljk}=0$，我们有${\xi }_{i;jk}+{\xi }_{j;ki}+{\xi }_{k;ij}=0$，因此

$${\xi }_{i;jk}=-{\xi }_{j;ki}-{\xi }_{k;ij}=-{\xi }_a{R}_{kij}^a={\xi }_a{R}_{kji}^a.\text{\hspace{1em}(19.19)}$$

因此，若已知给定伪黎曼空间中的分量 ${\xi }_i$ 与 ${\xi }_{i;j}$，则 ${\xi }_i$ 的所有二阶协变导数均可由式 (19.19) 算出。随后，通过逐次对该方程求更高阶的协变导数，便可得到所有更高阶导数。假设 ${\xi }_i$ 可在 $M$ 的任意点的邻域内展开为幂级数（事实证明这并非额外的假设），则只需知道指定点 $p$ 处的 ${\xi }_i$ 与 ${\xi }_{i;j}=-{\xi }_{j;i}$，便可确定 $p$ 的邻域内的整个基灵向量场。由于在 $p,$ 处有 $n+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=n(n+1)/2$ 个线性无关的初值，故 $M$ 的任意邻域内线性无关基灵向量的最大数目为 $n(n+1)/2$。当然，一般情形下少于这个数目，设为 $r_{;}$，而一般的基灵向量可表示为 $r$ 个基灵向量 $X_1,\dots ,X_r$ 的线性组合

$$X=\sum _{i=1}^r{a}^i{X}_i,(a^i=\text{ const. })$$

生成一个维数为$r$、结构常数为$C_{ij}^k=-C_{ji}^k$的李代数

$$[X_i,X_j]=C_{ij}^k{X}_k.$$

极大对称性与宇宙学

若一个伪黎曼空间具有最大数目的基灵向量 $n(n+1)/2$，则称其具有 最大对称性(maximal symmetry)。对式 (19.19) 取协变导数，

$${\xi }_{i;jkl}={\xi }_{a;l}{R}_{kji}^a+{\xi }_a{R}_{kji;l}^a,$$

并使用问题18.9中给出的广义里奇恒等式，

$$\begin{array}{r}{\xi }_{i;jkl}-{\xi }_{i:jlk}={\xi }_{a;j}{R}_{ikl}^a+{\xi }_{i;a}{R}_{jkl}^a\\ ={\xi }_{a;j}{R}_{ikl}^a-{\xi }_{a;i}{R}_{jkl}^a,\end{array}$$

我们有

$${\xi }_a(R_{kji;l}^a-R_{lji;k}^a)={\xi }_{a;b}(R_{ikl}^a{\delta }_j^b-R_{jkl}^a{\delta }_i^b-R_{kji}^a{\delta }_l^b+R_{lji}^a{\delta }_k^b).$$

由于最大对称性下 ${\xi }_a$ 与 ${\xi }_{a;b}=-{\xi }_{b;a}$ 在任意点均任意，故右侧括号内项关于 $a$ 与 $b$ 的反对称部分为零，

$$R_{ikl}^a{\delta }_j^b-R_{jkl}^a{\delta }_i^b-R_{kji}^a{\delta }_l^b+R_{lji}^a{\delta }_k^b=R_{ikl}^b{\delta }_j^a-R_{jkl}^b{\delta }_i^a-R_{kji}^b{\delta }_l^a+R_{lji}^b{\delta }_k^a.$$

将该方程关于指标$b$与$l$缩并，利用循环对称性（18.26），我们得到

$$(n-1)R_{kji}^a=R_{ik}{\delta }_j^a-R_{jk}{\delta }_i^a.$$

关于$k$与$i$的另一次缩并给出$n$ $R_j^a=R{\delta }_j^a$，代回$R^a{}_{kji}$的表达式，我们在降指标并对指标符号作一简单置换后发现

$$R_{ijkl}=\frac{R}{n(n-1)}(g_{ik}{g}_{jl}-g_{il}{g}_{jk}).\text{\hspace{1em}(19.20)}$$

缩并的比安基恒等式（18.60）意味着里奇标量对于$n>2$是常数，因为

$$R_{j;a}^a=\frac{1}{2}{R}_{,j}⟹n{R}_{,j}=\frac{1}{2}{R}_{,j}⟹R_{,j}=0.$$

黎曼张量具有这种形式的空间称为常曲率(constant curvature)空间。例18.4为这一命名提供了另一动机，并表明半径为$a$的三维球面是常曲率空间，且$R=6/a^2$。反之亦然——每个常曲率空间都具有最大对称性。我们在以下例子中给出这一命题的几个实例。

例 19.13

欧几里得三维空间 $\mathrm{d}{s}^2={\delta }_{ij}\mathrm{d}{x}^i$ 的 $d{x}^j$ 具有零常曲率。为求其基灵向量，我们必须求出基灵方程 式 (19.18) 的所有解，

$${\xi }_{i,j}+{\xi }_{j,i}=0.$$

由于这意味着 ${\xi }_{1,1}={\xi }_{2,2}={\xi }_{3,3}=0$，我们有

$${\xi }_{i,11}=-{\xi }_{1,1i}=0,{\xi }_{i,22}={\xi }_{i,33}=0,$$

因此存在常数$a_{ij}=-a_{ji}$和$b_i$，使得

$${\xi }_i=a_{ij}{x}^j+b_i.$$

令 $a_{ij}=-{ϵ}_{ijk}{a}^k$ 且 $b^k=b_k$，我们可以将一般基灵向量表示为

$$X=a^1{X}_1+a^2{X}_2+a^3{X}_3+b^1{Y}_1+b^2{Y}_2+b^3{Y}_3$$

其中 $X_1=x^2{\partial }_3-x^2{\partial }_3,X_2=x^3{\partial }_1-x^1{\partial }_3,X_3=x^1{\partial }_2-x^2{\partial }_1$ 和 $Y_1={\partial }_1,Y_2={\partial }_2{Y}_3={\partial }_3$ 。由于这六个向量是独立的基灵向量，该空间具有最大对称性。它们的李代数对易子为

$$\begin{array}{c}[X_1,X_2]=-X_3,[X_2,X_3]=-X_1,[X_3,X_1]=-X_2,\\ [Y_1,Y_2]=[Y_1,Y_3]=[Y_2,Y_3]=0,\end{array}$$ $$[X_1,Y_1]=0,[X_2,Y_1]=Y_3,[X_3,Y_1]=-Y_2,$$ $$[X_1,Y_2]=-Y_3,[X_2,Y_2]=0,[X_3,Y_2]=Y_1,$$ $$[X_1,Y_3]=Y_2,[X_2,Y_3]=-Y_1,[X_3,Y_3]=0.$$

这被称为欧氏群的李代数。

例 19.14

例18.4的三球面，

$$\mathrm{d}{s}^2=a^2(\mathrm{d}{\chi }^2+{\sin }^2\chi (\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)),$$

有基灵方程

$${\xi }_{1,1}=0,\text{\hspace{1em}(19.21)}$$

$${\xi }_{1,2}+{\xi }_{2,1}-2\cot \chi {\xi }_2=0,\text{\hspace{1em}(19.22)}$$

$${\xi }_{1,3}+{\xi }_{3,1}-2\cot \chi {\xi }_3=0,\text{\hspace{1em}(19.23)}$$

$${\xi }_{2,2}+\sin \chi \cos \chi {\xi }_1=0,\text{\hspace{1em}(19.24)}$$

$${\xi }_{2,3}+{\xi }_{3,2}-2\cot \chi {\xi }_3=0,\text{\hspace{1em}(19.25)}$$

$${\xi }_{3,3}+\sin \chi \cos \chi {\sin }^2\theta {\xi }_1+\sin \theta \cos \theta {\xi }_2=0.\text{\hspace{1em}(19.26)}$$

由式 (19.21) 我们有 ${\xi }_1=F(\theta ,\varphi )$，且对 $x^1=\chi$ 求导式 (19.22) 得到关于 ${\xi }_2$ 的微分方程，

$${\xi }_{2,11}-2\cot \chi {\xi }_{2,1}+2{\sec }^2\chi {\xi }_2=0.$$

这个线性微分方程的通解不难求出：

$${\xi }_2=-\sin \chi \cos \chi f(\theta ,\varphi )+{\sin }^2\chi G(\theta ,\varphi ).$$

代回式 (19.22)，我们得到 $f=-F_{,2}$，其中 $x^2=\theta$。类似地，

$${\xi }_3=F_{,3}\sin \chi \cos \chi +H(\theta ,\varphi ){\sin }^2\chi .$$

将这些表达式代入其余方程，得到基灵方程的如下通解，它依赖于六个任意常数 $a^1,a^2,a^3,b^1{b}^2,b^3$

$$X={\xi }^i{\partial }_i=a^i{X}_i+b^j{Y}_j$$

其中 ${\xi }^1={\xi }_1,{\xi }^2={\xi }_2/{\sin }^2\chi ,{\xi }^3={\xi }_3/{\sin }^2\chi {\sin }^2\theta$，且

$$X_1=\cos \varphi {\partial }_{\theta }-\cot \theta \sin \varphi {\partial }_{\varphi },$$ $$X_2=\sin \varphi {\partial }_{\theta }+\cot \theta \cos \varphi {\partial }_{\varphi },$$ $$X_3={\partial }_{\varphi },$$ $$Y_1=\sin \theta \sin \varphi {\partial }_{\chi }+\cot \chi \cos \theta \sin \varphi {\partial }_{\theta }+\frac{\cot \chi }{\sin \theta }\cos \varphi {\partial }_{\varphi },$$ $$Y_2=-\sin \theta \cos \varphi {\partial }_{\chi }-\cot \chi \cos \theta \cos \varphi {\partial }_{\theta }+\frac{\cot \chi }{\sin \theta }\sin \varphi {\partial }_{\varphi },$$ $$Y_3=\cos \theta {\partial }_{\chi }-\sin \theta \cot \chi {\partial }_{\theta }.$$

与前文中的李代数括号相比，李代数括号的计算较为繁琐

例如，但其结果与欧氏群的结果有相似之处：

$$\begin{array}{lll}[X_1,X_2]=-X_3,& [X_2,X_3]=-X_1,& [X_3,X_1]=-X_2,\\ [Y_1,Y_2]=-X_3,& [Y_2,Y_3]=-X_1,& [Y_3,Y_1]=-X_2,\\ [X_1,Y_1]=0,& [X_1,Y_2]=-Y_3,& [X_1,Y_3]=Y_2,\\ [X_2,Y_1]=Y_3,& [X_2,Y_2]=0,& [X_2,Y_3]=-Y_1,\\ [X_3,Y_1]=-Y_2,& [X_3,Y_2]=Y_1,& [X_3,Y_3]=0.\end{array}$$

毫不意外，这个李代数同构于四维旋转群 $SO(4)$ 的李代数。

18.9 节的 罗伯逊–沃克 宇宙学全都具有最大对称的空间截面。开放模型（18.105）中 $t$ 为常数的截面是常负曲率的 3 维空间，称为伪球面。这些模型称为均匀且各向同性的。不难看出，这些时空与其空间截面具有相同数目的独立基灵向量。一般来说，它们有六个基灵向量，但某些特殊情形可能更多。特别令人感兴趣的是 德西特时空(de Sitter space-time)，它是一个最大对称时空，具有 10 个独立基灵向量：

$$\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+a^2{\cosh }^2(t/a)\left[\mathrm{d}{\chi }^2+{\sin }^2\chi (\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)\right].$$

这是一个常曲率的时空，可以将其视为嵌入五维空间中的双曲面，

$$x^2+y^2+z^2+w^2-v^2=a^2.$$

由于它是常曲率空间，$\begin{array}{r}{R}_{\mu \nu }=\frac{1}{4}R{g}_{\mu \nu }\end{array}$，爱因斯坦张量为

$$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=-\frac{1}{4}R{g}_{\mu \nu }=\frac{3}{a^2}{g}_{\mu \nu }.$$

这可以从两方面来理解。它可以被解释为爱因斯坦场方程$G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$的一个解，其中理想流体$T_{\mu \nu }\propto g_{\mu \nu }$具有负压强$P=-\rho c^2$。然而，更常见的是将其解释为带宇宙学常数$\Lambda$的修改后爱因斯坦场方程的真空解$T_{\mu \nu }=0$，

$${\mathbb{G}}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }(\Lambda =3a^{-2}).$$

该模型目前受到暴胀宇宙学支持者的青睐。其几何学中一些有趣的方面在 [8, 9] 中有所描述。

有时宇宙学家关注具有较少对称性的宇宙模型。一种常用技术是寻找未必各向同性的均匀模型，这相当于将基灵向量的李代数从六个放宽到三个，并假设轨道是时空的三维子空间。所有三维李代数可分为九种比安基类型之一，通常用罗马数字标记。详细讨论可见[10]。罗伯逊–沃克模型都属于这一分类，平坦模型为比安基类型I，闭模型为类型IX，开模型为类型V。为了看清这种对称性的放宽如何产生更一般的模型，考虑类型I，即交换李代数

$$[X_1,X_2]=[X_2,X_3]=[X_1,X_3]=0.$$

不难在局部证明，具有这些对称性的度量必定具有以下形式

$$\mathrm{d}{s}^2={\mathrm{e}}^{2{\alpha }_1(t)}(\mathrm{d}{x}^1{)}^2+{\mathrm{e}}^{2{\alpha }_2(t)}(\mathrm{d}{x}^2{)}^2+{\mathrm{e}}^{2{\alpha }_3(t)}(\mathrm{d}{x}^3{)}^2-c^2\mathrm{d}{t}^2.$$

该度量的真空解为（见 [11]）

$${\alpha }_i(t)=a_i\ln t(a_1+a_2+a_3=a_1^2+a_2^2+a_3^2=1),$$

称为 卡斯纳 解。这类无压尘埃宇宙学称为 赫克曼–许金 解（见 [12] 中 恩斯特·赫克曼 与 奥托·许金 的文章），其形式为

$${\alpha }_i=a_i\ln (t-t_1)+b_i\ln (t-t_2)\left(b_i=\frac{2}{3}-a_i,\sum _{i=1}^3{a}_i=\sum _{i=1}^3(a_i{)}^2=1\right).$$

不难证明 $\begin{array}{r}{\sum }_{i=1}^3{b}_i={\sum }_{i=1}^3(b_i{)}^2=1\end{array}$。这些解中的密度按如下方式演化：

$$\rho =\frac{1}{6\pi G(t-t_1)(t-t_2)}.$$

平坦弗里德曼模型作为该模型的极限 $t_1=t_2$ 而出现。

球对称性

若一个时空具有三个类空基灵向量 $X_1,X_2,X_3$，使得它们张成一个与 (3) 同构的李代数，则称该时空是球对称的，

$$[X_i,X_j]=-{ϵ}_{ijk}{X}_k(i,j,k\in \{1,2,3\})$$

并且使得所有点的轨道都是二维曲面，或者可能是孤立点。其思想是，由变换群生成的轨道一般是二维球面，在适当的坐标下可表示为 $r$ 为常数。因此应当存在坐标 $x=r,x^2=\theta ,x^3=\varphi$，使得 $X_i$ 由 ${\partial }_{\theta }$ 和 ${\partial }_{\varphi }$ 张成，并且利用定理 15.3，局部上应当可能选取这些坐标，使得

$$X_3={\partial }_{\varphi },X_1={\xi }^1{\partial }_{\theta }+{\xi }^2{\partial }_{\varphi },X_2={\eta }^1{\partial }_{\theta }+{\eta }^2{\partial }_{\varphi }.$$

于是我们有

$$[X_3,X_1]=-X_2⟹{\eta }^1=-{\xi }_{,\varphi }^1,{\eta }^2=-{\xi }_{,\varphi }^2$$ $$[X_3,X_2]=X_1⟹{\xi }^1={\eta }_{,\varphi }^1,{\xi }^2={\eta }_{,\varphi }^2$$

因此 ${\xi }_{,\varphi \varphi }^i=-{\xi }^i\left(i=1,2\right)$，从而

$${\xi }^1=f\sin \varphi +g\cos \varphi ,{\xi }^2=h\sin \varphi +k\cos \varphi$$ $${\eta }^1=-f\cos \varphi +g\sin \varphi ,{\eta }^2=-h\cos \varphi +k\sin \varphi$$

其中函数$f,g,h,k$是$\theta ,r$和$t$的任意函数。剩余的交换关系$[X_1,X_2]=-X_3$经过一些简化后意味着，

$$f{g}_{\theta }-g{f}_{\theta }+gk+fh=0\text{\hspace{1em}(19.27)}$$

$$f{k}_{\theta }-g{h}_{\theta }+h^2+k^2=-1\text{\hspace{1em}(19.28)}$$

其中 $g_{\theta }\equiv \partial g/\partial \theta$ 等。坐标变换 ${\varphi }^{\prime }=\varphi +F(\theta ,r,t),\theta =G(\theta ,r,t)$ 具有如下效果

$${\partial }_{\varphi }={\partial }_{{\varphi }^{\prime }},{\partial }_{\theta }=F_{\theta }{\partial }_{{\varphi }^{\prime }}+G_{\theta }{\partial }_{{\theta }^{\prime }}$$

因此

$$X_1={\xi }^1{G}_{\theta }{\partial }_{{\theta }^{\prime }}+\left({\xi }^1{F}_{\theta }+{\xi }^2\right){\partial }_{{\varphi }^{\prime }}.$$

因此，利用函数$\sin$与$\cos$的和角公式，

$$\begin{array}{c}({\xi }^1{)}^{\prime }={\xi }^1{G}_{\theta }=(f\sin ({\varphi }^{\prime }-F)+g\cos ({\varphi }^{\prime }-F))G_{\theta }\\ =(f\cos F+g\sin F)G_{\theta }\sin {\varphi }^{\prime }+(-f\sin F+g\cos F)G_{\theta }\cos {\varphi }^{\prime }.\end{array}$$

选择

$$\tan F=-\frac{f}{g}\text{ and }{G}_{\theta }=\frac{1}{g\cos F-f\sin F}$$

我们有 $({\xi }^1{)}^{\prime }=\cos {\varphi }^{\prime }$。于是我们得到了选取坐标 $\theta$ 与 $\varphi$ 使得 $f=0,g=1$ 的可能性。代入式 (19.27) 与式 (19.28) 得 $k=0$ 与 $h=-\cot (\theta -{\theta }_0(r,t))$。作最终坐标变换 $\theta \theta -{\theta }_0(r,t)$，它对 ${\xi }^1$ 没有影响，我们有

$$X_1=\cos \varphi {\partial }_{\theta }-\cot \theta \sin \varphi {\partial }_{\varphi },X_2=\sin \varphi {\partial }_{\theta }+\cot \theta \cos \varphi {\partial }_{\varphi },X_3={\partial }_{\varphi }.$$

由基灵方程 式 (19.17) 及 $X=X_3$，我们得到 $g_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }(r,\theta ,t)$，并且对于 $X=X_2{X}_3$，我们发现这些方程具有如下形式

$${\xi }^2{\partial }_{\theta }{g}_{\mu \nu }+{\xi }_{,\mu }^2{g}_{2\nu }+{\xi }_{,\mu }^3{g}_{3\nu }+{\xi }_{,\nu }^2{g}_{2\mu }+{\xi }_{,\nu }^3{g}_{3\mu }=0$$

并依次令 $\mu \nu =11,12,...$ 。我们得到

$$\begin{array}{c}{g}_{11}=g_{11}(r,t),g_{14}=g_{14}(r,t),g_{44}=g_{44}(r,t),\\ g_{12}=g_{13}=g_{42}=g_{43}=g_{23}=0,\\ g_{22}=f(r,t),g_{33}=f(r,t){\sin }^2\theta .\end{array}$$

由于径向坐标和时间坐标仍存在任意的坐标自由度，

$$r^{\prime }=F(r,t),t^{\prime }=G(r,t)$$

可以选择新的径向坐标使得 $f=r^{\prime 2}$，然后可以求出时间坐标使得 $g_{14}^{\prime }=0$。由此得到的度量形式是

在式（18.90）中假定，

$$\mathrm{d}{s}^2=g_{11}(r,t)\mathrm{d}{r}^2+r^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)-|g_{44}(r,t)|c^2\mathrm{d}{t}^2.$$

若 $g_{11}$ 与 $g_{44}$ 不依赖于时间坐标，则向量 $X={\partial }_t$ 是基灵向量。任何具有类时基灵向量的时空都称为稳态的。对于此处所考虑的情形，该基灵向量具有特殊性质：它正交于 3-面 $t=const.$，因此称为静态时空。一个时空为静态的条件是：基灵向量的协变形式与某一梯度成比例，即 ${\xi }_{\mu }=g_{\mu \nu }{\xi }^{\nu }=\lambda f_{,\mu }$，其中 $\lambda$ 与 $f.$ 为某两个函数。等价地，若 $\xi$ 为 1-形式 $\xi ={\xi }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$，则 $\xi =\lambda \mathrm{d}f$；由弗罗贝尼乌斯定理 16.4，此式成立当且仅当 $\mathrm{d}\xi \wedge \xi =0$。对于上述球对称度量，$\xi =g_{44}c$ $\mathrm{d}t$，且 $\mathrm{d}\xi \wedge \xi =\mathrm{d}{g}_{44}\wedge c\mathrm{d}t\wedge g_{44}c\mathrm{d}t=0:$，正如所需。稳态但非静态的度量的一个重要例子是克尔解，它代表广义相对论中的旋转体。更多细节可见 [8, 13]。

问题

习题 19.19

证明具有度量张量 $g_{ij}={\eta }_{ij}$ 的伪欧几里得空间的非平移基灵向量具有以下形式

$$X=A_j^k{x}^j{\partial }_{x^k}\text{ where }{A}_{kl}=A_k^j{\eta }_{jl}=-A_{lk}.$$

因此，参照例 19.3，证明 $SO(p,q)$ 的李代数由满足 $i<j$ 的矩阵 $I_{ij}$ 生成，其矩阵元为 $(I_{ij}{)}_a^b={\eta }_{ia}{\delta }_j^b-{\delta }_i^b{\eta }_{ja}$。证明这些生成元的对易子可写为（令 $I_{ij}=-I_{ji}\mathrm{if}i>j)$

$$[I_{ij},I_{kl}]=I_{il}{\eta }_{jk}+I_{jk}{\eta }_{il}-I_{ik}{\eta }_{jl}-I_{jl}{\eta }_{ik}.$$