9.5 守恒律与能量–应力张量

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电荷守恒

考虑时空中一个一般的四维区域$\Omega$，其边界为三维曲面$\partial \Omega$。四维高斯定理（见第17章）断言，对于任意向量场$A^{\alpha }$

$${\iiint }_{\Omega }{A}_{,\alpha }^{\alpha }\mathrm{d}{x}^1\mathrm{d}{x}^2\mathrm{d}{x}^3\mathrm{d}{x}^4={\iiint }_{\partial \Omega }{A}^{\alpha }\mathrm{d}{S}_{\alpha }.\text{\hspace{1em}(9.54)}$$

若 $\partial \Omega$ 具有参数形式 $x^{\alpha }=x^{\alpha }({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$，则向量 3-体积元 $\mathrm{d}{S}_{\alpha }$ 由下式定义

$$\mathrm{d}{S}_{\alpha }={ϵ}_{\alpha \beta \gamma \delta }\frac{\partial x^{\beta }}{\partial {\lambda }_1}\frac{\partial x^{\gamma }}{\partial {\lambda }_2}\frac{\partial x^{\delta }}{\partial {\lambda }_3}\mathrm{d}{\lambda }_1\mathrm{d}{\lambda }_2\mathrm{d}{\lambda }_3,$$

其中四维 埃普西龙 符号 ${ϵ}_{\alpha \beta \gamma \delta }$ 由式 (8.21) 定义。由于 埃普西龙 符号相对于行列式为 1 的基变换按张量方式变换，因此若我们限制于正洛伦兹变换，它就是一个四维张量，并且由此可知 $d{S}_{\alpha }$ 是一个四维向量。此外，$\mathrm{d}{S}_{\alpha }$ 与三维曲面 $\partial \Omega$ 正交，因为任何与三维曲面相切的四维向量 $X^{\alpha }$ 都有线性分解

$$X^{\alpha }=\sum _{i=1}^3{c}_i\frac{\partial x^{\delta }}{\partial {\lambda }_i},$$

而由${ϵ}_{\alpha \beta \gamma \delta }$的完全反对称性可知

$$\mathrm{d}{S}_{\alpha }{X}^{\alpha }=\sum _{i=1}^3{c}_i{ϵ}_{\alpha \beta \gamma \delta }\frac{\partial x^{\alpha }}{\partial {\lambda }_i}\frac{\partial x^{\beta }}{\partial {\lambda }_1}\frac{\partial x^{\gamma }}{\partial {\lambda }_2}\frac{\partial x^{\delta }}{\partial {\lambda }_3}=0.$$

四维高斯定理是众所周知的三维结果的自然推广。在第17章中将会清楚，该定理与 ${\lambda }_i$ 在 $\partial \Omega$ 上的参数化选择无关。

一个三维曲面 $\mathcal{S}$ 称为类空的，如果其正交三维体积元 $\mathrm{d}{S}_{\alpha }$ 是一个类时四维余向量。采用这一术语的原因是，与三个线性无关的类空四维向量正交的四维向量必定是类时的。典型的类空三维曲面由给定惯性系中的方程 $t$ 为常数给出。参数化地，该曲面可由 $x={\lambda }_1,y={\lambda }_2,z={\lambda }_3$ 给出，其三维体积元为

$$\mathrm{d}{S}_{\alpha }={ϵ}_{\alpha 123}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=(0,0,0,-\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z).$$

给定一个电流四维向量 $J^{\alpha }=(\mathbf{j},c\rho )$，满足无散度条件 $J_{\mathbf{\Phi },\alpha }^{\alpha }=0$，自然可将任意类空三维曲面上的“总电荷”定义为

$$Q=-\frac{1}{c}{\iiint }_{\mathcal{S}}{J}^{\alpha }\mathrm{d}{S}_{\alpha },\text{\hspace{1em}(9.55)}$$

因为当$\mathcal{S}$是$t=\mathrm{const}.$型的曲面时，这给出预期的$Q=\int \int \int \rho dx\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

设 $\Omega$ 是由两个具有无限延展的类空曲面 $s$ 与 $S^{\prime }$ 所围成的四维体积。利用四维高斯定理以及无散度条件 $J_{,\alpha }^{\alpha }=0$，我们得到电荷守恒定律，

$$Q^{\prime }-Q=\frac{1}{c}\left({\iiint }_S{J}^{\alpha }\mathrm{d}{S}_{\alpha }-{\iiint }_{S^{\prime }}{J}^{\alpha }\mathrm{d}{S}_{\alpha }\right)=\frac{1}{c}{\iiint }_{\Omega }{J}_{,\alpha }^{\alpha }\mathrm{d}{x}^1\mathrm{d}{x}^2\mathrm{d}{x}^3\mathrm{d}{x}^4=0$$

其中作了通常的物理假设，即四维电流$J^{\alpha }$在空间无穷远处$|\mathbf{r}|\to \infty$消失。这意味着对∂ $S$上的三维曲面积分没有来自类时“无穷远侧面”的贡献。注意，在闵可夫斯基空间中，$\mathrm{d}{S}^{\alpha }$在边界的类空部分$s$和$S^{\prime }$上被要求为“指向内部”，这与三维欧几里得空间中更常见的指向外部的要求相反。

如例 9.3 和 9.4 节所示，此结果有逆命题：给定一个守恒量 $Q,$ ，通常称为“荷”，则 $J^{\alpha }=(\mathbf{j},c\rho )$ ，其中 $\rho$ 是荷密度，$j$ 是荷通量密度，它们构成无散度四维向量场的分量，$J_{,\alpha }^{\alpha }=0$

能量–应力张量

现在假设系统的总四维动量 $P^{\mu }$ 守恒。将其分量视为四个分别守恒的“荷”，我们便被引导去提出存在一个量 $T^{\mu \nu }$，使得

$$T_{,\nu }^{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(9.56)}$$

与任意类空曲面$S$相关联的总四维动量由下式给出

$$P^{\mu }=-\frac{1}{c}{\iiint }_S{T}^{\mu \nu }\mathrm{d}{S}_{\nu }.\text{\hspace{1em}(9.57)}$$

为确保式 (9.56) 是一个张量方程，自然假设 $T^{\mu \nu }$ 是一个四维张量场，称为系统的 能量–应力张量(energy–stress tensor)。这还将保证由式 (9.57) 定义的量 $P^{\mu }$ 是一个四维向量。对于曲面 $t=const.$，我们有

$$P^{\mu }=\left(\mathbf{p},\frac{E}{c}\right)=\frac{1}{c}{\int }_{t=\text{ const. }}{T}^{\mu 4}{d}^{3}x$$

而能量–应力张量 $T^{\mu \nu }$ 的分量的物理诠释是

$$T^{44}=\text{ energy density },$$ $$T^{4i}=\frac{1}{c}\times \text{ energy flux density },$$ $$T^{i4}=c\times \text{ momentum density },$$

$T^{ij}j$ 是动量 $i$ 分量的通量的分量，即应力张量。

通常要求 $T^{\mu \nu }$ 是对称张量 $T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }$ 的分量。支持这一点的论据围绕角四维动量的概念，对于连续的物质分布，其定义为

$$M^{\mu \nu }={\iiint }_S{x}^{\mu }\mathrm{d}{P}^{\nu }-x^{\nu }\mathrm{d}{P}^{\mu }\equiv -\frac{1}{c}{\iiint }_S(x^{\mu }{T}^{\nu \rho }-x^{\nu }{T}^{\mu \rho })\mathrm{d}{S}_{\rho }=-M^{\nu \mu }.$$

角四维动量$M^{\mu \nu }$的守恒等价于

$$0=(x^{\mu }{T}^{\nu \rho }-x^{\nu }{T}^{\mu \rho }{)}_{,\rho }={\delta }_{\rho }^{\mu }{T}^{\nu \rho }-{\delta }_{\rho }^{\nu }{T}^{\mu \rho }=T^{\nu \mu }-T^{\mu \nu }.$$

例 9.4

考虑一种具有四维速度 $V^{\mu }=\gamma (\mathbf{v},c)$ 的流体，其中 $\mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{r},t)$ 。设局部静止质量密度（在瞬时静止参考系中测量）为 $\rho (\mathbf{r},t)$ 。在流体任意一点的瞬时静止参考系中，能量密度由 $\rho c^2$ 给出，并且由于在瞬时静止参考系中不存在能量通量，我们可以令 $T^{4i}=0$ 。由 $T^{\mu \nu }$ 的对称性，动量密度 $T^{i4}$ 也将为零，而能量–应力张量具有如下形式

$$T^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & T_{ij}& & 0\\ & & & 0\\ 0& 0& 0& \rho c^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{P}_1& & & 0\\ & P_2& & 0\\ & & P_3& 0\\ 0& 0& 0& \rho c^2\end{array}\right),$$

其中 $3\times 3$ 矩阵 $[T_{ij}]$ 的对角化可通过坐标轴的旋转实现。$P_i$ 称为该点处的 主压力(principal pressure)。若它们全部相等，即 $P_1=P_2=P_3=P$，则称该流体为 理想流体(perfect fluid)，而 $P$ 就简称为压力。在这种情况下

$$T^{\mu \nu }=\left(\rho +\frac{1}{c^2}P\right)V^{\mu }{V}^{\nu }+P{g}^{\mu \nu },\text{\hspace{1em}(9.58)}$$

可以通过验证该方程在任意点处的 i.r.f. 中成立来检验，在该参考系中 $V^{\mu }=(0,0,0,c)$ 。由于方程 ( 9.58 ) 是四维张量方程，它必须在所有惯性系中成立。

随文练习

验证守恒定律 $T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0$ 在 $v\ll c$ 下约化为连续性方程和欧拉方程

$$\begin{array}{c}\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla .(\rho \mathbf{v})=0,\\ \rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot \nabla )\mathbf{v}\right)=-\nabla P.\end{array}$$

例 9.5

电磁场的能量–应力张量由下式给出

$$T^{\mu \nu }=\frac{1}{4\pi }(F_{\rho }^{\mu }{F}^{\nu \rho }-\frac{1}{4}{g}^{\mu \nu }{F}_{\rho \sigma }{F}^{\rho \sigma })=T^{\nu \mu }.\text{\hspace{1em}(9.59)}$$

因此，电磁场的能量密度为

$$ϵ=T^{44}=\frac{1}{16\pi }\left(4F_i^4{F}^{4i}-g^{44}{F}_{\rho \sigma }{F}^{\rho \sigma }\right)=\frac{1}{16\pi }\left(4{\mathbf{E}}^2+2({\mathbf{B}}^2-{\mathbf{E}}^2)\right)=\frac{{\mathbf{E}}^2+{\mathbf{B}}^2}{8\pi }$$

而能量通量密度具有分量

$$c{T}^{4i}=\frac{c}{4\pi }{F}_j^4{F}^{ij}=\frac{c}{4\pi }{E}_j{ϵ}_{ijk}{B}_k=\frac{c}{4\pi }(\mathbf{E}\times \mathbf{B}{)}_i.$$

向量$\mathbf{S}=\frac{c}{4\pi }(\mathbf{E}\times \mathbf{B})$称为坡印廷矢量(Poynting vector)。空间分量$T_{ij}$

被称为麦克斯韦应力张量(Maxwell stress tensor)

$$\begin{array}{c}{T}^{ij}=T_{ij}=\frac{1}{16\pi }\left(4(F_{ik}{F}_j^k+F_{i4}{F}_j^4)-{\delta }_{ij}2({\mathbf{B}}^2-{\mathbf{E}}^2)\right)\\ =\frac{1}{4\pi }\left(-E_i{E}_j-B_i{B}_j+\frac{1}{2}{\delta }_{ij}({\mathbf{E}}^2+{\mathbf{B}}^2)\right).\end{array}$$

电磁场在类空曲面 $S$ 上的总四维动量由式 (9.57) 计算。

随文练习

证明电磁场的平均压强 $P=\frac{1}{3}\sum T_{ii}$ 等于 $\frac{1}{3}\times$ 能量密度。证明这也可由 $T^{\mu \nu }$ 无迹这一事实推出，$T^{\mu }{}_{\mu }=0$

关于相对论经典场论的进一步进展，读者可参阅 [4, 5]。

习题

习题 9.24

证明：作为麦克斯韦方程组的推论，

$$T_{\alpha ,\beta }^{\beta }=-\frac{1}{c}{F}_{\alpha \gamma }{J}^{\gamma }$$

其中 $T_{\alpha }^{\beta }$ 是电磁能量–应力张量，见式 (9.59)，并且当不存在电荷和电流时，它满足式 (9.56)。证明该方程的 $\alpha =4$ 分量具有如下形式

$$\frac{\partial ϵ}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{S}=-\mathbf{j}\cdot \mathbf{E}$$

其中 $\mathcal{E}$ 是能量密度，$S$ 是坡印廷矢量。从物理上解释这个方程。

习题 9.25

对于平面波，问题9.23，证明

$$T_{\alpha \beta }=ϵn_{\alpha }{n}_{\beta }$$

其中 $ϵ=E^2/4\pi$ 和 $n^{\alpha }=(\mathbf{n},1)$ 是指向波传播方向的零模向量。波对垂直于波传播路径放置的壁面施加多大压强？