6.2 带电黑洞

本节介绍爱因斯坦-麦克斯韦方程的一个解，它对应于一个带电荷或磁荷的黑洞。

自然界中不会出现带有大量电荷的黑洞。（这样的黑洞会吸引异号电荷，从而被中和。）尽管如此，研究这类黑洞仍有许多理论上的理由。特别是，带电黑洞的因果结构与施瓦西解颇为不同，而对我们来说，这正好为6.3 节将要研究的旋转黑洞作一个热身。超出这些讲义的范围来看，带电黑洞还提供了一个实验室，使我们能够探讨关于黑洞量子构成的某些问题。

6.2.1 赖斯纳-努德斯特伦解

带电黑洞是爱因斯坦-麦克斯韦理论的一个解，其作用量为

$$S=\int d^{4}x\sqrt{-g}\left[\frac{1}{16\pi G}R-\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }\right]\text{\hspace{1em}(6.19)}$$

运动方程为麦克斯韦方程

$${\nabla }^{\mu }{F}_{\mu \nu }=0$$

以及爱因斯坦-麦克斯韦方程

$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=8\pi G\left(F_{\mu }^{\rho }{F}_{\nu \rho }-\frac{1}{4}{g}_{\mu \nu }{F}^{\rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }\right)$$

其中右端是我们在(4.52)中计算过的麦克斯韦应力张量。

这些运动方程容许一个球对称解，其电磁规范场为

$$A=-\frac{Q_e}{4\pi r}dt-\frac{Q_m}{4\pi }\cos \theta d\varphi$$

其度规张量取我们熟悉的球对称形式

$$d{s}^2=-f(r{)}^{2}d{t}^2+f(r{)}^{-2}d{r}^2+r^{2}d{\Omega }_2^2$$

只不过这一次

$$f(r{)}^2=1-\frac{2GM}{r}+\frac{e^2}{r^2}\mathrm{with}{e}^2=\frac{G}{4\pi }(Q_e^2+Q_m^2)$$

这就是赖斯纳-努德斯特伦解(Reissner-Nordström solution)，它是在1916年至1921年间历经数年逐步发现的。

与伯克霍夫定理类似的一个定理表明，赖斯纳-努德斯特伦解几乎是爱因斯坦-麦克斯韦方程唯一的球对称解。只有一个例外：存在一个几何为 ${\mathrm{AdS}}_2\times {\mathbf{S}}^2$ 的解，其中贯穿着电通量；我们将在6.2.5 节中看到它是如何作为赖斯纳-努德斯特伦解的一个特殊极限出现的。

规范场中的 dt 项描述一个径向电场。而 dϕ 项则是磁单极子的规范场；它只在相差一个规范变换的意义下具有旋转不变性。（更多讨论可参见关于规范理论的讲义。）这两种荷都可以按 3.2.5 中所述的方法在渐近处测得。可以验证

$$Q_e={\int }_{{\mathbf{S}}^2}\star F\text{ and }{Q}_m={\int }_{{\mathbf{S}}^2}F$$

该解具有非零的电荷与磁荷，尽管理论(6.19)中并没有带电物质。电荷与磁荷可以看作潜藏于奇点之中。

为了对赖斯纳-努德斯特伦黑洞获得一些直观理解，我们把度规因子写成

$$f(r{)}^2=\frac{1}{r^2}(r-r_{+})(r-r_{-})$$

这里两个根由下式给出

$$r_{\pm }=GM\pm \sqrt{G^2{M}^2-e^2}\text{\hspace{1em}(6.20)}$$

在 $e\to 0$ 的极限下，较小的根与奇点合并，即 $r_{-}\to 0$，而较大的根则与施瓦西半径 $r_{+}\to 2GM$ 重合。度规张量的物理诠释取决于这个多项式的根。下面我们依次讨论这些情形。

6.2.2 超极端黑洞

超极端黑洞(super-extremal black hole)满足 $|e|>GM$。这意味着 $f(r{)}^2$ 没有零点，因而度规张量没有视界。这种情形与负质量的施瓦西解类似：它带有裸奇点，是非物理的。

例如，若取一个带电黑洞，则超极端条件 $e^2>G^2{M}^2$ 就转化为要求 $Q_e^2/4\pi >G{M}^2$。但这一条件恰恰保证了两个这样的黑洞之间的电磁斥力超过引力吸引。正因如此，很难设想这类天体最初如何能够形成。

当然，所有带电的亚原子粒子都是超极端的，即其电斥力超过引力吸引。这里并无矛盾：亚原子粒子本来就不是黑洞！例如，质量为 m 的粒子具有康普顿波长 $\lambda =\hslash /2\pi mc$。（这一次我们把因子 c 重新写回了方程中。）要求康普顿波长总是大于施瓦西半径，即

$$\frac{\hslash }{2\pi mc}>\frac{2Gm}{c^2}\Rightarrow m^2<\frac{\hslash c}{4\pi G}=2M_{\mathrm{pl}}^2$$

这一结论并不令人意外：它告诉我们，对于任何质量小于普朗克质量的亚原子粒子，量子效应都比引力效应更重要；而普朗克质量本身高达 $10^{18}\mathrm{GeV}$，大致相当于一粒沙子的质量。

6.2.3 亚极端黑洞

满足 $|e|<GM$ 的赖斯纳-努德斯特伦黑洞称为亚极端黑洞。这类解才是物理上相关的解。

此时度规函数 $f(r{)}^2$ 有两个根 $r_{\pm }$。在这两个根处，克雷奇曼标量都不发散，这表明二者都是视界。因此，带电黑洞有两个视界：外视界位于 $r_{+}$，内视界位于 $r_{-}$。

两个根的存在改变了奇点所起的作用。这是因为 $g_{rr}$ 度规分量两次变号，所以当我们到达 $r<r_{-}$ 时，r 又成为空间坐标。这表明 $r=0$ 现在是一个类时奇点，而不同于我们在施瓦西情形中看到的类空奇点。本节的目的就是较为详细地理解这些要点。

我们将沿着理解施瓦西解时所走的同一条路径。首先引入一个龟坐标，它类似于 (6.6)，现在定义为

$$d{r}_{\star }^2=\frac{1}{f(r{)}^4}d{r}^2$$

该微分方程的解为

$$r_{\star }=r+\frac{1}{2{\kappa }_{+}}\log \left|\frac{r-r_{+}}{r_{+}}\right|+\frac{1}{2{\kappa }_{-}}\log \left|\frac{r-r_{-}}{r_{-}}\right|\text{\hspace{1em}(6.21)}$$

其中

$${\kappa }_{\pm }=\frac{r_{\pm }-r_{\mp }}{2r_{\pm }^2}$$

我们稍后会看到，${\kappa }_{\pm }$ 可解释为两个视界上的表面引力。

龟坐标 $r_{\star }$ 的取值范围是 $r_{\star }\in (-\infty ,+\infty )$，其中 $r\in \mathsf{\Gamma }(r_{+},\infty )$。与施瓦西黑洞的情形一样，我们引入一对零坐标，正如对施瓦西黑洞所做的那样

$$v=t+r_{\star }\mathrm{and}u=t-r_{\star }$$

把 $t$ 换成零坐标 $v,$，就得到赖斯纳-努德斯特伦黑洞在入射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标下的形式

$$d{s}^2=-f(r{)}^{2}d{v}^2+2dvdr+r^{2}d{\Omega }_2^2\text{\hspace{1em}(6.22)}$$

该度规对所有 $r>0$ 都是光滑的，但在 $r=0$ 处有一个坐标奇点。这就保证我们可以把赖斯纳-努德斯特伦黑洞延拓到整个 $r>0$。与处理施瓦西黑洞时相同的论证再次告诉我们，$r=r_{+}$ 是一个零曲面，并且来自 $r<r_{+}$ 的任何信号都无法到达 ${\mathcal{I}}^{+}$。换言之，$r=r_{+}$ 是一个未来事件视界。

类似地，我们也可以用出射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标来延拓赖斯纳-努德斯特伦解，从而揭示出一个白洞区域。

Kruskal 时空

我们还需要弄清 $r=r.$ 处的内视界所起的作用，以及与之相关的时空整体结构。为取得进展，我们引入两种不同的类克鲁斯卡尔坐标

$$U_{\pm }=-e^{-{\kappa }_{\pm }u}\mathrm{and}{V}_{\pm }=\pm e^{{\kappa }_{\pm }v}\text{\hspace{1em}(6.23)}$$

在 $e\to 0$ 的极限下，有 ${\kappa }_{+}\to 4GM$，而坐标 $U_{+}$ 与 $V_{+}$ 就与 (6.12) 中的Kruskal-Szekeres 坐标重合。

首先，我们使用坐标 $U_{+}$ 和 $V_{+}$。这些零坐标具有如下性质：

$$U_{+}{V}_{+}=-e^{2{\kappa }_{+}{r}_{\star }}=-\left(\frac{r-r_{+}}{r_{+}}\right){\left(\frac{r_{-}}{r-r_{-}}\right)}^{r_{-}^2/r_{+}^2}{e}^{2{\kappa }_{+}r}\text{\hspace{1em}(6.24)}$$

此时赖斯纳-努德斯特伦度规为

$$\begin{array}{rl}& d{s}^2=-f(r{)}^{2}dudv+r^{2}d{\Omega }_2^2\\ & =-\frac{r_{+}{r}_{-}}{{\kappa }_{+}^2{r}^2}{\left(\frac{r-r_{-}}{r_{-}}\right)}^{1+r_{-}^2/r_{+}^2}{e}^{-2{\kappa }_{+}r}d{U}_{+}d{V}_{+}+r^{2}d{\Omega }_2^2\end{array}$$

其中，一如既往，我们现在应利用 (6.24) 来看待 $r=r(U_{+},V_{+})$。度规开始变得有点难看了，但其确切形式并不会困扰我们。更有意思的是 $U_{+}$ 与 $V_{+}$ 坐标的各种取值区域分别对应什么。

图 40.

赖斯纳-努德斯特伦黑洞的外部是区域 $r>r_{+}$。由(6.23)和(6.24)可知，这对应于 $U_{+}<0$ 和 $V_{+}>0$。但是，正如对施瓦西-克鲁斯卡尔时空一样，我们现在可以把克鲁斯卡尔坐标延拓到 $U_{+},V_{+}\in \mathbf{R}$。这样就得到了如今已很熟悉的时空图，它按 $U_{+}$ 与 $V_{+}$ 的符号分成四个象限。图 $40;$ 的左图即示出这一点：视界之外的区域是右象限，涂成蓝色；区域 $r_{-}<r<r_{+}$ 是上象限，涂成粉色。

然而，到这里情况就与施瓦西的情形不同了。这是因为类克鲁斯卡尔坐标 $U_{+}$ 和 $V_{+}$ 并不能向下延拓到 $r=0$ 处的奇点。相反，由(6.24)可知，当 $r\to r.$ 时，有 $U_{+}{V}_{+}\to \infty$。这意味着坐标 $U_{+}$ 和 $V_{+}$ 只能向下延拓到内视界 $r=r_{-}$。

在爱丁顿-芬克尔斯坦坐标 (6.22) 中并不存在这样的障碍，它们可以顺利地向下延拓到 $r=0$ 处的奇点。这意味着克鲁斯卡尔坐标 $U_{+}$ 和 $V_{+}$ 并不是最终的延拓：我们还能做得更好。

这时就要用到(6.23)中的另外两个坐标 $U_{-}$ 和 $V_{-}$ 了。两个视界之间满足 $r_{-}<r<r_{+}$ 的区域（在入射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标中）对应于 $U_{-},V_{-}<0$。于是有

$$U_{-}{V}_{-}=e^{2{\kappa }_{-}{r}_{\star }}=\left(\frac{r-r_{-}}{r_{-}}\right){\left(\frac{r_{+}}{r_{+}-r}\right)}^{r_{+}^2/r_{-}^2}{e}^{2{\kappa }_{-}r}$$

这些坐标具有这样的性质：当 $r\to r_{+}$ 从下方趋近时，$U_{-}{V}_{-}\to \infty$。换言之，它们覆盖了黑洞内部的区域，而不覆盖外部。现在我们可以延拓 $U_{-},V_{-}$ 坐标，如图 40 右图所示（其中最低的象限涂成粉色），以表明它应当与第一幅图中最上面的象限等同起来。

$U_{-},V_{-}$ 坐标覆盖了 $r=0$ 处的奇点。事实上，这样的奇点有两个，分别位于图中的左象限和右象限，在图中以红线表示。时空不能延拓到奇点之外。重要的是，与施瓦西黑洞不同，这些奇点是类时的。这正是你可能想象过的黑洞所具有的那种奇点：它就像一条粒子的世界线。然而，这也意味着赖斯纳-努德斯特伦黑洞的奇点并非不可避免：存在一些类时世界线，试探粒子可以沿着它们运动而完全避开奇点。

这些幸运的世界线最终会进入图 40 右图最上方的象限，在那里 $U_{-},V_{-}>0$。这是时空中一个全新的、未曾预料到的部分。人们发现，测地线会在仿射参数取有限值时到达该区域的边界。这意味着我们的时空还必须进一步延拓！事实上，右图最上方的区域与左图最下方的区域同构。这两个区域用相同的颜色着色，但条纹不同，以表明它们的度规同构，然而它们不应被等同起来。（若这样做，就会导致闭合类时曲线。）因此，我们引入第三套坐标，即 $U_{+}^{\prime }$ 和 $V_{+}^{\prime }$。由此产生时空的一个新部分，它与左图同构。此后整个步骤便无限重复下去。

把这些Kruskal 图拼接起来，就得到赖斯纳-努德斯特伦黑洞的彭罗斯图。也许令人惊讶的是，如图 41 所示，它在过去和未来两个方向上都是无限重复的图案；图中共形因子的选取使得奇点呈现为一条竖直线。

6.2.4 柯西视界：强宇宙监督

彭罗斯图揭示了内视界 $r=r_{-}$ 的含义。考虑在某个空间曲面 Σ 上给定的初始数据，如图 42 所示。这样的空间曲面称为柯西面(Cauchy surface)。随后我们用运动方程把这些初始数据向前演化。

遗憾的是，一旦遇到类时奇点，这种演化就不再可能进行，因为我们需要知道奇点处场的行为。我们看到，$\Sigma$ 上的数据只能演化到内视界 $r=r.$ 为止。这个零曲面 $r=r.$₋ 称为柯西视界(Cauchy horizon)。

图 41. 赖斯纳-努德斯特伦黑洞的彭罗斯图。

人们相信柯西视界是不稳定的。为了对此获得一些直观理解，考虑图 42 中所示的两个观测者。观测者 A 明智地远离黑洞，以某个恒定频率——比如每秒一次——向黑洞中发送信号，永不停息。与此同时，爱冒险却不明智的观测者 B 闯入黑洞，并在那里接收到这些信号。但当他接近 $r=r_{-}$ 时，这些信号越来越密集，无穷长时间内发出的信号会在有限的时间内全部到达，就像休假归来第一天收到的电子邮件一样。因此这些信号被无限地蓝移，这意味着渐近区域中的一个微小微扰会导致柯西视界上出现发散的微扰。

这种不稳定性意味着，赖斯纳-努德斯特伦黑洞的彭罗斯图中有很大一部分——包括类时奇点——是非物理的。微扰最终会达到什么终点，目前尚不清楚。但无论结果如何，你大概都应当对视界内部的彭罗斯图持几分保留态度：如果你真的进入了黑洞内部，那么你的存在本身就意味着那里的情形极不可能像这个简单理想化情形所描绘的那样。一种可能是，柯西视界 $r=r.$ ₋ 会变成一个奇点。

图 42. 初始数据给定在 $\Sigma .$ 上，这是一个空间超曲面。但这些数据无法被演化越过柯西视界 $r=r_{-}$，即图中红线所示。赖斯纳-努德斯特伦黑洞的延拓几何既包含一个未来柯西视界，也包含一个过去柯西视界。

柯西视界的不稳定性是第二个宇宙监督猜想的推论：

强宇宙监督猜想(strong cosmic censorship conjecture)：对于满足适当能量条件的物质，一般的初始条件不会导致柯西视界。与此相关，类时奇点也不会形成。

强宇宙监督所陈述的是：广义相对论在一般情况下是一个决定论性的理论。它既不比弱宇宙监督更强，也不比它更弱；两者虽然显然相关，但在逻辑上是彼此独立的。（广义相对论中有一个传统：把两样东西分别命名为“弱”和“强”，尽管强并不比弱更强。）

6.2.5 极端黑洞

剩下要描述的是极端赖斯纳-努德斯特伦黑洞，它满足

$$|e|=GM$$

此时内视界与外视界合并为一，度规张量取如下形式

$$d{s}^2=-{\left(1-\frac{GM}{r}\right)}^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{GM}{r}\right)}^{-2}d{r}^2+r^{2}d{\Omega }_2^2\text{\hspace{1em}(6.25)}$$

图 43. 极端赖斯纳-努德斯特伦黑洞的彭罗斯图。

这里在 $r=GM$ 处只有一个坐标奇点，但它现在是一个二阶极点。

与之前一样，可以用爱丁顿-芬克尔斯坦坐标证明时空可以延拓到整个 $r>0$ 上，并用类克鲁斯卡尔坐标构造出整体的因果结构。所得的彭罗斯图如图 43 所示。

极端黑洞有许多奇特的性质。首先，我们可以考察从一点 $r=R$ 到视界的空间距离。对于同时具有内视界和外视界的亚极端黑洞，这一距离由下式给出

$$s={\int }_{r_{+}}^R\frac{dr}{\sqrt{(1-r_{+}/r)(1-r_{-}/r)}}<\infty$$

然而，对于 $r_{+}=r_{-}=GM$ 的极端黑洞，上式变为

$$s={\int }_{GM}^{R}dr{\left(1-\frac{GM}{r}\right)}^{-1}=\infty$$

因此，极端黑洞的视界位于无穷远的空间距离处。与此相反，类时测地线与零测地线都能在有限的仿射参数内毫无困难地到达视界。

我们应当把黑洞的视界看作发展出了一条无限长的喉，如图所示；这正是爱因斯坦-罗森桥如今的样子，只不过现在它被限制在一侧。

为了弄清喉的深处极端几何是什么样子，我们可以取近视界极限。我们记

$$r=r_{+}+\eta$$

当 $\eta \ll GM$ 时，度规 (6.25) 取如下形式

$$d{s}^2=-\frac{{\eta }^2}{r_{+}^2}d{t}^2+r_{+}^2\frac{d{\eta }^2}{{\eta }^2}+r_{+}^{2}d{\Omega }_2^2$$

前两项是二维反德西特时空 (4.28) 的庞加莱补丁的度规。最后一项则是一个半径恒定的二维球面。由此我们看到，极端赖斯纳-努德斯特伦黑洞的近视界极限是 ${\mathrm{AdS}}_2\times {\mathbf{S}}^2$；这有时被称为罗宾逊-贝尔托蒂度规(Robinson-Bertotti metric)。与此类似的计算在从弦论中膜的动力学出发、为AdS/CFT 对应提供动机方面起着重要作用。

多黑洞解

例如，若取带电黑洞，则极端性条件 $|e|=$ GM 意味着 $Q_e^2/4\pi =G{M}^2$。从某种 $17^{\mathrm{th}}$ 世纪的视角来看，这说的是两个黑洞之间的库仑力（斥力）恰好抵消了牛顿引力（引力）。于是我们不禁要问：能否构造出两个或更多处于平衡状态的黑洞呢？

上述考虑丝毫不能保证这类解的存在。到这时应当已经清楚，广义相对论远不止是一条简单的 $1/r^2$ 牛顿力定律，而且我们仍然面临着一个看似艰巨的任务：在没有球对称性这一拐杖的情况下求解非线性的爱因斯坦方程。尽管如此，至少有可能存在与时间无关的解。这与施瓦西黑洞或亚极端赖斯纳-努德斯特伦黑洞的情形形成对比：在后两者中，引力意味着两个黑洞必须相互绕转，并在此过程中辐射引力波。

鉴于爱因斯坦方程的复杂性，存在一个与时间无关的多黑洞解，而且它还出奇地简单，这或许令人惊讶。为了说明这一点，我们首先引入一个新的径向坐标

$$\rho =r-GM$$

显然，奇点位于 $\rho =0$ 处。在这个坐标下，极端赖斯纳-努德斯特伦度规 (6.25) 取如下形式

$$d{s}^2=-H(\rho {)}^{-2}d{t}^2+H(\rho {)}^2\left(d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\Omega }_2^2\right)\mathrm{with}H(\rho )=1+\frac{GM}{\rho }$$

这一形式现在可以简单地推广为

$$d{s}^2=-H(\mathbf{x}{)}^{-2}d{t}^2+H(\mathbf{x}{)}^{2}d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x}$$

其中 x 是 ${\mathbf{R}}^3$ 上通常的笛卡尔坐标。我们进一步对规范场 $A=H^{-1}dt$ 作拟设，这对应于带电黑洞。（对于同时带有电荷与磁荷的黑洞，也有一个简单的推广。）于是，非线性的爱因斯坦-麦克斯韦方程归结为对 $H(\mathbf{x})$ 的一个非常简单的线性条件，

$${\nabla }^{2}H=0$$

其中 ${\nabla }^2$ 是平直 ${\mathbf{R}}^3$ 上的拉普拉斯算符。在满足某些渐近边界条件的情况下，其解为

$$H(\mathbf{x})=1+\sum _{i=1}^N\frac{1}{|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_i|}$$

这就是 1947 年发现的马朱姆达尔-帕帕佩特鲁解。它描述的是 N 个位于任意位置 ${\mathbf{x}}_i$ 的黑洞。

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来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

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