13.3 线性泛函

English

正交子空间

两个向量$u,v\in H$正交(orthogonal)指$⟨u\mid v⟩=0$，记作$u\perp v$，如果$V$是$\mathcal{H}$的子空间，我们可以构造正交补(orthogonal complement)

$$V^{\perp }=\{u\mid u\perp v\text{对全体}v\in V\}$$

定理 13.7 · 正交补是闭子空间 (The orthogonal complement is a closed subspace)

如果$V$是$\mathcal{H}$的子空间，那么$V^{\perp }$也是子空间

证明

$V^{\perp }$ 显然是一个向量子空间，因为 $v,v^{\prime }\in V^{\perp }$

$$⟨\alpha v+\beta v^{\prime }|u⟩=\overline{\alpha }⟨v|u⟩+\overline{\beta }⟨v^{\prime }|u⟩=0$$

对于所有 $u\in V$ 。空间 $V^{\perp }$ 是闭的，因为若 $v_n\to v$ ，其中 $v_n\in V^{\perp }$ ，则

$$⟨v\mid u⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }⟨v_n\mid u⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0$$

对于所有 $u\in V$。因此 $v\in V^{\perp }$

定理 13.8 · 正交分解与投影定理 (Orthogonal decomposition and projection theorem)

如果$V$是希尔伯特空间$\mathcal{H}$的子空间那么任意$u\in \mathcal{H}$有唯一分解

$$u=u^{\prime }+u^{\prime \prime }\text{其中}{u}^{\prime }\in V,u^{\prime \prime }\in V^{\perp }$$

证明

本定理证明的思路是找出 $V$ 中“最接近 $u$ 的元素。正如在欧几里得空间中一样，这就是向量 $u$ 到子空间 $V$ 的正交投影。设

$$d=\inf \{\Vert u-v\Vert \mid v\in V\}$$

而 $v_n\in V$ 是一个向量序列，使得 $\Vert u-v_n\Vert \to d.$。序列 $\{v_n\}$ 是柯西序列，因为若在平行四边形定律式 (13.2) 中令 $\begin{array}{r}x=u-\frac{1}{2}(v_n+v_m)\end{array}$ 和 $\begin{array}{r}y=\frac{1}{2}(v_n-v_m)\end{array}$，则

$$\Vert v_n-v_m{\Vert }^2=2\Vert u-v_n{\Vert }^2+2\Vert u-v_m{\Vert }^2-4\Vert u-\frac{1}{2}(v_n+v_m){\Vert }^2.\text{\hspace{1em}(13.8)}$$

对任意 $ϵ>0$，取 $N>0$ 使得对所有 $\begin{array}{r}k>N,\Vert u-v_k{\Vert }^2\le d^2+\frac{1}{4}ϵ\end{array}$ 成立。在式 (13.8) 中令 $n$、$m$ 均大于 $N$，可得 $\Vert v_n-v_m{\Vert }^2\le ϵ$。因此 $v_n$ 是柯西序列。

由于 $\mathcal{H}$ 是完备的且 $V$ 是闭子空间，存在向量 $u^{\prime }\in V$ 使得 $v_n\to u^{\prime }$。令 $u^{\prime \prime }=u-u^{\prime }$，则由引理 13.5 后的习题可知

$$\Vert u^{\prime \prime }\Vert =\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert u-v_n\Vert =d.$$

对于任意 $v\in V$，令 $v_0=v/\Vert v\Vert$，使得 $\Vert v_0\Vert =1$。于是

$$\begin{array}{l}{d}^2\le \Vert u-(u^{\prime }+⟨v_0|u^{\prime \prime }⟩v_0){\Vert }^2\\ =\Vert u^{\prime \prime }-⟨v_0|u^{\prime \prime }⟩v_0{\Vert }^2\\ =⟨u^{\prime \prime }-⟨v_0|u^{\prime \prime }⟩v_0|u^{\prime \prime }-⟨v_0|u^{\prime \prime }⟩v_0⟩\\ =d^2-|⟨v_0|u^{\prime \prime }⟩{|}^2.\end{array}$$

因此 $⟨v_0|u^{\prime \prime }⟩=0$，从而 $⟨v\mid u^{\prime \prime }⟩=0$。由于 $v$ 是 $V$ 中的任意向量，我们有 $u^{\prime \prime }\in V^{\perp }$。一个子空间与其正交补只能有零向量作为公共元素，$V\cap V^{\perp }=\{0\}$，因为若 $w\in V\cap V^{\perp }$，则 $⟨w|w⟩=0$，这意味着 $w=0$。若 $u=$ $u^{\prime }+u^{\prime \prime }=v^{\prime }+v^{\prime \prime }$，其中 $u^{\prime },v^{\prime }\in V$ 且 $u^{\prime \prime },v^{\prime \prime }\in V^{\perp }$，则向量 $u^{\prime }-v^{\prime }\in V$ 等于 $v^{\prime \prime }-u^{\prime \prime }\in V^{\perp }$。因此 $u^{\prime }=v^{\prime }$ 且 $u^{\prime \prime }=v^{\prime \prime }$，分解是唯一的。

推论 13.9 · 闭子空间的双重正交补 (Double orthogonal complement of a closed subspace)

对任意子空间$V$，$V^{\perp \perp }=V$

证明

$V\subseteq V^{\perp \perp }$，因为若 $v\in V$，则对所有 $u\in V^{\perp }$ 有 $⟨v|u⟩=0$。反之，设 $v\in V^{\perp \perp }$。由定理 13.8，$v$ 有唯一分解 $\mathbf{v}={\mathbf{v}}^{\prime }+{\mathbf{v}}^{\prime \prime }$，其中 $v^{\prime }\in V\subseteq V^{\perp \perp }$ 且 $v^{\prime \prime }\in V^{\perp }$。再次使用定理 13.8，但将 $V$ 替换为 $V^{\perp }$，可得 $v^{\prime \prime }=0$。因此 $v=v^{\prime }\in V$

里斯表示定理

对每个$v\in \mathcal{H}$，映射${\phi }_v:u\mapsto ⟨v\mid u⟩$是一个$\mathcal{H}$上的线性泛函，线性性和连续性都来源于引理13.3。下面的定理表明了所有在希尔伯特空间上的(连续)线性泛函都可以取这种形式，这是量子力学中非常重要的结果，也是狄拉克左右矢记号的动机

定理 13.10 · 里斯表示定理 (Riesz representation theorem)

若$\phi$是希尔伯特空间$\mathcal{H}$的线性泛函，那么有唯一的向量$v\in \mathcal{H}$使得

$$\phi (u)={\phi }_v(u)=⟨v\mid u⟩\text{对全体}u\in \mathcal{H}$$

证明

由于线性泛函 $\phi :\mathcal{H}\to \mathbb{C}$ 要求是连续的，我们总有

$$|\phi (x_n)-\phi (x)|\to 0\text{ whenever }\Vert x-x_n\Vert \to 0.$$

设$V$为$\phi$的零空间，

$$V=\{x\mid \phi (x)=0\}.$$

这是一个闭子空间，因为对一切 $n$，若 $\mathrm{if}{x}_n\to x\mathrm{and}\phi (x_n)=0$，则由连续性得 $\phi (x)=0$。若 $V=\mathcal{H}$，则 $\phi$ 在 $\mathcal{H}$ 上为零，并可令 $v=0$。因此假设 $V\ne \mathcal{H}.$，并令 $w$ 为非零向量，使得 $w$ $V$ $w\notin V$。由定理 13.8，存在唯一分解

$$w=w^{\prime }+w^{\prime \prime }\text{ where }{w}^{\prime }\in V,w^{\prime \prime }\in V^{\perp }.$$

于是 $\phi (w^{\prime \prime })=\phi (w)-\phi (w^{\prime })=\phi (w)\ne 0$，因为 $w$ $\notin V$。对于任意 $u\in \mathcal{H}$，我们可以写出

$$u=\left(u-\frac{\phi (u)}{\phi (w^{\prime \prime })}{w}^{\prime \prime }\right)+\frac{\phi (u)}{\phi (w^{\prime \prime })}{w}^{\prime \prime },$$

其中右端第一项属于$V$，因为线性泛函$\phi$作用于它时取值为0，而第二项属于$V^{\perp }$，因为它与$w^{\prime \prime }$成比例。于是对任意$v\in V^{\perp }$，我们有

$$⟨v|u⟩=\frac{\phi (u)}{\phi (w^{\prime \prime })}⟨v|w^{\prime \prime }⟩.$$

特别地，令

$$v=\frac{\overline{\phi (w^{\prime \prime })}}{\Vert w^{\prime \prime }{\Vert }^2}{w}^{\prime \prime }\in V^{\perp }$$

给出

$$⟨v\mid u⟩=\frac{\phi (u)}{\phi (w^{\prime \prime })}\frac{\phi (w^{\prime \prime })}{\Vert w^{\prime \prime }{\Vert }^2}⟨w^{\prime \prime }\mid w^{\prime \prime }⟩=\phi (u).$$

因此，这个 $v$ 就是定理所需的向量。它是具有该性质的唯一向量，因为若对所有 $u\in \mathcal{H}$ 都有 $⟨v-v^{\prime }|u⟩=0$，则令 $u=v-v^{\prime }$ 时，$v=v^{\prime }$——

习题

习题 13.10

若 $S$ 是 $\mathcal{H}$ 的任意子集，而 $V$ 是由 $S,V=\overline{L(S)}$ 生成的闭子空间，证明对所有 $x\in S\}=V^{\perp }$ 都有 $S^{\perp }=\{u\in \mathcal{H}|⟨u|x⟩=0$

习题 13.11

下列哪一个集合是${\ell }^2$的向量子空间，哪些是闭的？在每种情形下，求出与该集合正交的向量空间。

(a) $V_N=\{(x_1,x_2,\dots )\in {\ell }^2|x_i=0\text{for}i>N\}.$

(b) $V=\bigcup V_N=\{(x_1,x_2,\dots )\in {\ell }^2|x_i=0\text{for}i>\mathrm{some}N\}.$

(c) $U=\{(x_1,x_2,\dots )\in {\ell }^2|x_i=0\text{for}i=2n\}.$

(d) $W=\{(x_1,x_2,\dots )\in {\ell }^2|x_i=0\text{for}\mathrm{some}i\}.$

习题 13.12

证明：赋以范数 $\Vert (x,y)\Vert =\max \{|x|,|y|\}$ 的实巴拿赫空间 ${\mathbb{R}}^2$ 不具有定理 13.8 的最近点性质。即，对于给定点 $x$ 和一维子空间 $L$，一般不存在 $L$ 中唯一最接近 $x$ 的点。

习题 13.13

若 $A:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 是算符，使得对所有 $u\in \mathcal{H}.$ 都有 $Au\perp u$，证明 $A=0.$