向量表示 (vector representation)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§6.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

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§6.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

列向量上的向量表示 $({\pi }_{\mathrm{vector}},{\mathbf{R}}^3)$ 与反对称矩阵上的伴随表示 $(\mathrm{Ad},\mathfrak{so}(3))$ 之间的同构由下式给出

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对于列向量上的向量表示，${\pi }_{\mathrm{vector}}(g)=g$ 且 ${\pi }_{\mathrm{vector}}^{\prime }(X)=X$，其中 $X$ 是反对称 $3\times 3$ 矩阵，$g=e^X$ 是正交 $3\times 3$ 矩阵。二者均通过通常的矩阵乘法作用于列向量。

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The isomorphism between the vector representation $({\pi }_{\mathrm{vector}},{\mathbf{R}}^3)$ on column vectors and the adjoint representation $(\mathrm{Ad},\mathfrak{so}(3))$ on skew-symmetric matrices is given by

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For the vector representation on column vectors, ${\pi }_{\mathrm{vector}}(g)=g$ and ${\pi }_{\mathrm{vector}}^{\prime }(X)=X$, where $X$ is a skew-symmetric $3\times 3$ matrix and $g=e^X$ is an orthogonal $3\times 3$ matrix. Both act on column vectors by ordinary matrix multiplication.

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§7.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

它对这三个群而言都是伴随表示(adjoint representation)；对 $\mathrm{SO}(3)$ 而言，该表示与向量表示(vector representation)同构。

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This was the adjoint representation for all three groups; for $\mathrm{SO}(3)$, it is isomorphic to the vector representation.

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从这个意义上说，自旋表示(spin representation)比向量表示(vector representation)更为基本：仅凭向量表示无法确定自旋表示，而已知 $\mathrm{SU}(2)$ 的旋量表示，则可以构造出 $\mathrm{SO}(3)$ 的向量表示。我们通过把 ${\mathbb{R}}^3$ 与 $2\times 2$ 复矩阵空间对应起来，看到了这一点：方程 6.5 表明，${\mathbb{R}}^3$ 中的旋转对应于旋量表示矩阵的共轭作用。另一种说明方式用到张量积，见第 9.4.3 节。把旋量视为基本对象，意味着不再只用实数来描述三维几何。向量表示是 $\mathrm{SO}(3)$ 或 $\mathrm{Spin}(3)$ 的实表示，而旋量表示是复表示。

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态在时刻 $t$ 的时间演化由同一个 $SU(2)$ 元素给出。在向量表示(vector representation)中，该元素对应于绕轴 $\mathbf{w}=\frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}$ 转过角度

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The time evolution of a state at time $t$ is given by the same $SU(2)$ element that, in the vector representation, rotates about the axis $\mathbf{w}=\frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}$ through an angle

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [方程 6.5](../chapter-06/02-spin-groups-in-three-and-four-dimensions#equation-6-5)
• [第 9.4.3 节](../chapter-09/04-tensor-products-of-representations#section-9-4-3)
• [equation 6.5](../chapter-06/02-spin-groups-in-three-and-four-dimensions#equation-6-5)
• [section 9.4.3](../chapter-09/04-tensor-products-of-representations#section-9-4-3)

来源覆盖、定位与记录

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