18.9 宇宙学

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宇宙学是把宇宙作为一个整体来研究[18]。通常假定，在最广泛的观测尺度上，宇宙是均匀且各向同性的——没有特定的位置或方向被 突出。假设广义相对论在这一整体尺度上适用，则具有均匀且各向同性空间截面的度量称为平坦罗伯逊–沃克模型(Robertson–Walker model)。其中最简单的是所谓的平坦模型

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{s}^2& =a^2(t)(\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2)-c^2\mathrm{d}{t}^2\\ & =a^2(t)(\mathrm{d}{r}^2+r^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2))-(\mathrm{d}{x}^4{)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(18.102)}$$

其中“平坦”一词指的是3-面 $t$ 为常数，而非整个度量。设定

$${\epsilon }^1=a(t)\mathrm{d}r,{\epsilon }^2=a(t)r\mathrm{d}\theta ,{\epsilon }^3=a(t)r\sin \theta \mathrm{d}\varphi ,{\epsilon }^4=c\mathrm{d}t,$$

第一个结构关系蕴含，正如在球对称中那样，

$${\omega }_{12}=-\frac{1}{ar}{\epsilon }^2,{\omega }_{13}=-\frac{1}{ar}{\epsilon }^3,{\omega }_{23}=-\frac{\cot \theta }{ar}{\epsilon }^3$$ $${\omega }_{14}=\frac{\dot{a}}{ca}{\epsilon }^1,{\omega }_{24}=\frac{\dot{a}}{ca}{\epsilon }^2,{\omega }_{34}=\frac{\dot{a}}{ca}{\epsilon }^3$$

而在第二个结构关系中进行代换，如同在施瓦西情形中一样，

$${\rho }_{12}=\frac{2{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2}{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^2,{\rho }_{13}=\frac{2{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2}{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^3,{\rho }_{23}=\frac{2{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2}{\epsilon }^2\wedge {\epsilon }^3$$ $${\rho }_{14}=-\frac{2\ddot{a}}{c^{2}a}{\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^4,{\rho }_{24}=-\frac{2\ddot{a}}{c^{2}a}{\epsilon }^2\wedge {\epsilon }^4,{\rho }_{34}=-\frac{2\ddot{a}}{c^{2}a}{\epsilon }^3\wedge {\epsilon }^4.$$

因此，唯一非零的曲率张量分量是

$$R_{1212}=R_{1313}=R_{2323}=\frac{{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2},R_{1414}=R_{2424}=R_{3434}=-\frac{\ddot{a}}{c^{2}a}.$$

非零的里奇张量分量$\begin{array}{r}{R}_{\mu \nu }={\sum }_{i=1}3R_{i\mu i\nu }-R_{4\mu 4\nu }\end{array}$为

$$R_{11}=R_{22}=R_{33}=\frac{1}{c^2}\left(\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{2{\dot{a}}^2}{a^2}\right),R_{44}=-\frac{3\ddot{a}}{c^2{a}^2},$$

而爱因斯坦张量为

$$G_{11}=G_{22}=G_{33}=-\frac{1}{c^2}\left(\frac{2\ddot{a}}{a}+\frac{{\dot{a}}^2}{a^2}\right),G_{44}=\frac{3{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2}.$$

闭的罗伯逊–沃克模型以类似方式定义，但空间截面 $t$ 为常数时是三维球面：

$$\mathrm{d}{s}^2=a^2(t)\left[\mathrm{d}{\chi }^2+{\sin }^2\chi \left(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2\right)\right]-c^2\mathrm{d}{t}^2.\text{\hspace{1em}(18.103)}$$

结合 18.4 中的分析和上述分析，我们设定

$${\epsilon }^1=a\mathrm{d}x,{\epsilon }^2=a\sin \chi \mathrm{d}\theta ,{\epsilon }^3=a\sin \chi \sin \theta \mathrm{d}\varphi ,{\epsilon }^4=c\mathrm{d}t.$$

各截面 $t=const.$ 均为具有体积的紧致空间

$$\begin{array}{l}V(t)=\int {\epsilon }^1\wedge {\epsilon }^2\wedge {\epsilon }^3\\ =\int a^3(t){\sin }^2\chi \sin \theta \mathrm{d}\chi \wedge \mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d}\varphi \\ =a^3(t){\int }_0^{\pi }{\sin }^2\chi \mathrm{d}\chi {\int }_0^{\pi }\sin \theta \mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\varphi \\ =2{\pi }^2{a}^3(t).\end{array}\text{\hspace{1em}(18.104)}$$

我们发现 ${\omega }_{i4}$ 与平坦情形中相同，而

$${\omega }_{12}=-\frac{\cot \chi }{a}{\epsilon }^2,{\omega }_{13}=-\frac{\cot \chi }{a}{\epsilon }^3,{\omega }_{23}=-\frac{\cot \theta }{a\sin \chi }{\epsilon }^3.$$

第二个结构关系导致与平坦情形相同的${\rho }_{i4}$，而另一个曲率形式的系数中则出现了一个附加项${\dot{a}}^2/c^2{a}^2$，

$${\rho }_{12}=\left(\frac{{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2}+\frac{2{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2}\right),\text{ etc. }$$

最后，所谓的开放罗伯逊–沃克模型，具有形式

$$\mathrm{d}{s}^2=a^2(t)\left[\mathrm{d}{\chi }^2+{\sinh }^2\chi (\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)\right]-c^2\mathrm{d}{t}^2,\text{\hspace{1em}(18.105)}$$

对于${\omega }_{ij}$，产生类似的表达式，其中双曲函数取代三角函数，并且

$${\rho }_{12}=\left(\frac{{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2}-\frac{2{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2}\right),\text{ etc. }$$

总之，三个模型中非零的曲率张量分量可以写成

$$\begin{array}{l}{R}_{1212}=R_{1313}=R_{2323}=\frac{{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2}+\frac{k}{a^2},\\ R_{1414}=R_{2424}=R_{3434}=-\frac{\ddot{a}}{c^{2}a},\end{array}$$

其中 $k=0$ 指平坦模型，$k=1$ 指闭模型，$k=-1$ 指开模型。因此爱因斯坦张量为

$$G_{11}=G_{22}=G_{33}=-\frac{1}{c^2}\left(\frac{2\ddot{a}}{a}+\frac{k{\dot{a}}^2}{a^2}\right),G_{44}=\frac{3{\dot{a}}^2}{c^2{a}^2},$$

而爱因斯坦场方程 $G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$ 表明能量–应力张量是理想流体的能量–应力张量 $\begin{array}{r}T=P(t){\sum }_{i=1}^3{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^i+\rho (t)c^2{\epsilon }^4\otimes {\epsilon }^4\end{array}$（见例 9.4），其中

$$\frac{{\dot{a}}^2}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2},\text{\hspace{1em}(18.106)}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3\frac{P}{c^2}).\text{\hspace{1em}(18.107)}$$

对式 (18.106) 求时间导数并代入式 (18.107)，得到

$$\dot{\rho }+\frac{3\dot{a}}{a}\left(\rho +\frac{P}{c^2}\right)=0.\text{\hspace{1em}(18.108)}$$

随文练习

证明方程 (18.108) 等价于比安基恒等式 $T^{4\nu }{}_{;\nu }=0$

若我们令 $P=0$ ，即一种有时被称为 尘埃(dust) 的物质形式，则式 (18.108) 意味着 $\mathrm{d}(\rho a^3)/\mathrm{d}t=0$ ，并且密度具有演化

$$\rho (t)={\rho }_0{a}^{-3}({\rho }_0=\text{ const. }).\text{\hspace{1em}(18.109)}$$

这表明，利用式 (18.104)，对于闭宇宙，宇宙的总质量 $M=\rho (t)V(t)={\rho }_{0}2{\pi }^2$ 是有限且恒定的。将式 (18.109) 代入式 (18.108)，我们得到 弗里德曼方程(Friedmann equation)

$${\dot{a}}^2=\frac{8\pi G{\rho }_0}{3}{a}^{-1}-k{c}^2.\text{\hspace{1em}(18.110)}$$

定义重标度变量是方便的

$$\alpha =\frac{3c^2}{8\pi G{\rho }_0}a,y=\frac{3c^3}{8\pi G{\rho }_0}t$$

以及$Eq.$。式(18.110)变为

$${\left(\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}y}\right)}^2=\frac{1}{\alpha }-k.\text{\hspace{1em}(18.111)}$$

解如下。

$k=0:$：容易验证，在时间坐标原点任意选取的情况下，

$$\alpha ={\left(\frac{9}{4}\right)}^{1/3}{y}^{2/3}⟹a(t)=(6\pi G{\rho }_0{)}^{1/3}{t}^{2/3},\rho =\frac{1}{6\pi G{t}^2}.$$

该解被称为爱因斯坦–德西特宇宙(Einstein–de Sitter universe)。

$k=1:$：方程（18.111）最好以参数形式求解

$$\alpha ={\sin }^2\eta ,y=\eta -\sin \eta \cos \eta$$

在$\alpha -\eta$平面中的一条摆线，它从$\alpha =0,\eta =0.$开始，在$\eta =\pi /2$处升至最大值，然后在$\eta =\pi$处重新塌缩为零。这种行为通常被称为振荡宇宙，但这个术语选择得并不恰当，因为没有理由期望宇宙能够从$a=0$处的奇点“反弹”出来，在那里曲率和密度都是无限的。

$k=-1$：该解以参数形式表示为 $\alpha ={\sinh }^2\eta ,y=\sinh \eta \cosh \eta -\eta$，当 $\eta \infty$ 时无限展开

这些模型统称为弗里德曼模型(Friedmann model)，其中爱因斯坦–德西特模型作为一种临界情形，将闭模型与开模型区分开来（见图18.5）。

图 18.5 弗里德曼宇宙学模型

观测宇宙学仍在试图确定这些模型中哪一个最接近我们实际宇宙的表示，但大多数证据支持开放模型。

习题

习题 18.28

证明对于总质量 $M$ 的闭的弗里德曼模型，最大半径在 $t=2GM/3c^3$ 处达到，其值为 $a_{\max }=4GM/3\pi c^2$

习题 18.29

证明充满辐射的宇宙中，$\begin{array}{r}P=\frac{1}{3}\rho \end{array}$ 满足 $\rho \propto a^{-4}$，且 $k=0$ 时的时间演化为 $a\propto t^{1/2}$。假设辐射为黑体，$\rho =a_S{T}^4$，其中 $a_S=7.55\times 10^{-15}\mathrm{erg}{\mathrm{cm}}^{-3}{\mathrm{K}}^{-4}$，证明宇宙温度随时间演化为

$$T={\left(\frac{3c^2}{32\pi G{a}_S}\right)}^{1/4}{t}^{-1/2}=\frac{1.52}{\sqrt{t}}\mathrm{K}(t\text{ in seconds }).$$

习题 18.30

考虑两个径向光信号（零测地线），它们在时刻 $t_0$ 和 $t_0+\Delta t_0$ 被坐标空间原点接收到，并在时刻 $t=t_1<t_0$ 从 $\chi ={\chi }_1(\mathrm{or}r=r_1$（在平坦模型的情形下）发出。通过比较接收与发射之间的固有时，证明在膨胀宇宙（$a$($t$) 递增）的情形下，观测者经历由下式给出的红移

$$1+z=\frac{\Delta t_0}{\Delta t_1}=\frac{a(t_0)}{a(t_1)}.$$

习题 18.31

如同上一问题中那样考虑光信号，证明在爱因斯坦–德西特宇宙中，位于 $r=0.$ 处的观测者在时刻 $t=t_0$ 无法看到任何径向坐标为 $r>r_H=3c{t}_0$ 的事件。证明包含在该半径内的质量，称为 粒子视界(particle horizon)，由 $M_H=6c^3{t}_0/G$ 给出