38.4 费米子域

38.4 费米子域

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 复内积 · 正交群 · 酉群 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 对称群 · 群在集合上的作用

实验观察到的一个事实是，自旋为 $\frac{1}{2}$ 的基本粒子表现为费米子，并由费米子域描述。在非相对论量子场论中，这种自旋为 $\frac{1}{2}$ 的基本粒子原则上可以是玻色子，由第 38.3.3 节中的玻色子域描述。然而，在相对论量子场论中存在一个 a “自旋-统计定理”，它指出自旋为 $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$ 的域必须用反对易子量子化。这为观察到的自旋值与粒子统计之间的关联提供了解释，原因在于描述基本粒子的非相对论理论应当是相对论理论的低能极限。

关于辛群与酉群作用在 ${\mathcal{H}}_1$ 上的讨论，在 38.1 节中，对于描述费米子而非玻色子的、带厄米内积的单粒子态空间 ${\mathcal{H}}_1$ 的情形，有一个直接的类比。玻色子情形中无限维辛群作用（保持厄米内积的虚部）的类比，在费米子情形中是无限维正交群作用（保持厄米内积的实部）。多粒子态空间将是这个正交群的旋量表示的无限维版本。与玻色子情形一样，将存在一个保持完整厄米内积的无限维酉群，而我们感兴趣的各种对称群将是这个群的子群。

在 31.3 节中，我们已在有限维情形下看到，费米子相空间上的酉群作用如何通过湮灭算符与产生算符的同一方法，正如玻色子情形那样（把对易子改为反对易子），在费米子振子态空间上给出一个酉表示。将其应用于自由粒子薛定谔方程解的单粒子空间 ${\mathcal{H}}_1$ 的无限维情形，是通过取

$$\begin{array}{rl}{\theta }_j& \to \Psi (x)\text{or}A(p)\\ {\overline{\theta }}_j& \to \overline{\Psi }(x)\text{or}\overline{A}(p)\\ \{{\theta }_j,{\overline{\theta }}_k{\}}_{+}& ={\delta }_{jk}\to \{\Psi (x),\overline{\Psi }(x^{\prime }){\}}_{+}=\delta (x-x^{\prime })\text{or}\{A(p),\overline{A}(p^{\prime }){\}}_{+}=\delta (p-p^{\prime })\end{array}$$

量子化将旋量表示的构造从 31.3 节和 31.4 节推广到 ${\mathcal{H}}_1$ 情形，取

$$\begin{array}{rl}{a}_{Fj}& \to \hat{\Psi }(x)\text{or}a(p)\\ a_{Fj}^{†}& \to {\hat{\Psi }}^{†}(x)\text{or}{a}^{†}(p)\\ {}_{+}& ={\delta }_{jk}\to [\hat{\Psi }(x),{\hat{\Psi }}^{†}(x^{\prime }){]}_{+}=\delta (x-x^{\prime })\text{or}[a(p),a^{†}(p^{\prime }){]}_{+}=\delta (p-p^{\prime })\end{array}$$

${\theta }_j,{\overline{\theta }}_j$ 的二次组合给出相空间 $M$ 的正交变换的李代数。我们将再次关注向 $M={\mathcal{H}}_1$ 的推广，但针对非常特定的二次组合，它们对应于 ${\mathcal{H}}_1$ 的某些有限维酉变换李代数。量子化会将这些组合变为费米子场算符的二次组合，从而在费米子态空间上给出一个李代数表示。对于算符 $\hat{N}$（方程 38.3）、$\hat{X}$（方程 38.5）、$\hat{\mathbf{P}}$（方程 38.11）、Lb（方程 38.12）和 $\hat{\mathbf{S}}$（方程 38.14），我们得到相同的公式，但其中的场算符是反交换的。这些分别给出 $\mathcal{U}(1),\tilde{\mathcal{U}}(n),{\mathbf{R}}^3$ 平移和 SO(3) 旋转的李代数在多粒子态空间上的酉表示。对于自由粒子，这些算符与哈密顿算子交换，并在态空间上作为对称性作用。

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