6.3 旋转黑洞

本节我们转向旋转黑洞(rotating black hole)。要描述宇宙中观测到的所有黑洞，这些正是恰当的解。

6.3.1 克尔解

旋转的物体具有旋转轴，这必然破坏旋转对称性。因此，旋转黑洞的解要比我们迄今讨论的球对称解复杂得多。

该解用所谓的博耶-林德奎斯特坐标 $(t,r,\theta ,\varphi )$ 写出，其形式为

$$d{s}^2=-\frac{\Delta }{{\rho }^2}{\left(dt-a{\sin }^2\theta d\varphi \right)}^2+\frac{{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}{\left[(r^2+a^2)d\varphi -adt\right]}^2+\frac{{\rho }^2}{\Delta }d{r}^2+{\rho }^{2}d{\theta }^2\text{\hspace{1em}(6.26)}$$

其中 $\Delta (r)$ 与 ${\rho }^2(r,\theta )$ 是如下函数

$$\Delta =r^2-2GMr+a^2\mathrm{and}{\rho }^2=r^2+a^2{\cos }^2\theta$$

这就是克尔解(Kerr solution)，它于 1963 年被写出。此外，给出一个能让我们直接读出 $g_{tt},{\text{ g }}_{t\varphi }$ 与 $g_{\varphi \varphi }$ 这些度规分量的度规表达式也是有用的，

$$\begin{array}{rl}& d{s}^2=-\left(1-\frac{2GMr}{{\rho }^2}\right)d{t}^2-\frac{4GMar{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}dtd\varphi +\frac{{\rho }^2}{\Delta }d{r}^2\\ & +\frac{{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}\left[(r^2+a^2{)}^2-\Delta a^2{\sin }^2\theta \right]d{\varphi }^2+{\rho }^{2}d{\theta }^2\end{array}\text{\hspace{1em}(6.27)}$$

在费力地做完一些代数运算之后，你就能使自己相信，克尔解具有如下相当不明显的性质

$$g_{t\varphi }^2-g_{tt}{g}_{\varphi \varphi }=\Delta {\sin }^2\theta \text{\hspace{1em}(6.28)}$$

下面我们将用到这一点。

克尔解依赖于两个参数：M 和 a。快速查看一下度规就能看出，a 具有长度的量纲。当 $a=0$ 时，克尔解退化为施瓦西解。

在远离黑洞处，$r\gg GM,a.$，度规退化为平直的闵可夫斯基空间，其中 $(t,r,\theta ,\varphi )$ 是通常的坐标，且 $\theta \in [0,\pi ]$、$\varphi \in [0,2\pi )$。

克尔度规有两个连续的等距变换，它们是

$$K=\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{and}L=\frac{\partial }{\partial \varphi }$$

我们可以对这两个矢量分别计算科马尔积分(Komar integral)，从而分别得到黑洞的质量与角动量。不出所料，质量正是 M。对旋转基灵向量 L 的科马尔积分给出角动量

$$J=aM$$

改变 a 的符号会改变自旋的方向。在下文中，不失一般性，我们取 $a>0$。

施瓦西解在离散对称性 $t\to -t$ 与 $\varphi \to -\varphi$ 下也是不变的。而克尔解只在组合 $(t,\varphi )\to$ $(-t,-\varphi )$ 下不变，这与旋转物体的情形相符。

黑洞的唯一性

有一系列定理，各自的假设略有不同，但可以概括为：任何不依赖于时间的、渐近平坦的黑洞解，都属于克尔族。换句话说，黑洞只由两个数刻画：质量 M 与角动量 J。（如果处在爱因斯坦-麦克斯韦理论中，这些定理还可以推广到允许电荷与磁荷的情形；我们将在6.3.4 节中简要讨论这一点。）

这些定理并不像伯克霍夫定理那样强。在伯克霍夫定理中，我们只需假设球对称性，就能得到施瓦西解。这就保证了施瓦西度规描述的是恒星外部的时空，即使这颗恒星正在发生球对称坍缩也是如此。

相比之下，这一组更广泛的定理明确用到了事件视界。这意味着克尔解未必能描述旋转恒星外部的时空，尽管它看起来很可能在远离恒星表面处是一个很好的近似。

尽管如此，这些定理告诉我们，引力坍缩的终点一般就是克尔黑洞。这相当令人意外。广义相对论是一种经典理论，可以由作用量原理导出。事实上，它最终被证明是一种哈密顿理论。而哈密顿系统的基本性质——比如刘维尔定理——表明，一般演化的终点不可能是相空间中的单个点。相反，那种行为才是我们预期从带有摩擦的非哈密顿系统中看到的。在许多方面，黑洞的行为都像带有摩擦的系统。当我们把量子力学也纳入进来时，这类问题会变得更加尖锐，在那里它们以信息悖论的形式重新出现。

6.3.2 整体结构

当 $\Delta :=:0$ 时，度规的 $g_{rr}$ 分量发散。根据我们此前对史瓦西黑洞和赖斯纳-努德斯特伦黑洞的经验，可以推测这些是坐标奇点，而事实也确实如此。我们把 $\Delta$ 的根写作

$$\Delta =(r-r_{+})(r-r_{-})$$

其中

$$r_{\pm }=GM\pm \sqrt{G^2{M}^2-a^2}$$

这与赖斯纳-努德斯特伦黑洞具有相同的结构，因此我们可以直接借用那里的一些结论。特别地，如果黑洞自旋过快，即 $a>GM$，那么克尔解就会出现裸奇点，因而是不允许的。自旋最快的黑洞满足 $a=GM$，相应地 $J=(GM{)}^2$。这就是极端克尔黑洞(extremal Kerr black hole)。更一般地，自旋的允许取值为 $a/GM\le 1$

为了说明 $r=r_{\pm }$ 是坐标奇点，我们可以采用类似于爱丁顿-芬克尔斯坦技巧的做法。不过这一次情况要稍微棘手一些。我们引入克尔坐标 $(v,r,\theta ,\chi )$，其中 $v=t+r_{\star }$，而 $r_{\star }$ 与 $\chi$ 由下式定义

$$d{r}_{\star }=\frac{r^2+a^2}{\Delta }dr\mathrm{and}d\chi =d\varphi +\frac{a}{\Delta }dr\text{\hspace{1em}(6.29)}$$

其思路仍然是：这些坐标与入射的零测地线相适应。不过，此时已不存在径向测地线：它们会被黑洞的旋转所扭曲。因此，这些测地线并不位于恒定的 $\varphi$ 上，而是位于恒定的 $\chi .$ 上。为看出这一点，我们在 (6.26) 中把 t 和 $\varphi$ 换成 $v$ 和 $\chi$，得到

$$d{s}^2=-\frac{\Delta }{{\rho }^2}{\left[dv-a{\sin }^2\theta d\chi \right]}^2+\frac{{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}{\left[adv-(r^2+a^2)d\chi \right]}^2+(dv-a{\sin }^2\theta d\chi )dr+{\rho }^{2}d{\theta }^2$$

首先注意，零测地线如所承诺的那样满足 $dv=d\chi =d\theta =0$（因为这保证了 $d{s}^2=0.)$）。其次，与爱丁顿-芬克尔斯坦坐标的情形一样，分母中不再出现 $\Delta$ 因子。这保证了我们现在可以把 r 坐标一直延伸到 $r>0$ 而不遇到任何奇点。由此可知，原克尔度规 (6.26) 中的 $r=r_{\pm }$ 确实如前面所说的是坐标奇点。

为了建立完整的因果结构，我们需要类克鲁斯卡尔坐标，它们类似于我们为赖斯纳-努德斯特伦黑洞引入的 $U_{\pm }$ 和 $V_{\pm }$ 坐标 (6.23)。现在的步骤与那时相同。$U_{+}$ 和 $V_{+}$ 坐标使我们能够把时空延拓到位于 $r_{+}$ 的外视界之外，一直延伸到位于 $r_{-}$ 的内视界。然后我们需要改用 $U_{-}$ 和 $V_{-}$ 坐标，才能到达奇点。此后这一过程又重复下去。所得的彭罗斯图同样无限重复，如图 44 所示。

奇点

克尔解的全局结构与赖斯纳-努德斯特伦解有多处不同，其中之一便是奇点。克尔度规的 $g_{tt}$ 分量在

$${\rho }^2=0\Rightarrow r=0\text{ and }\theta =\frac{\pi }{2}$$

根据我们对施瓦西黑洞和赖斯纳-努德斯特伦黑洞的经验，我们也许会以为这是一个真正的曲率奇点。对克雷奇曼标量的分析证实了这一点。

图 44. 克尔黑洞的彭罗斯图。

然而，在前面的情形中，奇点出现在 $r=0$ 处。那时无需再指定 ${\mathbf{S}}^2$ 上的角坐标，因为 ${\mathbf{S}}^2$ 在 $r=0$ 处就像在平直空间的原点处一样退化了。与此相反，克尔解中的奇点只在 $\theta =\pi /2$ 时才出现。为了更好地理解这一点，我们可以考察 $r=0$ 处（t 取常数）的克尔度规 (6.26)，它是

$$d{s}^2=a^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2+a^2{\cos }^2\theta d{\theta }^2$$

我们看到，${\mathbf{S}}^2$ 在该点并未退化，但它也不具有圆度规。这是意料之中的，因为克尔解并不具有旋转对称性。限制到 $\theta =\pi /2$ 就把我们放到了“赤道”上：这是一个半径为 a 的环，由 $\varphi \in [0,2\pi )$ 参数化。于是我们得知，克尔黑洞的奇点具有环状结构！如彭罗斯图所示，该奇点仍是类时的。

严格说来，彭罗斯图只能为具有旋转不变性的时空绘制，因为我们把 ${\mathbf{S}}^2$ 略去了。对于克尔解，我们采取折中的做法，把奇点画成图 44 中那条锯齿状的折线，以反映这样一个事实：奇点只在 $\theta =\pi /2$ 时出现，而在 ${\mathbf{S}}^2$ 上的其他角度处并不出现。

闭合类时曲线

在赖斯纳-努德斯特伦黑洞中，时空终止于类时奇点处。但由于对克尔解而言 ${\mathbf{S}}^2$ 并不退化，时空会越过奇点继续延伸（即延伸到图 44 中所示类时奇点的左右两侧）。

沿类时测地线运动的观测者若在 $\theta \ne \pi /2$ 处穿过 $r=0$，便可进入这一区域。这对应于 (6.26) 的原始坐标中的 $r<0$。

这个新区域有一个奇特的性质：它相当于一台时间机器！为看清这一点，考虑一条位于常数 t、r 以及 $\theta =\pi /2$ 处的曲线。换言之，这条曲线以 $\varphi .$ 为参数。由 (6.26) 可知，该曲线上的度规张量为

$$d{s}^2=\left(-\frac{a^2\Delta }{r^2}+\frac{(r^2+a^2{)}^2}{r^2}\right)d{\varphi }^2=\left(r^2+a^2+\frac{2GM{a}^2}{r}\right)d{\varphi }^2$$

当 $r<0$ 且取值足够小时，括号中的这一项为负。这意味着 $\varphi$ 在奇点附近是一个类时方向。但 $\varphi$ 是一个周期坐标，其中 $\varphi$ 与 $\varphi +2\pi$ 被等同起来。这意味着，如果你沿这条曲线移动，就会回到出发时所处的同一个时刻。这就是一条闭合类时曲线(closed timelike curve)。

把一台时间机器藏在黑洞里，并不能让你在“海底魔法舞会”上弹奏《约翰尼·B·古德》。尽管如此，“时间机器会从物理定律中产生”这一想法仍然十分诱人。遗憾的是，克尔黑洞内部的时间机器极可能是不物理的：它藏在柯西视界之后，而正如我们此前讨论过的，这类视界对一般的微扰是不稳定的。

闭合类时曲线并不罕见，在爱因斯坦方程的若干其他解中也会出现。然而，与裸奇点一样，人们普遍相信它们不应由任何合理的初始条件形成，这一信念被称为时序保护猜想(chronology protection conjecture)。

6.3.3 能层

在视界之外的克尔黑洞还有某些特别之处。为看清这一点，考虑基灵向量

$$K=\frac{\partial }{\partial t}$$

在远离黑洞处，它是一个类时基灵向量。事实上，在渐近区域，当 $r\to \infty$ 时，K 生成的是相对于黑洞静止的观测者的测地线。当我们向黑洞靠近、r 取有限值时，$K$ 的积分曲线不再是测地线，因为它们位于常数 $r$（以及常数 $\theta$ 和 $\varphi )$）处，不过我们总可以让火箭飞船的推进器点火，从而沿着这些曲线运动。然而，到了某一点，这一点就不再成立了。

图 45. 克尔黑洞外部的能层。

为看清这一点，我们来看 $K$ 的范数，

$$g_{\mu \nu }{K}^{\mu }{K}^{\nu }=g_{tt}=-\frac{1}{{\rho }^2}\left(r^2-2GMr+a^2{\cos }^2\theta \right)$$

对大 r 而言，它是负的，因而 K 是类时的。然而，当下式成立时，它变为类光的（译注：原书下式左端最后一项印作减号，按上一式应为加号，右端的解也与加号一致）：

$$r^2-2GMr-a^2{\cos }^2\theta =0\Rightarrow r=GM\pm \sqrt{G^2{M}^2-a^2{\cos }^2\theta }\text{\hspace{1em}(6.30)}$$

我们应把它与位于 $r_{\pm }=GM\pm \sqrt{G^2{M}^2-a^2}$ 的视界作比较。(6.30) 中较小的根位于视界之内，而较大的根位于视界之外，只有在极点 $\theta =0,\pi$ 处才与视界相接触。由此可知，K 在视界之外的某个区域中变为类空的，

$$GM+\sqrt{G^2{M}^2-a^2}<r<GM+\sqrt{G^2{M}^2-a^2{\cos }^2\theta }$$

这一区域称为能层(ergoregion)，其示意图见图 45。能层的外边界称为能层表面(ergosurface)。

在能层内部，观测者无法沿着 K 的积分曲线运动，因为这些曲线已不再是类时的。这意味着，无论你把火箭推进器开得多猛，都无法停留在固定的 $r,\theta$ 和 $\varphi .$ 处。为了弄清究竟发生了什么，让我们再来看一看克尔度规

$$d{s}^2=-\frac{\Delta }{{\rho }^2}{\left(dt-a{\sin }^2\theta d\varphi \right)}^2+\frac{{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}{\left[(r^2+a^2)d\varphi -adt\right]}^2+\frac{{\rho }^2}{\Delta }d{r}^2+{\rho }^{2}d{\theta }^2$$

我们想找一条满足 $d{s}^2<0$ 的类时曲线。沿 r 方向和 θ 方向运动都无济于事，因为 $g_{rr}$ 和 $g_{\theta \theta }$ 都是正的。事实上，唯一的负项来自 $g_{t\varphi }$。这意味着，能层中的任何类时轨迹都必然需要沿 $\varphi .$ 方向运动。

这是参考系拖曳的一个例子，只不过是一种极端的例子。在能层中，观测者必然会被黑洞的旋转带着一起转动。如果他们愿意，仍然可以逃脱黑洞的魔爪，因为他们尚未越过外视界；但只要他们还留在能层中，他们就会相对于渐近观测者转动。

彭罗斯过程

彭罗斯提出的一个巧妙想法使我们能够从旋转黑洞中提取能量。为说明其动机，我们再次考虑基灵向量 $K={\partial }_t$。正如我们在4.3.2 节中所解释的，我们可以用 K 为任何具有四维动量 $P^{\mu }$ 的观测者指定一个能量

$$E=-K_{\mu }{P}^{\mu }$$

四维动量必然是类时的。如果 K 也是类时的，那么上述定义中的负号就保证了 E 为正。这是因为两个类时向量的内积总是负的。然而，在能层中 K 是类空的，因此能量有可能为负。

于是，从黑洞中提取能量的机制如下。我们让一个物体沿测地线飞入，其四维动量为 $P^{\mu }$。由于它沿测地线运动，能量 $E=-K\cdot P$ 守恒，因此即使该物体进入能层，能量仍保持为正。

一旦进入能层，我们就安排该物体分裂为两个。（用粒子物理的语言来说，你可以想象一个粒子发生衰变，尽管事先安排好这一过程的细节要困难得多。）能量与动量守恒要求

$$P=P_1+P_2$$

相应地，也有

$$E=E_1+E_2$$

但在能层内部，可以这样安排，使得 $E_1<0$。显然，此时必须有 $E_2>0$。此后，这两个较小的物体各自沿自己的测地线运动。由于 $E_1<0$，第一个粒子不可能逃出能层；通常它反而会落入黑洞。然而，对具有 $E_2$ 的第二个粒子则没有这种限制，可以这样安排，使它逃出黑洞并回到渐近区域，此时 $E_2>E$。换句话说，该物体返回时携带的能量比出发时更多。

从黑洞中提取能量意味着它的质量减少。（上述计算是在固定背景下进行的，并未计入这种反作用。）如果质量减少得足够多，你也许会想，能否违反极端性界限而得到 $J>G{M}^2$，从而暴露出一个裸奇点。幸运的是，这不会发生：质量的减少必然伴随着角动量的相应减少。

为看清这一点，考虑基灵向量的组合

$$\xi =K+\Omega L=\frac{\partial }{\partial t}+\Omega \frac{\partial }{\partial \varphi }\text{\hspace{1em}(6.31)}$$

对任意常数 $\Omega .$，这也是一个基灵向量。我们知道，在视界 $r=r_{+}$ 上，K 大体上是类空的。（例外出现在 $\theta =0,\pi$ 处，那里视界与能层表面相交，因此 K 是零的。）角动量矢量 $L$ 在视界上也是类空的。然而，存在一种特殊的 $\Omega$ 选取，使得 $\xi$ 在视界上处处为类光。

为看清这一点，注意 $\xi$ 的范数为

$${\xi }^2=g_{tt}+2\Omega g_{t\varphi }+{\Omega }^2{g}_{\varphi \varphi }$$

我们可以通过取下面的 Ω，使 ${\xi }^2=0$ 在一般的 r 和 θ 处成立：

$$\Omega (r,\theta )=\frac{-g_{t\varphi }\pm \sqrt{g_{t\varphi }^2-g_{tt}{g}_{\varphi \varphi }}}{g_{\varphi \varphi }}$$

若限制在视界上，则 $r=r_{+}$，于是 $\Delta =0$，而恒等式 (6.28) 告诉我们 $g_{t\varphi }^2=g_{tt}{g}_{\varphi \varphi }$，从而得到 $\Omega =-g_{t\varphi }/g_{\varphi \varphi }$。再稍看一下度规 (6.27) 就会发现，对 $\theta$ 的依赖消失了，只剩下常数

$$\Omega =\frac{a}{r_{+}^2+a^2}$$

取这样的 $\Omega ,$ 之后，基灵向量 $\xi$ 在视界上生成零测地线。此时参考系拖曳意味着这些测地线必然沿 $\varphi$ 方向转动。我们把 $\Omega$ 解释为黑洞的角速度。

我们可以利用 $\xi$ 对彭罗斯过程所能提取的能量大小施加限制。基灵向量 $\xi$ 是指向未来的，这意味着对任意四维动量 $P_{-}$

$${\xi }_{\mu }{P}^{\mu }\le 0\Rightarrow -E+\Omega j\le 0$$

其中 $j=L_{\mu }{P}^{\mu }$ 是粒子的角动量。把它应用于落入黑洞的、具有 $E_1<0$ 的粒子，就得到

$$E_1\ge \Omega j_1\text{\hspace{1em}(6.32)}$$

从这个意义上说，我们必然从黑洞中提取到比能量更多的角动量。要看出这一限制确实禁止形成超极端黑洞，考虑下面这个组合

$$A=8\pi \left[G^2{M}^2+G\sqrt{G^2{M}^4-J^2}\right]=8\pi GM\left[GM+\sqrt{G^2{M}^2-a^2}\right]$$

如果黑洞既损失质量 δM，又损失角动量 $\delta J$，那么量 A 的变化为

$$\frac{\delta A}{16\pi }=G^{2}M\delta M+\frac{G^3{M}^3\delta M-\frac{1}{2}GJ\delta J}{\sqrt{G^2{M}^4-J^2}}=\frac{GJ}{2\sqrt{G^2{M}^4-J^2}}\left[\frac{\delta M}{\Omega }-\delta J\right]$$

其中第二个等号处我们用了表达式 $r_{+}=GM+\sqrt{G^2{M}^2-a^2}$，它意味着 $r_{+}^2+a^2=2GM(GM+\sqrt{G^2{M}^2-a^2})$。再经过几行代数运算便得到该结果。

粒子越过事件视界向里坠落，会使黑洞的质量 $\delta M=E_1$ 减小，并使角动量 $\delta J=j_1$ 发生改变。不等式 (6.32) 告诉我们 $\delta M\ge \Omega \delta J$，于是

$$\delta A\ge 0$$

换言之，A 是一个在彭罗斯过程中单调增大的量。特别地，这就保证了不可能通过彭罗斯过程，把一个亚极端克尔黑洞变成一个带有裸奇点的超极端黑洞。

面积定理的端倪

量 A 具有相当特殊的几何意义：它就是黑洞事件视界的面积

$$A={\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^{2\pi }d\varphi {\sqrt{g_{\theta \theta }{g}_{\varphi \varphi }}|}_{r=r_{+}}=4\pi (r_{+}^2+a^2)=8\pi \left[G^2{M}^2+G\sqrt{G^2{M}^4-J^2}\right]$$

其中积分是在 $r=r_{+}$ 处计算的，这意味着 $\Delta =0$。上面的分析表明，黑洞的面积总是增大的。

这是一个深刻得多的定理的雏形，该定理由霍金证明，它指出黑洞的面积在一切物理过程中都会增大。事实上，这背后有一个深刻的原因：通过著名的贝肯斯坦-霍金公式，黑洞的面积具有熵的解释

$$S_{BH}=\frac{c^{3}A}{4G\hslash }$$

于是，面积必然增大这一事实便成为广义热力学第二定律的一部分。

超辐射

彭罗斯过程有一个更成熟的版本：在这种版本中，场被克尔黑洞散射后会以被放大的形式返回。这一效应称为超辐射(superradiance)。

这里我们以无质量标量场 Φ 为例概述这一现象。其能动张量为 (4.51)

$$T_{\mu \nu }={\nabla }_{\mu }\Phi {\nabla }_{\nu }\Phi -\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }{\nabla }^{\rho }\Phi {\nabla }_{\rho }\Phi$$

由4.5.5 节可知，将 $T^{\mu \nu }$ 与适当的基灵向量缩并便可构造出一个守恒流。特别地，我们可以用 $K={\partial }_t$ 与之缩并来度量能量，从而得到流

$$J^{\nu }=-K_{\mu }{T}^{\mu \nu }=-(K^{\mu }{\nabla }_{\mu }\Phi ){\nabla }^{\nu }\Phi +\frac{1}{2}({\nabla }^{\rho }\Phi {\nabla }_{\rho }\Phi )K^{\nu }$$

它满足 ${\nabla }_{\mu }{J}^{\mu }=0$

现在我们重复4.5.5 节中见过的那类计算。黑洞外部某个空间超曲面上场中的能量为

$$E(\Sigma )={\int }_{\Sigma }{d}^{3}x\sqrt{\gamma }{n}_{\mu }{J}^{\mu }$$

其中 ${\gamma }_{ij}$ 是度规到 $\Sigma .$ 上的拉回，$n^{\mu }$ 是未来指向的法向量。现在我们把 ${\nabla }_{\mu }{J}^{\mu }$ 在图 46 中的阴影区域上积分。假设在空间无穷远 $i^0$ 处 $\nabla \Phi =0$，则有

$$0={\int }_V{d}^{4}x\sqrt{-g}{\nabla }_{\mu }{J}^{\mu }={\int }_{{\Sigma }_2}{d}^{3}x\sqrt{{\gamma }_2}{n}_{\mu }^2{J}^{\mu }-{\int }_{{\Sigma }_1}{d}^{3}x\sqrt{{\gamma }_1}{n}_{\mu }^1{J}^{\mu }+{\int }_{\mathcal{N}}{d}^3{S}_{\mu }{J}^{\mu }$$

其中 $\mathcal{N}$ 是视界的相应部分。整理后得到

$$E({\Sigma }_2)-E({\Sigma }_1)=-\int d^{2}Adv{\xi }_{\mu }{J}^{\mu }$$

其中 v 是零克尔坐标，$\xi$ 是沿视界的零基灵向量(6.31)，而 $d^{2}A$ 是视界的空间截面。

图 46. 在黑洞外部的空间区域上积分。

于是，黑洞每单位零时间所吸收的功率为

$$\mathcal{P}=-\int d^{2}A{\xi }_{\mu }{J}^{\mu }$$

其中

$${\xi }_{\mu }{J}^{\mu }=-(K^{\mu }{\nabla }_{\mu }\Phi )({\xi }^{\nu }{\nabla }_{\nu }\Phi )+\frac{1}{2}({\nabla }^{\rho }\Phi {\nabla }_{\rho }\Phi )({\xi }_{\mu }{K}^{\mu })$$

最后一项为零，因为在视界上取值时 $\xi \cdot K=0$。为看出这一点，我们计算

$${\xi }_{\mu }{K}^{\mu }=g_{tt}+\Omega g_{t\varphi }\Rightarrow {{\xi }_{\mu }{K}^{\mu }|}_{r_{+}}={\left(g_{tt}-\frac{g_{t\varphi }^2}{g_{\varphi \varphi }}\right)}_{r=r_{+}}$$

但在视界上取值时，由于 $\Delta =0$，恒等式 (6.28) 告诉我们 $g_{t\varphi }^2=g_{tt}{g}_{\varphi \varphi }$，从而 ${\xi }_{\mu }{K}^{\mu }=0$。这意味着我们可以把功率写成

$$\mathcal{P}=\int d^{2}A(K^{\mu }{\nabla }_{\mu }\Phi )({\xi }^{\nu }{\nabla }_{\nu }\Phi )=\int d^{2}A\frac{\partial \Phi }{\partial v}\left(\frac{\partial \Phi }{\partial v}+\Omega \frac{\partial \Phi }{\partial \chi }\right)$$

我们可以把标量场按角动量模式展开。用(6.29)中的克尔坐标表示，

$$\Phi ={\Phi }_0(r,\theta )\cos (\omega v+\nu \chi )$$

我们取频率为正：$\omega >0$。$\chi$的周期性要求角动量是量子化的，即 $\nu \in \mathbf{Z}$。黑洞吸收的时间平均功率为

$$\bar{\mathcal{P}}=\frac{1}{2}\left[\int d^{2}A{\Phi }_0^2(r_{+},\theta )\right]\omega (\omega -\Omega \nu )$$

对于高频波，这一功率总是正的，这表明黑洞如预期那样吸收能量。然而，当频率与入射波的角动量相比很小时，

$$\omega <\Omega \nu$$

所吸收的功率为负。这就是彭罗斯过程的场论版本。

6.3.4 无毛定理

唯一性定理告诉我们，克尔度规是真空爱因斯坦方程最一般的黑洞解。但如果我们往作用量中加入其他场，情况又会怎样呢？

我们在6.2 节中已经看到，在作用量中加入麦克斯韦场会带来一种新的可能性：一个带电荷或磁荷的黑洞解。还存在一个描述同时带电荷与转动的黑洞的推广。这个由赖斯纳-努德斯特伦解与克尔解合并而成的解，其度规为

$$\begin{array}{rl}& d{s}^2=-\left(1-\frac{2GMr}{{\rho }^2}+\frac{e^2}{{\rho }^2}\right)d{t}^2-\frac{2a{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}\left[2GMr-e^2\right]dtd\varphi +\frac{{\rho }^2}{\Delta }d{r}^2\\ & +\frac{{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}\left[(r^2+a^2{)}^2-\Delta a^2{\sin }^2\theta \right]d{\varphi }^2+{\rho }^{2}d{\theta }^2\end{array}$$

其中$\Delta (r)$与${\rho }^2(r,\theta )$现在取如下形式

$$\Delta =r^2-2GMr+a^2+e^2$$

$${\rho }^2=r^2+a^2{\cos }^2\theta$$

$$e^2=\frac{G}{4\pi }\sqrt{Q_e^2+Q_m^2}$$

与此同时，规范场由下式给出

$$A=-\frac{Q_{e}r}{4\pi {\rho }^2}(dt-a{\sin }^2\theta d\varphi )-\frac{Q_m\cos \theta }{4\pi {\rho }^2}(adt-(r^2+a^2)d\varphi )$$

这就是克尔-纽曼解(Kerr-Newman solution)。

这是爱因斯坦-麦克斯韦方程最一般的黑洞解：黑洞由质量 M、角动量 J 以及电荷 $Q_e$ 与磁荷 $Q_m$ 来刻画。注意，这些都是经典系统中我们熟悉的守恒量。

那么其他场又如何呢？结果表明，在黑洞存在的情况下，它们不能取其他不随时间变化的分布。这被称为无毛定理(no hair theorem)。（它是关于渐近平坦时空中黑洞的论断；对于 AdS 中的黑洞，情况则不同。）

这里我们针对一个自由的有质量标量场 Φ 概述无毛定理。我们要寻找不随时间变化的解，这意味着

$$K^{\mu }{\nabla }_{\mu }\Phi =0\text{\hspace{1em}(6.33)}$$

其中 $K^{\mu }$ 是一个在视界之外为类时的基灵向量。（在通常的坐标下它就是 $K={\partial }_t$。）标量场的作用量为

$$\begin{array}{rl}& S_{\mathrm{scalar}}=\int d^{4}x\sqrt{-g}\frac{1}{2}\left(-g^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }\Phi {\nabla }_{\nu }\Phi -m^2{\Phi }^2\right)\\ & =\int d^{4}x\sqrt{-g}\frac{1}{2}\left(-g^{tt}{\partial }_t\Phi {\partial }_t\Phi -2g^{ti}{\partial }_t\Phi {\partial }_i\Phi -g^{ij}{\partial }_i\Phi {\partial }_j\Phi -m^2{\Phi }^2\right)\end{array}$$

我们是在一个混合号差度规下工作的，这意味着梯度项会带有正负混合的符号。不过，限制到不随时间变化的位形(6.33)，就意味着时间导数消失，从而$g^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }\Phi {\nabla }_{\nu }\Phi \ge 0$。特别地，这意味着作用量是两个非正项之和。

这种情况下无毛定理的证明与我们对超辐射的论证方式类似。我们在黑洞之外的一个时空区域 V 上积分，如图 46 所示。该区域由两个空间超曲面${\Sigma }_1$与${\Sigma }_2$（其法向为$n^{\mu }\sim K^{\mu }$）、视界以及一个渐近区域所围成。分部积分可得

$$S_{\mathrm{scalar}}={\int }_V{d}^{4}x\sqrt{-g}\frac{1}{2}\Phi \left(+g^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }\Phi -m^2\Phi \right)-{\int }_{\partial V}{d}^{3}x\sqrt{-\gamma }{n}^{\mu }\Phi {\nabla }_{\mu }\Phi$$

第一项即体项，对任何满足运动方程的 Φ 都为零。剩下的就是第二项，即边界项。由(6.33)，它在两个空间超曲面上为零。它在视界上同样为零，原因也相同，因为视界的法向就是类时的基灵向量$K^{\mu }$。这样就只剩下渐近区域。对于渐近平坦时空，不难证明当$r\to \infty$时$\Phi \sim 1/r$，这一衰减足够快，从而保证无穷远处没有贡献。

这一论证的结论是：在不随时间变化的解上求值时，只要在黑洞时空的任意区域 V 上积分，就有 $S_{\mathrm{scalar}}=0$。此外，$S_{\mathrm{scalar}}$ 是两个非正项之和，因此这两项必须各自为零。当 $m\ne 0$ 时，有 $m^2{\Phi }^2=0$，所以唯一的解是平凡解 $\Phi =0$。（当 $m^2=0$ 时，有 ${\partial }_i\Phi =0$，因此 $\Phi =$ 任意常数都是允许的。）这就是无毛定理：在黑洞存在的情况下，场 $\Phi$ 无法形成静态分布。

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