18.5 测地偏离方程

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我们现在给出曲率张量的几何解释，这一解释随后将用于引力场的测量（见 18.8 节）。设 $\gamma :I\times J\to M.$，其中 $I=[t_1,t_2]$ 与 $J=[{\lambda }_1,{\lambda }_2]$ 是实直线的闭区间，为 $M$ 上的一族单参数曲线。我们将假定映射 $\gamma$ 到 $I^{\prime }\times J^{\prime };$ 的限制，其中 $I^{\prime }$ 与 $J^{\prime }$ 分别是开区间 $(t_1,t_2)$ 与 $({\lambda }_1,{\lambda }_2)$，是 $M$ 的嵌入二维子流形。我们把由 ${\gamma }_{\lambda }(t)=\gamma (t,\lambda )$ 定义的每个映射 ${\gamma }_{\lambda }:I\to M$ 视为由 $\lambda =\mathrm{const}$ 表示的曲线，并把 $t$ 视为沿该曲线的参数。若满足以下条件，则称曲线族 $\gamma$ 是从 $p$ 到 $q$ 的：

$$p=\gamma (t_1,\lambda ),q=\gamma (t_2,\lambda )$$

对于所有 ${\lambda }_1\le \lambda \le {\lambda }_2$

单参数族的曲线之切向量构成二维子流形 $\gamma (I^{\prime }\times J^{\prime })$ 上的一个向量场 $X$。若这些曲线全被一个坐标卡 $(U;x^i)$ 覆盖，则

$$X=\frac{\partial {\gamma }^i(t,\lambda )}{\partial t}\frac{\partial }{\partial x^i}\text{ where }{\gamma }^i(t,\lambda )=x^i(\gamma (t,\lambda )).$$

由下式定义的联络向量场 $Y$

$$Y=\frac{\partial {\gamma }^i(t,\lambda )}{\partial \lambda }\frac{\partial }{\partial x^i}$$

是连接具有相同参数值的点的曲线的切向量场，$t=\mathrm{const}.$。（见图 18.1）。向量场 $Y$ 沿曲线 ${\gamma }_{\lambda }$ 的协变导数由下式给出

$$\begin{array}{rl}& \frac{D{Y}^i}{\partial t}\equiv \frac{\partial Y^i}{\partial t}+{\Gamma }_{jk}^i{Y}^j{X}^k\\ & =\frac{{\partial }^2{\gamma }^i}{\partial t\partial \lambda }+{\Gamma }_{jk}^i\frac{\partial {\gamma }^j}{\partial \lambda }\frac{\partial {\gamma }^k}{\partial t}\\ & =\frac{{\partial }^2{\gamma }^i}{\partial \lambda \partial t}+{\Gamma }_{jk}^i\frac{\partial {\gamma }^k}{\partial t}\frac{\partial {\gamma }^j}{\partial \lambda }.\end{array}$$

图 18.1 单参数测地线族的切向量与联络向量

因此

$$\frac{D{Y}^i}{\partial t}=\frac{D{X}^i}{\partial \lambda }.\text{\hspace{1em}(18.44)}$$

或者，我们可以写成

$$D_{X}Y=D_{Y}X.\text{\hspace{1em}(18.45)}$$

若 $A=A^i{\partial }_{x^i}$ 是 $U$ 上的任意向量场，则

$$\begin{array}{c}(\frac{D}{\partial t}\frac{D}{\partial \lambda }-\frac{D}{\partial \lambda }\frac{D}{\partial t})A^i=\frac{D}{\partial t}\left(A_{;j}^i{Y}^j\right)-\frac{D}{\partial \lambda }\left(A_{;j}^i{X}^j\right)\\ =A_{;jk}^i{Y}^j{X}^k+A_{;j}^i\frac{D{Y}^j}{\partial t}-A_{;jk}^i{X}^j{Y}^k-A_{;j}^i\frac{D{X}^j}{\partial \lambda }.\end{array}$$

由式 (18.44) 和 里奇 恒等式 (18.28)

$$(\frac{D}{\partial t}\frac{D}{\partial \lambda }-\frac{D}{\partial \lambda }\frac{D}{\partial t})A^i=R_{ajk}^i{A}^a{X}^j{Y}^k.\text{\hspace{1em}(18.46)}$$

设 $M$ 为伪黎曼流形，$\gamma (\lambda ,t)$ 为单参数测地线族，使得测地线 $\lambda =\mathrm{const}$ 均以 $t$ 为仿射参数，

$$D_{X}X=\frac{D{X}^i}{\partial t}=0,$$

所选取的参数化使所有测地线具有相同的归一化，$g(X,X)=\pm 1$ 或 0。于是可知 $g(X,Y)$ 沿每条测地线为常数，因为

$$\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial t}(g(X,Y))=D_X(g(X,Y))=(D_{X}g)(X,Y)+g(D_{X}X,Y)+g(X,D_{X}Y)\\ =g(X,D_{Y}X)\text{ by (18.45) }\\ =\frac{1}{2}{D}_Y(g(X,X))=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial \lambda }g(X,X)=0.\end{array}$$

因此，如果切向量与联络向量在单参数族的测地线上初始时正交，$g(X_p,Y_p)=0$，那么它们沿该测地线始终正交。

在式 (18.46) 中令 $A^i=X^i$ —— 这是可行的，因为只需将 $A^i$ 用 $t$ 和 $\lambda$ 表示（见习题 18.14）。借助式 (18.44)，我们有

$$\frac{D}{\partial t}\frac{D{Y}^i}{\partial t}=R_{ajk}^i{X}^a{X}^j{Y}^k,\text{\hspace{1em}(18.47)}$$

称为测地偏离方程(equation of geodesic deviation)。对于两条测地线，分别由常数$\lambda$和$\lambda +\delta \lambda$标记，设$\delta {\mathbf{x}}^i$为切向量

$$\delta x^i\frac{\partial {\gamma }^i}{\partial \lambda }\delta \lambda =Y^i\delta \lambda .$$

对于趋于零的 $\Delta \lambda$，通常将 $\delta {\mathbf{x}}^i$ 视为“无穷小分离向量”。由于 $\delta \lambda$ 沿测地线为常数，我们有

$$\delta {\ddot{x}}^i=R_{ajk}^i{X}^a{X}^j\delta x^k\text{\hspace{1em}(18.48)}$$

其中 $\cdot \equiv D/\partial t$。因此 ${R^i}_{jkl}$ 度量了测地线之间的相对“加速度”。

问题

习题 18.14

方程 (18.46) 严格说来只对向量场 $A$ 得到了证明。证明它对分量 $A^i(t,\lambda )$ ) 仅定义在单参数曲线族 $\gamma$ 上的向量场同样成立。