6.1 施瓦西解

我们在1.3 节中已经遇到过最简单的黑洞解：这就是施瓦西解(Schwarzschild solution)，其度规张量为

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2GM}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

不难证明它满足真空爱因斯坦方程 $R_{\mu \nu }=0$。事实上，这些计算可以在4.2 节中找到，那里我们第一次遇到了德西特时空。施瓦西解是更一般的度规(4.9)的一个特例，其中 $f(r{)}^2=$ $1-2GM/r$，并且很容易验证它满足爱因斯坦方程，而正如我们已经看到的，该方程归结为简单的微分方程式 (4.10)和(4.11)。

M 代表质量

施瓦西解只依赖于一个参数 M，这个参数应当被理解为黑洞的质量。这一解释其实已经可以从它与牛顿引力的关系中看出，我们早在1.2 节中就讨论过这一关系，当时我们预期度规的 $g_{00}$ 分量应当是 (1.26)

$$g_{00}=-(1+2\Phi )$$

其中 Φ 是牛顿势。我们在5.1.2 节中讨论牛顿极限时，把这一直觉表述得更加精确。对于施瓦西度规，显然有

$$\Phi =-\frac{GM}{r}$$

这确实就是位于原点的点质量 M 所产生的牛顿势。

黑洞还提供了一个机会，来检验4.3.3 节中发展起来的科马尔积分技术。施瓦西时空允许一个类时基灵向量 $K={\partial }_t$。于是对偶的1-形式为

$$K=g_{00}dt=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dt$$

按照4.3.3 节中描述的步骤，我们便可以构造出2-形式

$$F=dK=-\frac{2GM}{r^2}dr\wedge dt$$

它的形式与电场相似，具有特征性的 $1/r^2$ 衰减。科马尔积分告诉我们，通过积分来计算质量

$$M_{\mathrm{Komar}}=-\frac{1}{8\pi G}{\int }_{{\mathbf{S}}^2}\star F$$

其中 ${\mathbf{S}}^2$ 是半径大于视界 $r=2GM$ 的任意一个球面。取哪个半径都无所谓，它们给出的答案完全相同，就像在电磁学中，电荷分布之外的任何高斯面都给出相同的答案一样。由于半径为 r 的球面面积为 $4\pi r^2.$，该积分给出

$$M_{\mathrm{Komar}}=M$$

对施瓦西黑洞而言。

科马尔质量积分有一点令人费解。如4.3.3 节所示，$F=dK$ 这个2-形式满足与麦克斯韦方程非常相似的方程，即 $d\star F=0$。但这是没有电流存在时的真空麦克斯韦方程，因此我们本以为任何“电荷”都应当为零。然而这个“电荷”恰恰就是质量 $M_{\mathrm{Komar}}$，而我们已经看到，它显然不为零。原因在于，对黑洞来说，质量全部局域在原点 $r=0$ 处，而正是在那里场强 F 发散。

我们也许会以为，施瓦西解只有在 $M\ge 0$ 时才描述某种物理上合理的东西。（$M=0$ 的施瓦西解不过是闵可夫斯基空间。）然而，度规张量 (6.1) 对一切 M 值都是爱因斯坦方程的解。随着讨论的深入，我们将会看到，$M<0$ 的解确实具有一些相当古怪、使其不具物理意义的特征。

6.1.1 伯克霍夫定理

事实证明，施瓦西解(6.1)是真空爱因斯坦方程唯一的球对称、渐近平直解。这被称为伯克霍夫定理(Birkhoff theorem)。特别地，这意味着施瓦西解所描述的并不只是一个黑洞，它还描述了任何不旋转的球对称物体（例如恒星）外部的时空。

下面我们给出证明的一个梗概。证明的前一半是建立一套有用的坐标。首先，我们利用度规具有球对称性这一事实，也就是说，它具有一个 $SO(3)$ 等距变换。证明中比较繁琐的部分之一，是要说明任何具有这种等距变换的度规都可以写成使该等距变换显而易见的坐标形式，

$$d{s}^2=g_{\tau \tau }(\tau ,\rho )d{\tau }^2+2g_{\tau \rho }(\tau ,\rho )d\tau d\rho +g_{\rho \rho }(\tau ,\rho )d{\rho }^2+r^2(\tau ,\rho )d{\Omega }_2^2$$

这里 $\tau$ 和 $\rho$ 是某两个坐标，而 $d{\Omega }_2^2$ 是 ${\mathbf{S}}^2$ 上熟悉的度规。

$$d{\Omega }_2^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$$

于是 $SO(3)$ 等距变换以通常的方式作用在这个 ${\mathbf{S}}^2$ 上，而不改变 $\tau$ 和 $\rho$。这被称为用球面 ${\mathbf{S}}^2$ 对空间作叶状结构。

球面的大小由上述度规中的函数 $r(\tau ,\rho )$ 决定。证明的下一步是变换坐标，使我们用 $\tau$ 和 $r,$ 而不是 $\tau$ 和 $\rho .$ 来工作。于是我们得到度规

$$d{s}^2=g_{\tau \tau }(\tau ,r)d{\tau }^2+2g_{\tau r}(\tau ,r)d\tau dr+g_{rr}(\tau ,r)d{r}^2+r^{2}d{\Omega }_2^2$$

事实上，上面的论证中有一个微妙之处：对某些函数 $r(\tau ,\rho )$ 而言，不可能把 $\rho$ 换成 $r.$。这类函数的例子包括 $r=$ 为常数以及 $r=\tau$。我们可以通过坚持要求时空在渐近意义下看起来像闵可夫斯基空间，来排除这类反例。

我们的下一步是引入一个新的坐标，以消去交叉项 $g_{\tau r}.$。为此，考虑坐标 $\tilde{t}(\tau ,r)$。于是

$$d{\tilde{t}}^2={\left(\frac{\partial \tilde{t}}{\partial \tau }\right)}^{2}d{\tau }^2+2\frac{\partial \tilde{t}}{\partial \tau }\frac{\partial \tilde{t}}{\partial r}d\tau dr+{\left(\frac{\partial \tilde{t}}{\partial r}\right)}^{2}d{r}^2$$

我们总能选取 $\tilde{t}(\tau ,r)$，使得在新坐标下交叉项 $g_{\tau r}$ 消失。于是我们得到形式更简单的度规，

$$d{s}^2=-f(\tilde{t},r)d{\tilde{t}}^2+g(\tilde{t},r)d{r}^2+r^{2}d{\Omega }_2^2$$

这里我们已经在度规张量的时间部分中写入了预期的负号，以反映我们所选的号差。在选取有用的坐标方面，我们能做的到此为止。要继续下去，就必须使用爱因斯坦方程。一如既往，这意味着坐下来做一番繁琐的计算。这里我们只给出（多少有些出人意料的）结论：真空爱因斯坦方程要求

$$f(r,\tilde{t})=f(r)h(\tilde{t})\mathrm{and}g(r,\tilde{t})=g(r)$$

换言之，度规张量取如下形式

$$d{s}^2=-f(r)h(\tilde{t})d{\tilde{t}}^2+g(r)d{r}^2+r^{2}d{\Omega }_2^2$$

但我们总可以通过重新定义时间坐标把 $h(\tilde{t})$ 这个因子吸收掉，使得 $h(\tilde{t})d{\tilde{t}}^2=d{t}^2$。最终，我们得到如下形式的度规张量

$$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+g(r)d{r}^2+r^{2}d{\Omega }_2^2\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

这一点很重要。我们只假设了度规张量是球对称的，并没有假设它不依赖于时间。然而爱因斯坦方程却把这一点强加给了我们，最终得到的度规张量 (6.2) 有两组基灵向量。第一组来自我们最初假设的 SO(3) 等距变换，第二组则是计算中浮现出来的类时基灵向量(timelike Killing vector) $K={\partial }_t$。

现在我们需要把爱因斯坦方程解完。结果表明，这些方程要求 $f(r)=g(r{)}^{-1}$，于是度规张量 (6.2) 就化为我们先前考虑过的那个简单拟设 (4.9)。施瓦西解 (6.1) 是宇宙学常数为零时爱因斯坦方程最一般的解。

我们只假设了球对称性，而没有假设时间无关性，这意味着施瓦西解不仅描述一个与时间无关的恒星外部的时空，而且只要坍缩是球对称的，它也描述一颗坍缩恒星外部的时空。

细看时间无关性

在广义相对论中，“时间无关性”其实有两种不同的含义。

若一个时空容许一个处处类时的基灵向量场 K，就称它是定常的(stationary)。在渐近平坦的时空中，我们通常对它作归一化，使得渐近地有 $K^2\to -1$。

若一个时空是定常的，并且此外还在 $t\to -t.$ 下不变，其中 t 是沿 K 的积分曲线的坐标，就称它是静态的(static)。特别地，这就排除了度规张量中出现 dt dX 这样的交叉项，其中 X 是另一个坐标。

伯克霍夫定理告诉我们，球对称性蕴含时空必定是静态的。在6.3 节中，我们会遇到一些定常但非静态的时空。

6.1.2 初识视界

有两个 r 值会使施瓦西度规失效：$r=0$ 和 $r=2GM$。在这两个值处，度规的某个分量都会发散，但正如我们将看到的，这两种情形下这一发散的解读相当不同。我们会了解到，$r=0$ 处的发散是因为时空本身出了问题：这个点称为奇点(singularity)。当我们接近奇点时，广义相对论便不再适用；要理解那里发生的事，我们需要借助时空的量子理论。

相比之下，在 $r=2GM$ 这个面上并没有发生如此剧烈的事情，度规中的发散仅仅是因为我们选取了糟糕的坐标：这个面称为事件视界(event horizon)，通常简称为视界。黑洞的许多令人惊奇的性质，都蕴含在对事件视界的解读之中。

有一个简单的判据，可以判断度规中的发散究竟源于时空的真正奇点，还是源于糟糕的坐标选取。我们构造一个不依赖于坐标选取的标量。如果这个标量也发散，那就说明时空本身在该点确实出了问题。如果它不发散，我们也不能就此断定时空没有问题，因为可能还有别的标量显示出问题所在。尽管如此，我们或许可以开始猜想：也许并没有发生什么很糟糕的事情。

最简单的标量当然就是里奇标量。但对爱因斯坦方程的任意真空解，它必然有 $R=0$，因此无助于判断奇点的性质。$R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }$ 也是如此。正因如此，最简单的曲率判据是克雷奇曼标量(Kretschmann scalar)，即 $R^{\mu \nu \rho \sigma }{R}_{\mu \nu \rho \sigma }$。对施瓦西解，它由下式给出

$$R^{\mu \nu \rho \sigma }{R}_{\mu \nu \rho \sigma }=\frac{48G^2{M}^2}{r^6}\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

我们看到，克雷奇曼标量在曲面 $r=2GM$ 2 处（此处 $R^{\mu \nu \rho \sigma }{R}_{\mu \nu \rho \sigma }\sim 1/(GM{)}^4$）并没有表现出任何病态。这提示我们，度规中的这一发散也许并不像乍看起来那样令人担忧。此外还应注意，也许有违直觉的是，黑洞越重，其视界处的曲率反而越小。我们看到，这是因为这样的黑洞更大，$1/r^6$ 因子压过了 $M^2$ 因子。

与此相反，曲率在原点 $r=0$ 处确实发散，这说明时空在该点出了问题。当然，既然我们尚未理解 $r=2GM$ 处的视界，我们能否在 $r<2GM$ 的取值下信任施瓦西度规，就还不完全清楚。随着讨论的深入，我们将看到 $r=0$ 处的奇点是（经典）黑洞的一个真实特征。

近视界极限：林德勒空间

为了理解视界 $r=2GM$ 附近发生了什么，我们可以放大来看视界附近的度规。为此，我们令

$$r=2GM+\eta$$

其中取 $\eta \ll 2GM$。我们进一步取 $\eta >0$，这意味着我们考察的是视界外侧紧邻的那部分时空。于是我们把度规的各分量近似为

$$1-\frac{2GM}{r}\approx \frac{\eta }{2GM}\mathrm{and}{r}^2=(2GM+\eta {)}^2\approx (2GM{)}^2$$

在这一阶近似下，施瓦西度规变为

$$d{s}^2=-\frac{\eta }{2GM}d{t}^2+\frac{2GM}{\eta }d{\eta }^2+(2GM{)}^{2}d{\Omega }_2^2$$

我们首先看到的是，度规分解成了一个半径为 2GM 的 ${\mathbf{S}}^2$ 与一个 $d=1+1$ 维洛伦兹几何的直积。我们将集中讨论这个二维洛伦兹几何。作变量代换

$${\rho }^2=8GM\eta$$

此后二维度规变为

$$d{s}^2=-{\left(\frac{\rho }{4GM}\right)}^{2}d{t}^2+d{\rho }^2$$

这个相当简单的度规被称为林德勒空间(Rindler space)。事实上，它不过是乔装打扮的闵可夫斯基空间。这层伪装就是变换

$$T=\rho \sinh \left(\frac{t}{4GM}\right)\text{ and }X=\rho \cosh \left(\frac{t}{4GM}\right)\text{\hspace{1em}(6.4)}$$

经过该变换后，度规变为

$$d{s}^2=-d{T}^2+d{X}^2\text{\hspace{1em}(6.5)}$$

我们此前已经遇到过与坐标 (6.4) 非常相似的东西：它们是一个以恒定加速度 $a=1/4GM$ 运动的观测者所经历的坐标，其中 t 是这个观测者的固有时。（我们早先在 (1.25) 中见过这样的坐标，它与这里的坐标只相差空间变量 $\rho .)$ 上的一个常数平移。）这是合理的：一个停留在恒定 $\rho$ 值处（对应于恒定的 r 值）的观测者，必须加速才能避免落入黑洞。

图 31. 黑洞的近视界极限是林德勒时空，其中零线 $X=\pm T$ 对应于 $r=2GM$ 处的视界。图中还用红色标出了黑洞外部的一条恒定 $r>2GM$ 线。

现在我们可以开始弄清闵可夫斯基空间 (6.5) 的哪一部分对应于黑洞视界的外部。这一部分是 $\rho >0$ 且 $t\in (-\infty ,+\infty )$。由变量代换 (6.4) 可以看出，它对应于区域 $X>|T|$。

我们也可以看看视界本身会变成什么。视界位于 $r=2GM$，即 $\rho =0$。对于任何有限的 t，视界 $\rho =0$ 都被映射到闵可夫斯基空间的原点 $X=T=0$。然而，由于 $g_{00}=0$，时间坐标在视界处是退化的。如果我们令 $t\to \infty$、$\rho \to 0$，并保持组合 $\rho e^{\pm t/4GM}$ 不变，就会看到视界实际上对应于这些直线：

$$r=2GM\Rightarrow X=\pm T$$

这就是我们的第一个教训：黑洞的事件视界并不是像恒星表面那样的类时曲面，而是一个零曲面。图 31 描绘了这一点。

虽然我们的出发点局限于由 (6.4) 给出的坐标 X 和 T，但一旦得到闵可夫斯基空间的闵可夫斯基度规 (6.5)，就没有理由再保留这一限制。事实上，显然只要把坐标的取值范围延拓到 $X,T\in \mathbf{R}$，这个度规就完全说得通。而且，这个度规清楚地表明，在视界 $X=\pm |T|$ 处并没有发生任何蹊跷的事情。我们看到，如果把视界放大来看，它与时空的任何其他部分并无不同。尽管如此，随着讨论的深入我们将会了解到，视界确实具有一些相当特殊的性质，但只有从更为全局的视角来看，你才能看到它们。

6.1.3 爱丁顿–芬克尔斯坦坐标

上文我们看到，在近视界极限下，一个巧妙的变量代换使我们得以消除视界处的坐标奇点(coordinate singularity)，并把时空延拓到视界之外。本节的目标是玩同样的把戏，只不过这次针对的是完整的黑洞度规。

在继续之前，值得先谈谈这里的逻辑。我们在第 2 节初次接触微分几何时，曾大费周章地强调：单独一套坐标未必能覆盖整个流形；通常需要在不同的坐标片中使用不同的坐标，并辅以在坐标片重叠处联系两套坐标的过渡函数。黑洞的情形与此类似，但并不完全相同。诚然，施瓦西度规(6.1)的坐标并不能覆盖整个时空：它们在 $r=2GM$ 处失效，而且我们也说不清在 $r<2GM$ 时是否还应当相信这个度规。不过，我们并不打算在视界之外的区域另找一套新坐标、再设法把它与旧坐标拼接起来，而是要找到一套处处都适用的新坐标。

我们的第一步是引入一个新的径向坐标 $r_{\star },$，其定义为

$$d{r}_{\star }^2={\left(1-\frac{2GM}{r}\right)}^{-2}d{r}^2\text{\hspace{1em}(6.6)}$$

这个微分方程的解很容易求出，即

$$r_{\star }=r+2GM\log \left(\frac{r-2GM}{2GM}\right)\text{\hspace{1em}(6.7)}$$

我们看到，视界之外的区域 $2GM<r<\infty$ 在新坐标下映为 $-\infty <r_{\star }<+\infty$。当我们趋近视界时，随着 $r_{\star }$ 的变化，r 的改变越来越缓慢（因为 $dr/d{r}_{\star }\to 0\mathrm{as}r\to 2GM.)$）。正因如此，它被称为龟坐标(tortoise coordinate)。（它有时也被称为Regge-Wheeler 径向坐标(Regge-Wheeler radial coordinate)。）

龟坐标很适合用来描述沿径向传播的光线的路径。这类光线所遵循的曲线满足

$$d{s}^2=0\Rightarrow \frac{dr}{dt}=\pm \left(1-\frac{2GM}{r}\right)\Rightarrow \frac{d{r}_{\star }}{dt}=\pm 1$$

我们看到，零的径向测地线由下式给出

$$t\pm r_{\star }=\mathrm{constant}$$

其中正号对应于入射测地线（随着 t 增大，$r_{\star }$ 必须减小），负号则对应于出射测地线。

接下来，我们引入一对零坐标

$$v=t+r_{\star }\mathrm{and}u=t-r_{\star }$$

在下文中，我们将先考虑用坐标 $(v,r)$ 写出的施瓦西度规，然后考虑用坐标 $(u,r)$ 写出的形式，最后在6.1.4 节中考虑用坐标 $(u,v)$ 写出的形式。

入射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标

作为把施瓦西解延拓到视界之外的第一步，我们把 t 换成 $t=v-r_{\star }(r)$。于是有

$$dt=dv-d{r}_{\star }=dv-{\left(1-\frac{2GM}{r}\right)}^{-1}dr$$

将此代换代入施瓦西度规(6.1)，便得到新的度规

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)d{v}^2+2dvdr+r^{2}d{\Omega }_2^2\text{\hspace{1em}(6.8)}$$

这就是用入射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标(ingoing Eddington-Finkelstein coordinates)写出的施瓦西黑洞。我们看到，$d{r}^2$ 项现在已消失，因此在 $r=2GM$ 处度规中不再有奇点。然而，$d{v}^2$ 项在 $r=2GM$ 处为零，而且在 $r<2GM$ 时还会变号。你也许会担心，这意味着坐标在那里仍然失效，甚至意味着当我们穿过视界时度规的号差会发生改变。为了消除这种担心，我们只需计算度规行列式

$$\det (g)=\det \left(\begin{array}{cccc}-(1-\frac{2GM}{r})& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& r^2& 0\\ 0& 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right)=-r^4{\sin }^2\theta$$

我们看到，正是 dv dr 交叉项使度规在视界处不会变得退化，并且对一切 r 值都保持洛伦兹的号差。（度规在 $\theta =0,\pi$ 处仍然是退化的，但这只是 ${\mathbf{S}}^2$ 的极点，我们知道该如何处理。）

于是，这就是入射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标的优点：r 坐标可以越过视界继续延伸，一直延伸到位于 $r=0$ 的奇点。

原来的施瓦西度规(6.1)与时间无关。从数学上说，这源于该度规具有一个类时基灵向量$K={\partial }_t$这一事实。这个基灵向量在爱丁顿-芬克尔斯坦延拓中也存在，只是在那里它变成了$K:=:{\partial }_v$。新颖之处在于，这个基灵向量不再处处类时：在视界之外，当 $g_{vv}<0$ 时它仍是类时的；而在视界之内，当 $g_{vv}>0$ 时它变成了类空的。换句话说，整个黑洞几何并不是与时间无关的！随着学习的深入，我们将进一步了解这一特征。

芬克尔斯坦图

为了进一步建立对几何的直观理解，我们可以考察从黑洞中射出的光线的行为。这些光线沿着由下式给出的路径传播

$$u=t-r_{\star }=\mathrm{constant}$$

消去 $t,$ 而改用零坐标 $v=t+r_{\star }$，则出射零测地线满足 $v=2r_{\star }+\mathrm{constant}$。这一方程的解在视界之外与视界之内具有不同的性质。当 $r>2GM$ 时，我们可以利用 定义 6.7 中关于龟坐标 $r_{\star }$ 的原始定义，得到

$$v=2r+4GM\log \left(\frac{r-2GM}{2GM}\right)+\mathrm{constant}$$

显然，当 $r<2GM$ 时对数项会出问题。不过，要写出一个在视界两侧都满足 (6.6) 的龟坐标是很容易的：我们只需对自变量取绝对值

$$r_{\star }=r+2GM\log \left|\frac{r-2GM}{2GM}\right|$$

这意味着 $r_{\star }$ 是多值的：在视界之外它取值于 $r_{\star }\in (-\infty ,+\infty )$，在视界之内它取值于 $r_{\star }\in (-\infty ,0)$，而奇点位于 $r_{\star }=0$。于是，视界之内的出射测地线满足

$$v=2r+4GM\log \left(\frac{2GM-r}{2GM}\right)+\mathrm{constant}\text{\hspace{1em}(6.9)}$$

剩下的问题是求出视界 $r=2GM$ 处的出射零测地线。在这里，度规 (6.8) 中的 $d{v}^2$ 项消失，并且可以验证曲面 $r=2GM$ 本身就是一条零测地线。这与我们在6.1.2 节中的预期一致：在那里我们看到视界是一个零曲面。

图 32. 入射坐标下的芬克尔斯坦图。入射零测地线用红色表示，出射零测地线用蓝色表示。在视界 $r=2GM$ 之内，出射测地线并不会向外走。

我们可以把这些信息浓缩到一张芬克尔斯坦图(Finkelstein diagram)中。这种图的设计使得入射零射线以 45 度角行进。如果用 t 和 $r_{\star }$ 来标记图的坐标，这一点很容易做到。然而，正如我们已经看到的，$r_{\star }$ 在黑洞中并非处处单值。因此，我们改用原来的 r 作为空间坐标。然后我们通过如下要求来定义一个新的时间坐标 $t_{\star }$

$$v=t+r_{\star }=t_{\star }+r$$

于是，入射零射线在 $(t_{\star },r)$ 平面内以 45 度角行进，其中 $t_{\star }=v-r$。这些射线在图 32 中显示为红线。与此同时，出射零测地线显示为蓝色。现在我们可以清楚地看到，测地线的行为如何随其位于视界之内还是视界之外而改变。位于视界之外的出射测地线名副其实：它们向外运动。特别地，当 $t\to \infty$（因而 $t_{\star }\to \infty )$）时，这些测地线逃逸到 $r\to \infty$

位于视界之内的出射测地线就没有这么幸运了。此时随着 t 增大，由(6.9)所描述的测地线根本不会“向外”走：相反，这些“出射”光线会不可阻挡地朝着位于$r=0$处的曲率奇点运动。它们中的每一条都在某个有限的$t_{\star }$处撞上奇点。

把这两个区域分隔开的，是沿着视界$r=2GM$行进的零测地线：也就是图中的那条竖直蓝线。

我们也可以在芬克尔斯坦图上画出光锥。它们是由入射的和出射的、指向未来的零测地线所围成的区域，如图所示。任何有质量粒子都必须沿着类时路径运动，因此其轨迹必须位于这些光锥之内。我们立刻就能看到黑洞的关键特征之一：一旦你冒险越过视界，就再也出不来了。这是由时空的因果结构所禁止的。所谓黑洞，实际上指的就是视界之内$r<2GM$的区域。任何留在视界之外的观测者都无法知道视界之内发生的事情。

我们还可以借助芬克尔斯坦图来说明：如果把朋友推进黑洞，观测者会看到什么。这位不幸的同伴穿过视界，很可能自己毫无察觉。然而，任何发回的光信号要到达坐在某个固定径向值 $r>2GM$ 处的观测者，所需时间会越来越长。这意味着，随着下落的同伴接近视界，他们的动作显得越来越慢。于是，坐在外面的观测者（也就是那个“坏人”）会一直看着自己的朋友，却对朋友越过视界之后的所作所为一无所知。此外，由于此时光是从越来越深的引力势阱中发出的，在外界观测者看来，它会显得越来越红移。

出射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标

施瓦西黑洞外部还有另一种延拓，其中我们把时间坐标 t 换成一个零坐标

$$u=t-r_{\star }$$

回忆一下，常值 u 的曲面对应于出射的径向零测地线。

和之前一样，作这个变量代换是直截了当的。我们有 $t=u+r_{\star }$，因此

$$dt=du+d{r}_{\star }=du+{\left(1-\frac{2GM}{r}\right)}^{-1}dr$$

把它代入施瓦西度规 (6.1)，我们便得到度规

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)d{u}^2-2dudr+r^{2}d{\Omega }_2^2\text{\hspace{1em}(6.10)}$$

这就是出射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标下的施瓦西解。它与入射坐标 (6.8) 的唯一区别在于交叉项的符号。然而，正如我们下面要解释的，这个看似微不足道的差别会大大改变对度规的解读。

图 33. 出射坐标下的芬克尔斯坦图。入射零测地线用红色表示，出射零测地线用蓝色表示。在 $r=2GM$ 处的视界内部，入射测地线并不向内走。

同样地，度规在视界处是光滑的（且非退化的），因此我们可以放心地把度规一直延拓到 $r=0$ 处的奇点。然而，区域 $r<2GM$ 现在描述的是时空中的另一部分，与入射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标中相应区域所描述的部分不同！

为了看清这一点，我们可以再次考察入射和出射的测地线，如芬克尔斯坦图（图 33）所示。这一次，我们选取使出射测地线以 45 度行进的坐标，也就是说，取 r 和 $t_{\star }=u+r$。出射测地线仍和之前一样用红色画出。但这一次我们看到，它们确实名副其实：无论是否从视界之内出发，它们始终向外走。

这一次，具有有趣性质的是入射零测地线。那些从视界之外出发的入射零测地线无法到达奇点，而是堆积在视界处。那些从视界之内出发的零测地线则具有更奇怪的性质：入射测地线并不向内走，它们同样朝视界运动，而且同样无法穿过视界。

我们还可以追问，位于视界之内的有质量粒子会怎样。和之前一样，它们的轨迹必须位于指向未来的光锥之内。我们看到，它们无法在视界之内久留。时空的因果结构最终会把它们抛到视界之外的区域。

图 34. 左图：入射坐标覆盖林德勒空间的这一部分。右图：出射坐标覆盖这一部分。

这显然是与黑洞截然不同的物理。相反，(6.10) 所描述的解是一个白洞(white hole)，即一种会把内部任何物质都抛出的物体。它是黑洞的时间反演，这一点可以追溯到两个度规 (6.8) 与 (6.10) 之间相对的负号。这种时间反演在图中也一目了然：把图 33 中的白洞上下翻转，就得到图 32 中的黑洞。

白洞是完全可接受的爱因斯坦方程解。事实上，既然存在任何东西都无法逃逸的黑洞，那么爱因斯坦方程的时间反演不变性就告诉我们，必然存在一个与之对应、任何东西都无法进入的解。尽管如此，白洞在物理上并不重要，因为与黑洞不同，人们无法由坍缩物质形成白洞。

6.1.4 Kruskal 时空

我们能够以两种不同的方式延拓施瓦西解的 $r\in (2GM,\infty )$ 坐标，而由此得到的区域——即由 $r\in (0,2GM]$ 参数化的区域——竟对应时空的两个不同部分，这或许会让人有些意外。回到林德勒空间的近视界极限，可以帮助我们获得一些直观理解。黑洞外部由施瓦西度规覆盖，它对应于林德勒空间的右象限。入射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标把它延拓到上象限，而出射爱丁顿-芬克尔斯坦坐标则把它延拓到下象限，如上面各图所示。本节的目的就是更好地理解这一点。我们将通过引入能够覆盖整个时空（包括黑洞与白洞）的坐标来实现这一目标。

用两个零坐标 $v=t+r_{\star }$ 与 $u=t-r_{\star }$ 来写出施瓦西度规是很简单的。它变为

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dudv+r^{2}d{\Omega }_2^2\text{\hspace{1em}(6.11)}$$

其中我们现在应把 $r^2$ 视为 $r^2(u-v)$ 的函数。在这些坐标下，度规在 $r=2GM$ 处退化，因此我们需要做得更好一些。这可以通过引入Kruskal-Szekeres 坐标(Kruskal-Szekeres coordinates)来实现，

$$U=-\exp \left(-\frac{u}{4GM}\right)\mathrm{and}V=\exp \left(\frac{v}{4GM}\right)\text{\hspace{1em}(6.12)}$$

U 与 V 都是零坐标。按上面的定义，施瓦西黑洞的外部由 $U<0$ 和 $V>0$ 参数化。它们还具有这样的性质：在视界之外，

$$UV=-\exp \left(\frac{r_{\star }}{2GM}\right)=\frac{2GM-r}{2GM}\exp \left(\frac{r}{2GM}\right)\text{\hspace{1em}(6.13)}$$

其中第二个等号处我们用了龟坐标的定义 6.7。类似地，

$$\frac{U}{V}=-\exp \left(-\frac{t}{2GM}\right)\text{\hspace{1em}(6.14)}$$

简单计算一下便知，度规张量(6.11)变为

$$d{s}^2=-\frac{32(GM{)}^3}{r}{e}^{-r/2GM}dUdV+r^{2}d{\Omega }_2^2\text{\hspace{1em}(6.15)}$$

其中 $r(U,V)$ 是由反解(6.13)所定义的函数。

原来的施瓦西度规只覆盖 $U<0$ 且 $V>0$ 的那部分时空。但现在我们可以放心地把范围延拓到 $U,V\in \mathbf{R}$，其中函数 $r(U,V)$ 仍由(6.13)定义。我们看到，此时在 $r=2GM$ 处不再发生任何糟糕的事情：度规是光滑且非退化的。

解析延拓

上面我们已经玩了这么多花样，在不同的坐标系之间跳来跳去，人们不禁会想：是否还有别的花样，能把Kruskal 时空再进一步延拓下去呢？答案是否定的：Kruskal 时空(Kruskal spacetime)就是施瓦西解的最大延拓。

检验一个给定的时空能否延拓，办法是这样的：考察所有的测地线，看它们最终都跑到哪里去。如果测地线能以无穷大的仿射参数一直延伸下去，那么它们就逃逸到了无穷远。反之，如果测地线在某个有限的仿射参数处就终止了，那就说明有问题：要么它们撞上了一个真正的奇点，要么它们撞上了一个坐标奇点。在前一种情形下，你无能为力；在后一种情形下，你可以像上面那样把时空延拓下去。当所有突然中断的测地线都终止于真正的奇点时，你就得到了最大延拓的时空。

延拓的过程多少有点神奇。我们从一个时空区域中爱因斯坦方程的解出发，而这就足以确定整个延拓后时空中的度规。特别是，延拓之后我们不必从头再解爱因斯坦方程。这种神奇之处源于度规分量是实的解析函数：这意味着，只要知道度规在任意一个开集上的取值，就足以确定它在各处的取值。

Kruskal 图

利用(6.13)，我们就能看出视界在新坐标下变成了什么。我们有

$$r=2GM\Rightarrow U=0\mathrm{or}V=0$$

这说明视界并不是一个零曲面，而是两个零曲面，它们相交于点$U=V=0$。这与我们从近视界极限（在那里我们遇到了 Rindler 空间）中得到的结果一致。零曲面 U = 0 是黑洞的视界，称为未来视界(future horizon)；零曲面 V = 0 是白洞的视界，即过去视界(past horizon)。

我们也能看出奇点变成了什么。它现在位于

$$r=0\Rightarrow UV=1$$

双曲线 UV = 1 有两个互不相连的分支。其中满足 $U,V>0$ 的那一支对应于黑洞的奇点，满足 $U,V<0$ 的另一支则对应于白洞的奇点。

这些事实可以画在Kruskal 图上，如图 35 所示。U 轴和 V 轴画成 45 度，这反映了它们都是零线这一事实。这两条轴就是两个视界。在这张图中，竖直方向可以看作时间方向

图 35. 施瓦西黑洞的 Kruskal 图。U 轴和 V 轴是 $r=2GM$ 处的视界，红线是 $r=0$ 处的奇点。图中还画出了绿色的等 r 线和蓝色的等 t 线。

竖直方向为 $T=\frac{1}{2}(V+U)$，而水平方向的空间方向为 $X=\frac{1}{2}(V-U)$。$UV=1$ 所表示的奇点用红色画出。这张图清楚地表明，黑洞与白洞是如何共存于同一个时空之中的。

图中还画出了绿色的等 r 线，以及蓝色的等 t 线。由 (6.13) 可知，等 r 线由 $UV=\mathrm{constant}$ 给出。而由 (6.14) 可知，等 t 线是直线，由 $U/V=\mathrm{constant}$ 给出。

这张图给出了一些重要的教训。你也许会天真地以为，黑洞的奇点是一个点，它像任何其他粒子一样描出一条类时世界线。这张图清楚地表明事实并非如此：相反，奇点是类空的。一旦你穿过视界，奇点就不再是位于你左边或右边的东西：它是位于你未来的东西。这就清楚地说明了为什么在黑洞内部你无法避开奇点。它是你的宿命。同样，白洞的奇点位于过去。它类似于大爆炸的奇点。

我们可以用施瓦西解的基灵向量 $K={\partial }_t$ 来表述这一点。该向量在视界之外是类时的，而且它确实给出了我们在 1.3 节 中遇到的、黑洞之外测地线的守恒能量。在 Kruskal-Szekeres 坐标 中，

我们可以利用 (6.12) 求得

$$K=\frac{\partial }{\partial t}=\frac{\partial V}{\partial t}\frac{\partial }{\partial V}+\frac{\partial U}{\partial t}\frac{\partial }{\partial U}=\frac{1}{4GM}\left(V\frac{\partial }{\partial V}-U\frac{\partial }{\partial U}\right)$$

在克鲁斯卡尔度规 (6.15) 中计算这个基灵向量的模长，得到

$$g_{\mu \nu }{K}^{\mu }{K}^{\nu }=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)$$

我们看到，在视界之外，这个基灵向量正如预期的那样是类时的。但在视界之内，由于 $r<2GM$，该基灵向量变成类空的。（我们在 4.3.1 节 中讨论德西特时空的等距变换时见过类似的行为。）当我们说一个时空与时间无关时，指的是存在一个类时的基灵向量。由此可知，完整的黑洞时空并不是与时间无关的。不过，这一点只有在你穿过视界之后才会显现出来。

这一点的迹象——尽管并不可信——可以在原始的施瓦西解 (6.1) 中看到。如果我们当真在 $0<r<2GM$ 范围内采用它，就会看到 $(1-2GM/r)$ 的符号变化意味着向量 ${\partial }_t$ 变成类空的，而向量 ${\partial }_r$ 变成类时的。这再次暗示奇点位于未来或过去。上面变换坐标的全部艰苦工作表明，这个朴素的结果实际上是对的。

爱因斯坦-罗森桥

现在我们已经理解了Kruskal 图四个象限中的三个。右侧象限是黑洞的外部，也就是原始施瓦西坐标所覆盖的时空。上方象限是黑洞的内部，下方象限是白洞的内部。这样就只剩下左侧象限了。这令人意外：它是黑洞外部的另一个副本，现在由 $U>0$ 和 $V<0$ 覆盖。要看出这一点，我们可以写出

$$U=+\exp \left(-\frac{u}{4GM}\right)\mathrm{and}V=-\exp \left(\frac{v}{4GM}\right)$$

再回溯各个坐标变换，就可以看出左侧象限同样由施瓦西度规描述。

我们该如何理解这一点呢？我们最终得到的时空包含两个由黑洞连接起来的渐近平坦区域！这听起来相当离奇。注意，一个区域中的观测者不可能向另一个区域中的观测者发送信号，因为时空的因果结构不允许这样做。尽管如此，我们仍可以问：连接这两个区域的空间几何是什么样的？

图 36. 爱因斯坦-罗森桥

为了阐明这一空间几何，我们考察Kruskal 时空的 $t=0$ 切片。这是一条穿过 $U=V=0$ 的 $\mathrm{a}$ 水平直线。如果我们回到原来的施瓦西度规，那么在 $t=0$ 处，空间几何由下式给出

$$d{s}^2={\left(1-\frac{2GM}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\text{\hspace{1em}(6.16)}$$

它在 $r>2GM$ 时成立。这描述了右侧象限中的几何。左侧象限中还有同一几何的另一个副本。然后我们在 $r=2GM$ 处把两者粘合起来，就得到如图 36 所示的类似虫洞的几何。这个虫洞被称为爱因斯坦-罗森桥(Einstein-Rosen bridge)。它并不是可以穿越的虫洞，因为其中的路径是类空的，而不是类时的。

我们可以写出一个同时包含虫洞两侧的度规张量。为此，我们引入一个新的径向坐标 $\rho ,$，其定义为

$$r=\rho {\left(1+\frac{GM}{2\rho }\right)}^2=\rho +GM+\frac{G^2{M}^2}{4\rho }\text{\hspace{1em}(6.17)}$$

这一关系已绘于图中。它具有这样的性质：对每一个 $\rho$ 值，都有两个

$r>2GM$ 值与之对应。在视界 $r=2GM$ 处，只有一个值：$\rho =GM/2$。其想法是：$\rho >GM/2$ 参数化虫洞的一侧，而 $\rho <GM/2$ 参数化另一侧。把 (6.16) 中的 $r$ 替换为 $\rho$，就得到度规张量

$$d{s}^2={\left(1+\frac{GM}{2\rho }\right)}^4\left[d{\rho }^2+{\rho }^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\right]\text{\hspace{1em}(6.18)}$$

（为说明这一点，先证明 $(1-2GM/r)=(1-GM/2\rho {)}^2(1+2GM/\rho {)}^{-2}.)$ 会很有用。）显然，由于可以略去整体因子，当 $\rho \to \infty$ 时，这个度规看起来就像平直的 ${\mathbf{R}}^3$。不那么显然的是，当 $\rho \to 0$ 时，它看起来也像平直的 ${\mathbf{R}}^3$。要看出这一点，注意 (6.17) 在 $\rho \to G^2{M}^2/4\rho .$ 下具有一种对称性，该变换交换两个渐近时空，同时使交点 $\rho =GM/2$ 保持不变。这样，度规 (6.18) 就描述了图 36 所示的双侧爱因斯坦-罗森桥。

在虫洞中部 $\rho =GM/2$ 处，${\mathbf{S}}^2$ 的半径为 2GM，然后随着我们沿任一方向远离而增大。这个中点正是两个视界 $U=0$ 与 $V=0$ 相交之处。用更讲究的说法，它被称为分叉球面(bifurcation sphere)。

ER = EPR？

尽管最左侧象限中的观测者无论如何都无法向最右侧象限中的观测者发送信号，但他们仍有一种交流方式：两人都必须鼓起勇气跳进黑洞。这样他们就能在视界之后相遇，并分享各自的经历。

这听起来是个相当大胆的想法！它在物理上有意义吗？毕竟，位于底部象限的白洞被认为没有物理上的体现。同样，对于一般的黑洞，出现在Kruskal 图左侧象限中的另一个宇宙很可能也只是数学上的产物。尽管如此，仍有一种相当推测性的方案，认为这种视界之后的交流或许是可能的。

首先，我们可以打消这样一种想法：两个渐近区域必然对应着不同的宇宙。人们可以把两个闵可夫斯基空间的渐近部分拼接起来，使得 Kruskal 图近似描述同一宇宙中两个相距遥远的黑洞。这将是场方程的一个近似解，因为无论相距多远，这两个黑洞都会相互吸引。

从这个角度看，Kruskal 图暗示：两个可能相距数十亿光年的观测者，可以跳进这些遥远的黑洞，并在视界之后相遇。随后，他们便能在无可避免地葬身于奇点之前愉快地聊上一番。这个离奇的想法可能实现吗？如果可能，宇宙中哪些黑洞对之间是以这种方式相连的？

一个源自量子引力思想的方案提出：两个黑洞之间若存在某种程度的量子纠缠，它们就以这种方式相连。这个方案有个俏皮的名字，叫作$\mathrm{ER}=\mathrm{EPR}$，其中 ER 代表刻画几何联系的爱因斯坦-罗森桥，EPR 则代表爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬中的纠缠。（关于纠缠的更多细节，可参见《量子力学专题》的讲义。）$\mathrm{ER}=\mathrm{EPR}$方案是否正确还远未可知，但这无疑是一个令人心动的想法。

彭罗斯图

正如我们在4.4.2 节中所解释的，展示一个时空的因果结构的最好办法是画出彭罗斯图。对黑洞而言，这与Kruskal 图非常相似：我们只需把几条线拉直即可。

第一步是引入新的坐标，使它们能在有限范围内覆盖整个空间。我们采用与4.4.2 节中许多例子所见相同的那类变换，即

$$U=\tan \tilde{U}\mathrm{and}V=\tan \tilde{V}$$

新坐标的取值范围是有限的，$\tilde{U},\tilde{V}\in (-\pi /2,+\pi /2)$。于是(6.15)中的克鲁斯卡尔度规变为

$$d{s}^2=\frac{1}{{\cos }^2\tilde{U}{\cos }^2\tilde{V}}\left[-\frac{32(GM{)}^3}{r}{e}^{-r/2GM}d\tilde{U}d\tilde{V}+r^2{\cos }^2\tilde{U}{\cos }^2\tilde{V}d{\Omega }_2^2\right]$$

这个度规于是与（稍微！）更简单的度规共形等价

$$d{\tilde{s}}^2=-\frac{32(GM{)}^3}{r}{e}^{-r/2GM}d\tilde{U}d\tilde{V}+r^2{\cos }^2\tilde{U}{\cos }^2\tilde{V}d{\Omega }_2^2$$

不过，我们必须记住奇点。它位于$r=0$，或等价地位于$UV=1$。在有限范围的坐标中，这意味着

$$\tan \tilde{U}\tan \tilde{V}=1\Rightarrow \sin \tilde{U}\sin \tilde{V}-\cos \tilde{U}\cos \tilde{V}=0\Rightarrow \cos (\tilde{U}+\tilde{V})=0$$

换言之，奇点位于$\tilde{U}+\tilde{V}=\pm \pi /2$。在彭罗斯图中，这些是笔直的水平线。

如果没有奇点，$\tilde{U}$ 与 $\tilde{V}$ 的彭罗斯图(Penrose diagram)将是菱形，就像二维闵可夫斯基空间的彭罗斯图那样。奇点的存在意味着图的顶部和底部被切掉，由此得到图 37 所示的施瓦西黑洞的彭罗斯图。这张图所包含的信息与我们此前见过的Kruskal 图相同。

图 37. 施瓦西黑洞的彭罗斯图。右象限描述黑洞外部渐近平坦的区域。上象限是黑洞，下象限是白洞，二者各有一个以锯齿线表示的类空奇点。左象限是另一个渐近平坦区域时空。

借助彭罗斯图，我们可以给出黑洞更为严格的定义。这里我们不作任何严格性的标榜，只给出这一定义的直观印象。我们把注意力限制在渐近平坦时空上，也就是说，它们在远处看起来像闵可夫斯基空间。这尤其意味着，渐近区域包含两个零无穷远，即 ${\mathcal{I}}^{+}$ 和 ${\mathcal{I}}^{-}$。（我们还将进一步要求度规在 ${\mathcal{I}}^{\pm }$ 附近看起来像闵可夫斯基空间，尽管对于这句话的确切含义我们会含糊带过。）于是黑洞区域(black hole region)被定义为无法向 ${\mathcal{I}}^{+}$ 发送信号的那些点的集合。黑洞区域的边界就是未来事件视界(future event horizon) ${\mathcal{H}}^{+}$。等价地说，未来事件视界 ${\mathcal{H}}^{+}$ 就是 ${\mathcal{I}}^{+}$ 的因果过去的边界。

在图 37 的彭罗斯图中，与 ${\mathcal{I}}^{+}$ 相联系的黑洞区域是上象限和左象限。与 ${\mathcal{I}}^{\prime +}$ 相联系的黑洞则是上象限和右象限。

重要的是，要定义黑洞，你必须知道整个时空：从 ${\mathcal{I}}^{+}$ 出发把光线反向追溯，这些光线的边界就定义了事件视界。不存在只涉及某一（适当定义的）时刻的类空切片 Σ 的黑洞区域定义。这意味着，除非知道时空的整个未来演化，观察者其实无法知道自己是否身处黑洞之中。

与此相关，我们也可以把白洞区域(white hole region)定义为时空中无法接收到来自 ${\mathcal{I}}^{-}$ 的信号的那一部分。白洞区域的边界就是过去事件

视界，${\mathcal{H}}^{-}$

6.1.5 黑洞的形成：弱宇宙监督

我们迄今讨论的Kruskal 时空在许多方面都是非物理的。现实中，黑洞并不是从白洞中产生的！相反，它们是由恒星坍缩形成的。这种现实黑洞的因果结构与图 37 的彭罗斯图看起来相当不同。

我们可以尝试写出对应于坍缩恒星的解。事实上，这并不太难。不过，我们这里主要关心的是理解时空的因果结构，而这可以通过把我们已经知道的东西拼接起来做到。

从概念上说，最直接的做法是考虑一个不现实的情形：一个球对称坍缩的物质壳层。壳层内部，时空是平坦的；壳层外部，时空由史瓦西几何(6.1)描述。伯克霍夫定理告诉我们，即使对于随时间变化的坍缩壳层，后一说法依然成立。如果我们再作一个（同样不现实的）假设，即壳层以光速运动，那么就可以把闵可夫斯基空间的彭罗斯图与黑洞时空的彭罗斯图粘合起来，如图 38 所示。这样就得到了坍缩黑洞的彭罗斯图。

尽管我们在上一段中作了若干假设，但由此得到的彭罗斯图同样能描述真实恒星的球对称坍缩。在这种情况下，恒星表面沿一条类时轨迹运动，如右图所示。此时Kruskal 图中那些非物理的部分已经消失：既没有白洞，也没有镜像宇宙。

宇宙监督

黑洞有一个重要特征依然成立：奇点被遮蔽在视界之后。这意味着，渐近观测者感受不到奇点的影响。我们不禁要问：情况总是如此吗？还是说，最终可能出现一个

不被视界遮蔽的奇点？这样的奇点称为裸奇点(naked singularity)。

在爱因斯坦方程的解中，裸奇点屡见不鲜。完整的Kruskal 时空中的白洞就是一例；大爆炸奇点是另一例；施瓦西度规又提供了第三例。它对所有 $M.$ 都满足爱因斯坦方程，但只在 $M\ge 0$ 时具有物理意义。当 $M<0$ 时，我们可以把施瓦西度规写成

图 38. 两个彭罗斯图的拼接

$$d{s}^2=-\left(1+\frac{2G|M|}{r}\right)d{t}^2+{\left(1+\frac{2G|M|}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$$

此时在 $r=2G|M|$ 处不再有坐标奇点，相应地也就不存在视界。我们可以像处理闵可夫斯基空间那样，用零坐标 $u=t-r$ 和 $v=t+r$ 来构造这个时空的彭罗斯图。最终结果与闵可夫斯基空间完全相同，只有一点差别：在 $r=0$ 处存在一个曲率奇点。该彭罗斯图即上左图所示。$M:<0$ 黑洞的奇点并没有被遮蔽在视界之后，它是一个裸奇点，其效应可以从 ${\mathcal{I}}^{+}$ 观测到。

尽管在爱因斯坦方程的解中裸奇点屡见不鲜，人们却普遍相信它们是非物理的。（大爆炸奇点是一个重要的例外，下文我们还会进一步讨论这一情形。）广义相对论中有一个深刻的猜想，称为弱宇宙监督(weak cosmic censorship)，它断言裸奇点不可能形成。为了精确表述宇宙监督猜想，我们需要讨论广义相对论中的初值问题。初始条件在某个空间超曲面上给定，随后通过运动方程演化。弱宇宙监督猜想的内容如下

弱宇宙监督猜想：给定满足主能量条件（见4.5.7 节）的物质，在渐近平坦时空中，度规与物质场的、一般的、光滑的初始条件不会演化出裸奇点。

图 39. 左：负质量黑洞的彭罗斯图。右：这类恒星坍缩情形被弱宇宙监督所禁止。

这一陈述中包含着一大堆附加条件，其中每一条都很重要。事实证明，可以构造出经过精细调节的初始条件（在全部初始条件构成的空间中测度为零），使演化产生裸奇点；因此才需要“一般”这个词。事实证明，在渐近反德西特时空中也可以违反弱宇宙监督。最后，$M<0$ 黑洞的裸奇点多少让人直观地理解到，为什么我们需要物质场的能量满足某种正性条件。

如果弱宇宙监督成立，那么它就排除了右图所示的那种动力学演化。事实上，这幅图多少有些误导。一旦奇点形成，我们就无法再把场演化到图中红色虚线所示的那条光线之外。这意味着，严格说来，动力学演化在红线处就停止了，无法再向外延拓。弱宇宙监督猜想更精确的表述正依赖于这一想法，尤其依赖于这样的陈述：$I^{+}$ 并不会就此戛然而止。

目前还没有弱宇宙监督的证明：事实上，它可以说是数学相对论中最大的未解问题。尽管如此，大量的数值证据和间接证据都支持这一论断。

我们应当如何看待宇宙监督？从实用的角度看，它对从事数值相对论研究的人是一大福音，因为这意味着模拟可以顺利进行，而不必操心如何处理奇点。但对其他人来说，宇宙监督则相当令人失望。这是因为，奇点——或者更一般地说，高曲率区域——正是我们预期量子引力效应会变得重要的地方。宇宙监督意味着我们不太可能通过观测接触到这类行为。经典引力竟能找到办法保护我们免受量子引力的肆虐，这既引人注目又令人惊讶。

有一个裸奇点看上去确实是物理的：这就是大爆炸奇点。由于它位于极远的过去，它当然不违反宇宙监督猜想。人们很容易认为，我们最终或许能够在这里看到量子引力的效应。遗憾的是，这一希望似乎也破灭了，因为暴胀抹去了极早期宇宙的细节。量子引力看来是一门难以进行观测的科学。

6.1.6 （反）德西特时空中的黑洞

本节自始至终讨论的都是渐近闵可夫斯基时空中的黑洞。要找到对应于德西特时空与反德西特时空中施瓦西黑洞的解并不困难，只需解爱因斯坦方程

$$R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }$$

困难的部分我们已经做完了。我们取拟设

$$d{s}^2=-f(r{)}^{2}d{t}^2+f(r{)}^{-2}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$$

在4.2 节中我们已经看到，只要满足

$$f^{\prime \prime }+\frac{2f^{\prime }}{r}+\frac{f^{\prime 2}}{f}=-\frac{\Lambda }{f}\text{ and }1-2f{f}^{\prime }r-f^2=\Lambda r^2$$

这些方程就有解

$$f^2=1-\frac{2GM}{r}\mp \frac{r^2}{R^2}$$

其中 $R^2=3/|\Lambda |$。这里负号对应 $\Lambda >0$ 时的方程的解，正号对应 $\Lambda <0$ 时的解。它们分别对应于德西特时空与反德西特时空中的黑洞。要看出这一解释是正确的，可以考察 $2MG\ll R^2$ 的度规，此时施瓦西半径远小于时空曲率的尺度。于是当 $r\ll R,$ 时，度规看上去就与平直空间中的施瓦西黑洞相同。在这些讲义中，我们不再对这些解作更多讨论。

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