4.4 时空的渐近行为

这三个解——闵可夫斯基、德西特与反德西特——具有不同的时空曲率，其对称性也各不相同。但还有一个更为根本的区别：它们在无穷远处的行为不同。

这一点之所以重要，是因为我们最终想要考察更复杂的解。这些解可能具有较少的对称性，甚至完全没有对称性。但是，只要场具有适当的局域性，它们就会渐近于上述三个对称空间之一。这就为我们提供了一种方式，用以刻画物理究竟发生在“闵可夫斯基空间中”、“德西特时空中”还是“反德西特空间中”。

事实证明，洛伦兹时空中的“无穷远”比你想象的要更有意思。人们可以沿着类空、类时或类光方向走向无穷远，而其中每一个方向都可能具有不同的结构。引入一种工具来将时空的无穷远可视化，将会很有用。

4.4.1 共形变换

给定一个带有度规 $g_{\mu \nu }$ 的时空 M，我们可以通过共形变换(conformal transformation)构造一个新的度规 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$，

$${\tilde{g}}_{\mu \nu }(x)={\Omega }^2(x)g_{\mu \nu }(x)\text{\hspace{1em}(4.34)}$$

其中 $\Omega (x)$ 是一个光滑且处处不为零的函数。

通常，$g_{\mu \nu }$ 与 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ 描述的是非常不同的时空，两者中的距离被显著地扭曲。然而，共形变换保持角度不变。特别地，在洛伦兹时空中，这意味着由共形变换相联系的两个度规具有相同的因果结构。一个关于度规 $g_{\mu \nu }$ 处处为类光的向量场 X，关于 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ 也处处为类光，

$$g_{\mu \nu }{X}^{\mu }{X}^{\nu }=0\iff {\tilde{g}}_{\mu \nu }{X}^{\mu }{X}^{\nu }=0$$

类似地，关于 $g_{\mu \nu }$ 为类时或类空的向量，关于 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ 也仍然是类时或类空分离的。

度规的共形变换不会改变因果结构，而度规的任何其他改变都会改变它。这一事实有时被概括为一句口号：“因果结构是度规的 $9/10^{\mathrm{th}}$”。不过，考虑到微分同胚不变性，更好的口号应当是：“因果结构大约是度规的 $5/6^{\mathrm{th}}$”。

共形变换与测地线

关于 $g_{\mu \nu }$ 为类时的粒子轨迹，关于 ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ 也必然为类时。但由于在共形变换下距离会被扭曲，我们没有理由指望类时测地线会映为类时测地线。然而，事实证明零测地线确实映为零测地线，只不过在此过程中仿射参数化会被破坏。

为看清这一点，我们先计算新度规下的克里斯托费尔符号。它们为

$$\begin{array}{rl}& {\Gamma }_{\rho \sigma }^{\mu }[\tilde{g}]=\frac{1}{2}{\tilde{g}}^{\mu \nu }({\partial }_{\rho }{\tilde{g}}_{\nu \sigma }+{\partial }_{\sigma }{\tilde{g}}_{\rho \nu }-{\partial }_{\nu }{\tilde{g}}_{\rho \sigma })\\ & =\frac{1}{2}{\Omega }^{-2}{g}^{\mu \nu }({\partial }_{\rho }({\Omega }^2{g}_{\nu \sigma })+{\partial }_{\sigma }({\Omega }^2{g}_{\rho \nu })-{\partial }_{\nu }({\Omega }^2{g}_{\rho \sigma }))\\ & ={\Gamma }_{\rho \sigma }^{\mu }[g]+{\Omega }^{-1}({\delta }_{\sigma }^{\mu }{\nabla }_{\rho }\Omega +{\delta }_{\rho }^{\mu }{\nabla }_{\sigma }\Omega -g_{\rho \sigma }{\nabla }^{\mu }\Omega )\end{array}$$

其中在最后一行，我们把 ∂ 换成了 $\nabla$，理由是这些导数作用在标量函数 $\Omega (x)$ 上，因此没有区别。

如果我们在度规 $g$ 中有一条仿射参数化测地线，

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}+{\Gamma }_{\rho \sigma }^{\mu }[g]\frac{d{x}^{\rho }}{d\tau }\frac{d{x}^{\sigma }}{d\tau }=0$$

那么在度规 $\tilde{g}$ 中就有

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}+{\Gamma }_{\rho \sigma }^{\mu }[\tilde{g}]\frac{d{x}^{\rho }}{d\tau }\frac{d{x}^{\sigma }}{d\tau }={\Omega }^{-1}\left({\delta }_{\sigma }^{\mu }{\nabla }_{\rho }\Omega +{\delta }_{\rho }^{\mu }{\nabla }_{\sigma }\Omega -g_{\rho \sigma }{\nabla }^{\nu }\Omega \right)\frac{d{x}^{\rho }}{d\tau }\frac{d{x}^{\sigma }}{d\tau }$$

右端看起来一团糟。对于类时或类空的测地线，情况确实如此。但对于零测地线，我们有

$$g_{\rho \sigma }\frac{d{x}^{\rho }}{d\tau }\frac{d{x}^{\sigma }}{d\tau }=0$$

于是右端至少有一项消失。其余各项可以写成

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}+{\Gamma }_{\rho \sigma }^{\mu }[\tilde{g}]\frac{d{x}^{\rho }}{d\tau }\frac{d{x}^{\sigma }}{d\tau }=2\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{1}{\Omega }\frac{d\Omega }{d\tau }$$

但这正是测地线未被仿射参数化时所满足的方程，如(1.28)所示。因此，共形变换确实如所断言的那样把零测地线映为零测地线。

外尔张量

我们最常用的那些曲率张量在共形变换下并不保持不变。然而，事实证明存在一种曲率张量的组合，它在共形变换下不发生改变。这就是外尔张量(Weyl tensor)。在 n 维流形中，它定义为

$$C_{\mu \nu \rho \sigma }=R_{\mu \nu \rho \sigma }-\frac{2}{n-2}\left(g_{\mu [\rho }{R}_{\sigma ]\nu }-g_{\nu [\rho }{R}_{\sigma ]\mu }\right)+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R{g}_{\mu [\rho }{g}_{\sigma ]\nu }$$

外尔张量具有黎曼张量的全部对称性质，但还多出一条性质：若用度规张量缩并任意一对指标，它便为零。在这个意义上，它可以被视为黎曼张量的“无迹”部分。

4.4.2 彭罗斯图

与共形变换(4.34)相关的，有许多有趣而深刻的故事。例如，存在一类在闵可夫斯基空间的共形变换下保持不变的理论；这些所谓的共形场论描述的是二级相变处的物理。不过在这里，我们想用共形变换来理解时空的无穷远处会发生什么。

主要想法是作一个共形变换，把无穷远拉到某个更易于处理、距离有限的地方。显然，这个变换会扭曲距离，但它会保留原时空的因果结构。于是我们就能把这一因果结构画在一张非常有限的纸上（比如一张 A4 纸）。这样得到的图称为彭罗斯图(Penrose diagram)，名字取自它的发现者罗杰·彭罗斯和布兰登·卡特。下面我们将用一系列例子来说明这一点。

闵可夫斯基空间

我们从闵可夫斯基空间开始。事实证明，即便在这里，无穷远也相当微妙。

最简便的做法是先在一维空间加一维时间的 $d=1+1$ 维情形下讨论，此时闵可夫斯基度规取如下形式

$$d{s}^2=-d{t}^2+d{x}^2\text{\hspace{1em}(4.35)}$$

我们首先要做的是引入光锥坐标，

$$u=t-x\mathrm{and}v=t+x$$

在这些坐标下，闵可夫斯基度规变得更加简单

$$d{s}^2=-dudv$$

这两个光锥坐标都取遍整个 R 的范围：$u,v\in$ $(-\infty ,\infty )$。为了把事物变得更有限，我们将引入另一个坐标，使 $u$ 和 $v$ 的整个取值范围被映射到一个有限区间上。一个方便的选择是

$$u=\tan \tilde{u}\mathrm{and}v=\tan \tilde{v}\text{\hspace{1em}(4.36)}$$

这样，当 ˜u、$\tilde{v}\in (-\pi /2,+\pi /2)$ 时，我们就覆盖了整个闵可夫斯基空间。注意，严格说来，我们不应把 $\tilde{u},\tilde{v}=\pm \pi /2$ 这些点包含进来，因为它们对应于 $u,v=\pm \infty$

在新坐标下，度规取如下形式

$$d{s}^2=-\frac{1}{{\cos }^2\tilde{u}{\cos }^2\tilde{v}}d\tilde{u}d\tilde{v}$$

注意，当我们趋近闵可夫斯基空间的边界，即 $\tilde{u}$ 或 $\tilde{v}\to \pm \pi /2$ 时，度规会发散。不过，我们现在可以作共形变换了。我们定义新的度规

$$d{\tilde{s}}^2=({\cos }^2\tilde{u}{\cos }^2\tilde{v})d{s}^2=-d\tilde{u}d\tilde{v}$$

经过共形映射之后，当我们趋近 $\tilde{u},\tilde{v}\to \pm \pi /2$ 时，不会再出现任何糟糕的情况。习惯上，我们此时会把“无穷远点” $;{\mathrm{y}}^{†}$、$\tilde{u}=\pm \pi /2$ 和 $\tilde{v}=\pm \pi /2$ 添加上去，这一操作就叫做共形紧化(conformal compactification)。

彭罗斯图是这一空间的图示表示。与其他相对论图示一样，我们要求光线以 $45^{\circ }$ 传播。我们把时间取在竖直方向，把空间取在水平方向。这意味着我们以 $45^{\circ }$ 画出 $\tilde{u}$ 和 $\tilde{v}$ 坐标下的光锥。所得的图见图 23，其中 $\tilde{u}$ 和 $\tilde{v}$ 轴画在图 23 的左侧。

我们还可以用各种方式为彭罗斯图添加内容。例如，我们可以画出相对于原始度规 (4.35) 的测地线。这些测地线画在图 23 的右侧；近乎竖直的蓝线是 $x;$ 为常数的类时测地线，近乎水平的红线是 t 为常数的类空测地线。我们还列出了闵可夫斯基空间不同种类的“无穷远”。它们是

• 所有类时测地线都从标为 $i^{-}$ 的点出发，该点满足 $(\tilde{u},\tilde{v})=(-\pi /2,-\pi /2)$，并终止于标为 $i^{+}$ 的点，该点满足 $(\tilde{u},\tilde{v})=(+\pi /2,+\pi /2)$。换言之，这两个点就是所有有质量粒子的起源与归宿。这两个点分别称为过去类时无穷远和未来类时无穷远。

图 23. $d=1+1$ 闵可夫斯基空间的彭罗斯图。

• 所有类空测地线都始于或终于标为 $i^0$ 的两个点之一，即 $(\tilde{u},\tilde{v})=(-\pi /2,+\pi /2)$ 或 $(\tilde{u},\tilde{v})=(+\pi /2,-\pi /2)$。这两个点就是类空无穷远。

• 所有零曲线都始于标为 ${\mathcal{I}}^{-}$ 的边界，此时 $\tilde{u}=-\pi /2$ 而 $\tilde{v}$ 任意，或者 $\tilde{v}=-\pi /2$ 而 $\tilde{u}.$ 任意。这条边界读作“scri-minus”，更正式的名称是过去零无穷远(past null infinity)。这些零曲线终止于标为 ${\mathcal{I}}^{+}$ 的边界，此时 $\tilde{u}=+\pi /2$ 而 $\tilde{v},$ 任意，或者 $\tilde{v}=+\pi /2$ 而 $\tilde{u}.$ 任意。这条边界读作“scri-plus”，称为未来零无穷远(future null infinity)。

从图中可以看出，沿零方向“${}^{66}\mathrm{go}$ 到无穷远”的方式比沿类时或类空方向更多。这是闵可夫斯基空间的特征之一。

借助彭罗斯图，我们可以直接看出闵可夫斯基空间的因果结构。例如，当类时曲线趋近 $i^{+}$ 时，它们的过去光锥会覆盖越来越多的时空，如图 24 左侧所示。这意味着，闵可夫斯基空间中的观测者只要等得足够久，原则上就能看到一切。与此相关，闵可夫斯基空间中任意两点在过去的和未来的方向上都有因果联系，也就是说，它们的过去光锥与未来光锥必然相交，如图 24 右侧的蒙德里安式图案所示。这意味着，过去总存在一个事件能够同时影响这两个点，未来也总存在一个事件能够同时受这两个点影响。这些说法看似平凡，但我们很快就会看到，它们在别的时空中并不成立，包括我们称之为家园的那个时空。

图 24. 左图：你终将看到一切。右图：任意两点都共享一部分因果过去和一部分因果未来。

下面我们把这一分析推广到 $d=3+1$ 维的闵可夫斯基空间，其度规为

$$d{s}^2=-d{t}^2+d{r}^2+r^{2}d{\Omega }_2^2$$

其中 $d{\Omega }_2^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$ 是 ${\mathbf{S}}^2$ 上的圆形度规（不要与我们先前引入的共形因子 $\Omega (x)$ 混淆）。我们再次引入光锥坐标

$$u=t-r\mathrm{and}v=t+r$$

并把该度规写成

$$d{s}^2=-dudv+\frac{1}{4}(u-v{)}^{2}d{\Omega }_2^2$$

在有限坐标 (4.36) 中，度规变为

$$d{s}^2=\frac{1}{4{\cos }^2\tilde{u}{\cos }^2\tilde{v}}\left(-4d\tilde{u}d\tilde{v}+{\sin }^2(\tilde{u}-\tilde{v})d{\Omega }_2^2\right)$$

最后，我们作共形变换，得到新的度规

$$d{\tilde{s}}^2=-4d\tilde{u}d\tilde{v}+{\sin }^2(\tilde{u}-\tilde{v})d{\Omega }_2^2\text{\hspace{1em}(4.37)}$$

图 25. 四维闵可夫斯基时空的彭罗斯图。

还有一个在 $2\mathrm{d}:$ 中未曾出现的要求：我们必须坚持 $v\ge u$，从而 $r\ge 0$，这才符合径向坐标的身份。这意味着，经过共形紧化之后，˜u 与 $\tilde{v}$ 的取值范围是

$$-\frac{\pi }{2}\le \tilde{u}\le \tilde{v}\le \frac{\pi }{2}$$

为了画出与时空 (4.37) 相对应的图，我们不得不舍弃一些维度。我们选择不画出 ${\mathbf{S}}^2$，只显示 ˜u 和 ˜v 两个方向。由此得到的 $d=3+1$ 维闵可夫斯基空间的彭罗斯图如图 25 所示。

图中每一点都对应一个半径为 sin $(\tilde{u}-\tilde{v})$ 的 ${\mathbf{S}}^2$，只有左边那条线例外：它位于 $\tilde{u}=\tilde{v}$ 处，此时这个 ${\mathbf{S}}^2$ 缩成一个点。这并不是闵可夫斯基空间的边界，而只是原点 $r=0$。为了说明这一点，我们在图中用红色画了一条零测地线：它从 ${\mathcal{I}}^{-}$ 出发，当它碰到 $r=0$ 这条竖线时，只是被反弹回来，最终到达 ${\mathcal{I}}^{+}$。

要把四维空间画在一张二维的纸上，这多少算是彭罗斯图的一个局限。这意味着，它们实际上只对内部明显含有一个可以舍弃的 ${\mathbf{S}}^2$ 的时空有用；或者更准确地说，只对具有 $SO(3)$ 等距变换的时空有用。不过，这类时空恰恰是最简单、也往往是最重要的时空。

我们已经看到，闵可夫斯基空间具有一个零类边界，外加空间无穷远和时间无穷远处的两个点。这自然促使我们去追问无质量场的散射问题：我们在 ${\mathcal{I}}^{-}$ 上给定初始数据，让它演化，再在 ${\mathcal{I}}^{+}$ 上读出它的最终命运。在量子场论中，这与我们称为 S 矩阵的对象密切相关。

德西特时空

德西特时空的全局坐标为(4.21)，

$$d{s}^2=-d{\tau }^2+R^2{\cosh }^2(\tau /R)d{\Omega }_3^2$$

为了构造彭罗斯图，我们使用共形时间，其定义为

$$\frac{d\eta }{d\tau }=\frac{1}{R\cosh (\tau /R)}$$

其解为

$$\cos \eta =\frac{1}{\cosh (\tau /R)}\text{\hspace{1em}(4.38)}$$

其中$\eta \in \left(-\pi /2,+\pi /2\right)$，而$\tau \in (-\infty ,+\infty )$。用共形时间表示，德西特时空的度规为

$$d{s}^2=\frac{R^2}{{\cos }^2\eta }\left(-d{\eta }^2+d{\Omega }_3^2\right)$$

我们把${\mathbf{S}}^3$上的度规写成

$$d{\Omega }_3^2=d{\chi }^2+{\sin }^2\chi d{\Omega }_2^2\text{\hspace{1em}(4.39)}$$

图 27. 左图：位于北极的观测者并不能看到全部时空，她有一个事件视界。中图：她也不能影响全部时空，她有一个粒子视界。右图：位于北极的观测者（红色）与位于南极的观测者（蓝色）的因果菱形。

其中$\chi \in [0,\pi ]$。德西特度规与下述度规共形等价：

$$d{\tilde{s}}^2=-d{\eta }^2+d{\chi }^2+{\sin }^2\chi d{\Omega }_2^2$$

经过共形紧化之后，$\eta \in \left[-\pi /2,+\pi /2\right]$，$\chi \in [0,\pi ]$。其彭罗斯图如图 26 所示。

这两条竖线并不是时空的边界，它们只是 ${\mathbf{S}}^3$ 的北极和南极。边界是上下两条水平线：它们同时被标记为 $i^{\pm }$ 和 ${\mathcal{I}}^{\pm }$，这反映出它们正是类时测地线与零测地线的起点和终点所在之处。

由此可知，德西特时空具有一个类空的 ${\mathbf{S}}^3$ 边界。（该边界的法向是类时的。）

德西特时空的因果结构与闵可夫斯基时空大不相同。并非只要观测者等待足够久，她就能看到发生的一切。例如，位于北极（图中左侧）的观测者最终只能看到恰好一半的时空，如图 27 左图所示。这一区域的边界（图中的对角线）就是她的事件视界。它与黑洞的事件视界类似，因为来自视界之外的信号无法到达她。然而，从图中可以清楚地看出，这是一个依赖于观测者的视界：换一个观测者，就会有完全不同的视界。在这种语境下，它们有时被称为宇宙学视界。

此外，位于北极的观测者只能与时空的另一半进行通信，如图 27 中图所示。这一影响区域的边界称为粒子视界(particle horizon)。应当把它理解为自时间起点以来光所能传播的最远距离。这两个区域的交集称为（北部的）因果菱形(causal diamond)，即右图中的红色三角形。位于南极的观测者也有自己的因果菱形，如图 27 右图中的蓝色三角形所示。它与北部的因果菱形因果不相连。

薛定谔曾对此作了很好的概括，他在 1956 年写道：

“两个或更多的观测者，即便他们过去曾坐在同一张学校课桌旁，日后在人生中走上不同的道路时，竟会经历不同的世界，以至于最终其中一人的经验世界的某些部分原则上对另一人不可及，反之亦然——这看起来确实相当奇怪。”

在渐近德西特时空中，自然的问题似乎应当是：在类空的 ${\mathcal{I}}^{-}$ 上给定某些初始条件，让它演化，再读出 ${\mathcal{I}}^{+}$ 上的数据。发展量子力学的教训之一，就是我们不应当谈论那些即使在原则上也无法测量的东西。然而在德西特时空中我们看到，没有任何单个观测者能对全部空间有全貌性的了解。当我们试图在德西特时空中讨论量子引力时，这便带来许多麻烦，以及迄今尚未解决的概念性问题。

最后，我们可以用彭罗斯图来回答一个关于德西特时空静态区的悬而未决的疑问，在该静态区中度规张量取 (4.12) 的形式

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\text{\hspace{1em}(4.40)}$$

问题在于：我们应当如何理解 $r=R?$ 处的发散？

为了回答这个问题，我们要看曲面 $r=R$ 在彭罗斯图中处于什么位置。首先，我们看静态区在 ${\mathbf{R}}^{1,4}$ 中的嵌入，它由 (4.19) 给出

$$X^0=\sqrt{R^2-r^2}\sinh (t/R)\mathrm{and}{X}^4=\sqrt{R^2-r^2}\cosh (t/R)$$

粗略看来，曲面 $r=R$ 对应于 $X^0=X^4=0$。但这未免过于草率。为看清这一点，我们考虑当 $r\to R$ 时会发生什么，为此把 $r=R(1-{ϵ}^2/2)$ 写成 $ϵ\ll 1$ 的形式。于是我们有

$$X^0\approx Rϵ\sinh (t/R)\text{ and }{X}^4\approx Rϵ\cosh (t/R)$$

现在我们可以令 $ϵ\to 0$，同时保持 $X^0$ 与 $X^4$ 有限，只要我们也令 $t\to \pm \infty$ 即可。为此，我们必须保证组合 $ϵe^{\pm t/R}$ 保持有限。这意味着我们可以把曲面 $r=R$ 与直线 $X^0=\pm X^4$ 等同起来。

现在我们把这一点转换到全局坐标中。这些坐标已在 (4.20) 中给出，

$$X^0=R\sinh (\tau /R)\mathrm{and}{X}^4=R\cosh (\tau /R)\cos \chi$$

其中 $\chi$ 是我们在 (4.39) 中引入的 ${\mathbf{S}}^3$ 上的极角。再经过一次到共形时间的映射 (4.38) 之后，我们发现直线 $X^0=\pm X^4$ 变为

$$\sin \eta =\pm \cos \chi \Rightarrow \chi =\pm (\eta -\pi /2)$$

但这恰恰就是彭罗斯图中那些作为生活在极点上的观测者之视界的对角线。

同样容易验证，静态区中的点 $r=0$ 对应于全局坐标中的北极 $\chi =0$，而且沿这条线有 $t=\tau$。

结论是：德西特时空的静态区 (4.40) 所提供的坐标只覆盖德西特时空的北部因果菱形，而 $r=R$ 处的坐标奇点恰好与依赖于观测者的过去和未来视界重合。

静态区坐标的一个优点是，它们清楚地显示出存在一个类时基灵向量$K={\partial }_t$。它把我们从一张等 t 曲面带到另一张等 t 曲面。但我们在4.3.1 节中已经论证过，德西特时空中并不存在整体的类时基灵向量场，因为在${\mathbf{R}}^{1,4}$中，基灵向量由(4.31)给出。借助彭罗斯图可以更直观地看出这一点。若把该基灵向量延拓到静态区之外，它的作用就如图所示。它只在北部因果菱形中是类时的且指向未来；在南部因果菱形中它同样是类时的，但指向过去；而在上下两个象限中，它则是类空基灵向量。

反德西特空间

反德西特空间的全局坐标为(4.23)，

$$d{s}^2=-{\cosh }^2\rho d{t}^2+R^{2}d{\rho }^2+R^2{\sinh }^2\rho d{\Omega }_2^2$$

其中 $\rho \in [0,+\infty )$。这一次，为了构造彭罗斯图，我们引入一个 ${}^{66}\mathrm{con}-$“共形径向坐标”ψ，其定义为

$$\frac{d\psi }{d\rho }=\frac{1}{\cosh \rho }$$

这与德西特时空的共形映射非常相似，只不过时间被换成了空间。其解为

$$\cos \psi =\frac{1}{\cosh \rho }$$

与德西特时空的分析有一处不同：由于 $\rho \in [0,\infty )$，共形坐标的取值范围是 $\psi \in [0,\pi /2)$。反德西特空间上的度规张量变为

$$d{s}^2=\frac{R^2}{{\cos }^2\psi }\left(-d{\tilde{t}}^2+d{\psi }^2+{\sin }^2\psi d{\Omega }_2^2\right)=\frac{R^2}{{\cos }^2\psi }\left(-d{\tilde{t}}^2+d{\Omega }_3^2\right)\text{\hspace{1em}(4.41)}$$

其中我们引入了无量纲的时间坐标 $\tilde{t}=t/R$。由此可知，反德西特度规张量共形等价于

$$d{\tilde{s}}^2=-d{\tilde{t}}^2+d{\psi }^2+{\sin }^2\psi d{\Omega }_2^2$$

其中，经过共形紧化之后，$\tilde{t}\in \mathsf{\Gamma }(-\infty ,+\infty )$，$\psi \in [0,\pi /2]$。由此得到的彭罗斯图如图 28 左图所示。它是一条无限长的带。位于 $\psi =0$ 处的左边缘并不是边界：它是空间原点，在那里 ${\mathbf{S}}^2$ 收缩为零尺度。相反，位于 $\psi =\pi /2$ 处的右边缘则是时空边界。

该边界标记为 I。用我们此前的记号来说，它应被视为 ${\mathbb{T}}^{-},{\mathbb{Z}}^{+}$ 与 $i^0$ 的组合，因为类光路径在此开始并结束，类空路径也是如此。如今该边界是类时的（它具有类空法向量），并且其拓扑为

$$\mathcal{I}=\mathbf{R}\times {\mathbf{S}}^2$$

其中 R 是时间因子。

图 28. AdS 的彭罗斯图。左图中，我们仍有一个无限的时间坐标；右图中，这一坐标也已被共形紧化。

借助彭罗斯图，我们可以立刻看出光线在有限的共形时间内就到达边界，这印证了我们在4.2.2 节中所做的计算。若要指定 AdS 中的物理，我们就必须说明边界上发生了什么。例如，图中画出的是一条光线在某一时刻径直从边界射出，随后在某个较晚的时刻被吸收。另一种选择是施加反射边界条件，使光线永远来回反弹。这样一来，反德西特空间就非常像一个盒子：有质量的粒子被困在内部，而无质量的粒子则能在边界上反弹。

用场论的语言来说，我们可以从某个 d = 3 维类空超曲面 Σ 上的初始数据出发，试图让它随时间演化。这是我们在物理学中通常的做法。但在 AdS 中，这些信息并不充分。原因在于，我们能找到 Σ 未来一侧与边界有因果联系的点。这意味着那里发生什么，取决于我们在边界上所做的选择。要指定边界上发生什么并不特别困难：例如，我们可以施加某种形式的反射边界条件，使一切都反弹回来。但这并不能改变我们必须指定某些东西这一事实，也正因如此，动力学演化并不由初始数据单独决定。用时髦的说法，我们说 AdS 不是整体双曲的：不存在可以在其上指定初始数据的柯西面。

AdS 是我们理解得最清楚的量子引力理论的舞台。事实证明，渐近 AdS 时空中的引力动力学，完全等价于一个生活在边界 I 上的量子场论。这一思想有许多名字，包括AdS/CFT 对应(AdS/CFT correspondence)、规范-引力对偶，或者干脆叫全息。

与我们其他的彭罗斯图不同，我们为 AdS 画的图仍然延伸到无穷远。我们可以做得更好：照例引入一个只取有限值的坐标，这次是针对时间

$$\tilde{t}=\tan \tau \Rightarrow d\tilde{t}=\frac{d\tau }{{\cos }^2\tau }$$

于是(4.41)中的度规变为

$$d{s}^2=\frac{R^2}{{\cos }^2\psi {\cos }^4\tau }\left(-d{\tau }^2+{\cos }^4\tau d{\Omega }_3^2\right)$$

其中 $\tau \in (-\pi /2,+\pi /2)$。现在我们看到，AdS 共形等价于

$$d{\tilde{s}}^2=-d{\tau }^2+{\cos }^4\tau \left(d{\psi }^2+{\sin }^2\psi d{\Omega }_2^2\right)$$

忽略空间部分 ${\mathbf{S}}^2$，我们可以把所得的彭罗斯图画成图 28 右侧的样子。此时空间部分 ${\mathbf{S}}^3$ 随时间膨胀和收缩，使彭罗斯图呈现出奇特的杏仁形状。同样，我们看到存在一个类时边界 $\mathcal{I},$，不过现在还能画出未来和过去的类时无穷远 $i^{\pm }$。这张图再次清楚地表明，光线在 AdS 中会来回反弹无穷多次。

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