18.3 曲率与挠率

挠率张量

在分量 $Γ_{j k}^{i}$ 的变换律，即式 (18.11) 中，涉及变换函数二阶导数的项关于指标 $j k$ 是对称的。由此可知，反对称化后的量 $T_{j k}^{i} = Γ_{k j}^{i} - Γ_{j k}^{i}$ 确实按张量变换，因为变换律式 (18.11) 中的非张量部分相互抵消。

为了以不变的非坐标方式表达这一思想，注意对任意向量场 $Y$ ，由式(18.4)定义的张量场 $D Y$ 满足恒等式

D Y (f ω, X) = f D Y (ω, X), D Y (ω, f X) = f D Y (ω, X)

对所有函数 $f \in F (M)$ 。这些分别称为相应自变量中的 $F$ -线性性。另一方面，由下式定义的映射 $D^{'} : T^{*} (M) \times T (M) \times T (M) F (M)$

D^{'} (ω, X, Y) = ⟨ ω, D_{X} Y ⟩

不是 (1, 2) 型的张量场，因为由 Con4，第三个自变量的 $F$ 线性性不成立，

D^{'} (ω, X, f Y) = ⟨ ω, D_{X} (f Y)⟩ = ⟨ ω, (X f) Y + f D_{X} Y ⟩ = (X f) ⟨ ω, Y ⟩ + f D^{'} (ω, X, Y) \neq = f D^{'} (ω, X, Y) .

随文练习

证明 $D$ 的“分量”是 $D^{'} (d x^{i}, \partial_{x^{j}}, \partial_{x^{k}}) = Γ_{j k}^{i}$

现在令挠率映射 $τ$ ： $T (M) \times T (M) \to T (M)$ 由下式定义

τ (X, Y) = D_{X} Y - D_{Y} X - [X, Y] = - τ (Y, X) . (18.19)

该映射对第一个自变量是 $F$ -线性的，

τ (f X, Y) = D_{f X} Y - D_{Y} (f X) - [f X, Y] = f D_{X} Y - (Y f) X - f D_{Y} X - f [X, Y] + (Y f) X = f τ (X, Y),

并且由反对称性，它对第二个自变量 $Y$ 也是线性的。因此， $τ$ 通过下式产生一个类型为(1, 2)的张量场 $T$ ：

T (ω, X, Y) = ⟨ ω, τ (X, Y)⟩, (18.20)

称为联络 $D$ 的挠率张量(torsion tensor)。在局部坐标卡 $(U; x^{i})$ 中，其分量正是反对称化后的联络分量：

T_{j k}^{i} = Γ_{k j}^{i} - Γ_{j k}^{i} . (18.21)

该证明由令 $T_{j k}^{i} = ⟨ d x^{i}, τ (\partial_{x^{j}}, \partial_{x^{k}}) ⟩$ 并代入式 (18.19) 得出。若一个联络的挠率张量消失，即 $T = 0;$ ，则称该联络为无挠的(torsion-free) 或对称联络(symmetric connection) ；等价地，其分量关于所有坐标对称， $Γ_{j k}^{i} = Γ_{k j}^{i}$

随文练习

证明式（18.21）。

曲率张量

当对向量场或张量场重复求协变导数并交换次序时，会出现类似的问题。若 $X$ 、 $Y$ 与 $Z$ 是 $M$ 上的任意向量场，则 $D_{X} D_{Y} Z - D_{Y} D_{X} Z$ 显然是一个向量场，但由 $P (ω, X, Y, Z) = ⟨ ω, D_{X} D_{Y} Z - D_{Y} D_{X} Z ⟩$ 定义的映射 $P : T^{*} (M) \times T (M) \times T (M) \times T (M) \to F (M)$ 不能成为类型为 (1, 3) 的张量场，因为它在三个向量场自变量上不是 $F$ -线性的。补救办法与构造挠率张量时类似。

对任意一对向量场 $X$ 和 $Y$ ，通过下式定义算符 $ρ_{X, Y} : T (M) \to T (M)$

ρ_{X, Y} Z = D_{X} D_{Y} Z - D_{Y} D_{X} Z - D_{[X, Y]} Z = - ρ_{Y, X} Z . (18.22)

该算符关于 $X$ 是 $F .$ -线性的，因此关于 $Y$ 也是，因为

ρ_{f X, Y} Z = D_{f X} D_{Y} Z - D_{Y} D_{f X} Z - D_{[f X, Y]} Z = f D_{X} D_{Y} Z - (Y f) D_{X} Z - f D_{Y} D_{X} Z - f D_{[X, Y]} Z + (Y f) D_{X} Z = f ρ_{X, Y} Z .

关于 $Z$ 的 $F$ 线性性可由下式推出

ρ_{X, Y} f Z = D_{X} D_{Y} (f Z) - D_{Y} D_{X} (f Z) - D_{[X, Y]} (f Z) = D_{X} ((Y f) Z + f D_{Y} Z) - D_{Y} ((X f) Z + f D_{X} Z) - ([X, Y] f) Z - f D_{[X, Y]} Z = (Y f) D_{X} Z + X (Y f) Z + (X f) D_{Y} Z + f D_{X} D_{Y} Z - Y (X f) Z - (X f) D_{Y} Z - (Y f) D_{X} Z - f D_{Y} D_{X} Z - ([X, Y] f) Z - f D_{[X, Y]} Z = f ρ_{X, Y} Z .

因此，我们可以通过设定来定义一个类型为(1, 3)的张量场 $R$

R (ω, Z, X, Y) = ⟨ ω, ρ_{X, Y} Z ⟩ = - R (ω, Z, Y, X), (18.23)

称为联络 $D$ 的曲率张量(curvature tensor)。

对于无挠的联络， $D_{X} Y - D_{Y} X = [X, Y]$ ，存在一个循环恒等式：

ρ_{X, Y} Z + ρ_{Y, Z} X + ρ_{Z, X} Y = D_{X} D_{Y} Z - D_{Y} D_{X} Z - D_{[X, Y]} Z + D_{Y} D_{Z} X - D_{Z} D_{Y} X - D_{[Y, Z]} X + D_{Z} D_{X} Y - D_{X} D_{Z} Y - D_{[Z, X]} Y = D_{X} [Y, Z] + D_{Y} [Z, X] + D_{Z} [X, Y] - D_{[Y, Z]} X - D_{[Z, X]} Y - D_{[X, Y]} Z = [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0

利用 $τ (X, [Y, Z]) = 0$ 等以及雅可比恒等式（15.24）。对于 $T = 0$ ，我们因此有所谓的第一比安基恒等式(first Bianchi identity)，

R (ω, Z, X, Y) + R (ω, X, Y, Z) + R (ω, Y, Z, X) = 0. (18.24)

在坐标系 $(U; x^{i})$ 中，利用式 (18.5) 以及对所有 $k$ 、 $l$ 成立的 $[\partial_{x^{k}}, \partial_{x^{l}}] = 0$ ，曲率张量的分量为

R_{j k l}^{i} = R (d x^{i}, \partial_{x^{j}}, \partial_{x^{k}}, \partial_{x^{l}}) = ⟨ d x^{i}, D_{k} D_{l} \partial_{x^{j}} - D_{l} D_{k} \partial_{x^{j}} - D_{[\partial_{x^{k}}, \partial_{x^{l}}]} \partial_{x^{j}} ⟩ = ⟨ d x^{i}, D_{k} (Γ_{j l}^{m} \partial_{x^{m}}) - D_{l} (Γ_{j k}^{m} \partial_{x^{m}})⟩ = ⟨ d x^{i}, Γ_{j l, k}^{m} \partial_{x^{m}} + Γ_{j l}^{m} Γ_{mk}^{p} \partial_{x^{p}} - Γ_{j k, l}^{m} \partial_{x^{m}} - Γ_{j k}^{m} Γ_{m l}^{p} \partial_{x^{p}} ⟩

其中 $Γ_{j k, l}^{m} = \partial Γ_{j k}^{k} / \partial x^{l}$ 。因此

R_{j k l}^{i} = Γ_{j l, k}^{i} - Γ_{j k, l}^{i} + Γ_{j l}^{m} Γ_{mk}^{i} - Γ_{j k}^{m} Γ_{m l}^{i} = - R_{j l k}^{i} . (18.25)

在第一个比安基恒等式式 (18.24) 中令 $ω = d x^{i}, X = \partial_{x^{k}}$ 等，得到

R_{j k l}^{i} + R_{k l j}^{i} + R_{l j k}^{i} = 0. (18.26)

另一类恒等式称为里奇恒等式(Ricci identities)，有时被用来在坐标区域 $(U; x^{i})$ 中定义挠率张量和曲率张量。对于 $U$ 上的任意光滑函数 $f$ ，令 $f_{; ij} \equiv (f_{; i})_{; j} = (f_{, i})_{; j}$ 。那么，由式（18.13），

f_{; ij} - f_{; j i} = f_{, ij} - Γ_{ij}^{k} f_{, k} - f_{, j i} + Γ_{j i}^{k} f_{, k} = T_{ij}^{k} f_{, k} . (18.27)

类似地，对于光滑向量场 $X = X^{k} \partial_{x^{k}}$ ，式（18.25）给出

X_{; ij}^{k} - X_{; j i}^{k} = X^{a} R_{aj i}^{k} + T_{ij}^{a} X_{; a}^{k}, (18.28)

而对于一个1-形式 $ω = w_{i} d x^{i}$

w_{k; ij} - w_{k; j i} = w_{a} R_{k ij}^{a} + T_{ij}^{a} w_{k; a} . (18.29)

习题

习题 18.6

设 $f$ 为光滑函数， $X = X^{i} \partial_{x^{i}}$ 为光滑向量场， $ω = w_{i} d x^{i}$ 为微分 1-形式。证明
$(D_{j} D_{i} - D_{i} D_{j}) f = 0, (D_{j} D_{i} - D_{i} D_{j}) X = X^{a} R_{aj i}^{k} \partial_{x^{k}}, (D_{j} D_{i} - D_{i} D_{j}) ω = w_{a} R_{k j i}^{a} d x^{k} .$
为什么挠率张量没有出现在这些公式中，与里奇恒等式式 (18.27)–式 (18.29) 形成对比？

习题 18.7

证明向量场的李导数的坐标表达式可以写成

$(L_{X} Y)^{i} = [X, Y]^{i} = Y_{; j}^{i} X^{j} - X_{; j}^{i} Y^{j} + T_{j k}^{i} X^{k} Y^{j} . (18.30)$
对于无挠联络，证明一般张量场 $S$ （类型为 $(r, s)$ ）的李导数 15.39 可以表示为

$(L_{X} S)_{k l \dots}^{ij \dots} = S_{k l \dots; m}^{ij \dots} X^{m} - S_{k l \dots}^{mj \dots} X_{; m}^{i} - S_{k l \dots}^{im \dots} X_{; m}^{j} - \dots + S_{m l \dots}^{ij \dots} X_{; k}^{m} + S_{k m \dots}^{ij \dots} X_{; l}^{m} + \dots (18.31)$
写出具有挠率的一般联络的该方程完整形式。

习题 18.8

证明里奇恒等式式 (18.28) 和式 (18.29)。

习题 18.9

对于无挠的联络，证明广义里奇恒等式
$S_{mn \dots; ij}^{k l \dots} - S_{mn \dots; j i}^{k l \dots} = S_{mn \dots}^{a l \dots} R_{aj i}^{k} + S_{mn \dots}^{k a \dots} R_{aj i}^{l} + \dots + S_{an \dots}^{k l \dots} R_{mij}^{a} + S_{ma \dots}^{k l \dots} R_{nij}^{a} + \dots$
在挠率的情形下，该方程如何修改？

习题 18.10

对于任意向量场 $Y$ 、 $Z$ 和 $W$ ，证明由下式定义的算符 $Σ_{Y, Z, W} : T (M) \to T (M)$
$Σ_{Y, Z, W} X = D_{W} (ρ_{Y, Z} X) - ρ_{Z, [Y, W]} X - ρ_{Y, Z} (D_{W} X)$
具有循环对称性
$Σ_{Y, Z, W} X + Σ_{Z, W, Y} X + Σ_{W, Y, Z} X = 0.$
用局部坐标卡将该方程表示为分量形式，并证明它等价于（第二）比安基恒等式。

$R_{j k l; m}^{i} + R_{j l m; k}^{i} + R_{j mk; l}^{i} = R_{j p k}^{i} T_{m l}^{p} + R_{j pl}^{i} T_{k m}^{p} + R_{j p m}^{i} T_{l k}^{p} . (18.32)$

习题 18.11

设 $Y^{i} (t)$ 为沿一条具有坐标表示 $x^{j} = x 0^{j} + A^{j} t$ 的曲线平行移动的向量，证明对于 $t ≪ 1$
$Y^{i} (t) = Y^{i} 0 - Γ_{j a}^{i} 0 Y^{j} 0 A^{a} t + \frac{t ^{2}}{2} (Γ_{k a}^{i} 0 Γ_{j a}^{k} 0 - Γ_{j a, b}^{j} 0) A^{a} A^{b} Y^{j} 0 + O (t^{3})$
其中 $Γ^{i} 0_{j k} = Γ_{j k}^{i} (x^{a} 0)$ 和 $ζ^{0} Y^{i} = Y^{i} (0)$ 。从坐标为 $χ_{x^{i}}^{0}$ 的点 $P$ 出发，将切向量 $Y^{i} 0$ 沿坐标矩形 $P QR S P$ 平行移动，该矩形的各边均为参数

长度 $t$ 且依次沿 $a$ 轴和 $b$ 轴经过这些点。例如，过 $P$ 的 $a$ 轴是曲线 $x^{j} = x 0^{j} + δ_{a}^{j} t$ 。证明到 $t^{2},$ 阶， $P$ 处的最终向量具有分量
$Y^{i} = Y^{i} 0 + t^{2} R^{i} 0_{j ba} Y^{j} 0$
其中 $R^{i} 0_{j ba}$ 是 $P$ 处的曲率张量分量

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18.3 曲率与挠率

挠率张量

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