1.3 初识施瓦西度规

物理学诞生于我们试图理解行星运动的努力之中。这一问题在很大程度上由牛顿解决：他从引力定律出发，推导出了开普勒行星运动定律。我们在第一门《动力学与相对论》课程中已对此作了较为详细的描述。

牛顿定律并不是故事的终点。行星轨道还存在相对论修正，这些修正可以通过计算恒星背景下的测地线来理解。

为此，我们首先需要理解一颗恒星所产生的度规。这将在第 6 节中推导。现在，我们只陈述结果：质量为 M 的恒星会产生一个弯曲时空，由下式给出

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2GM}{r{c}^2}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2GM}{r{c}^2}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$$

这就是施瓦西度规(Schwarzschild metric)。坐标 $\theta$ 与 $\varphi$ 是通常的球极坐标，其中 $\theta \in [0,\pi ]$，$\varphi \in [0,2\pi )$

要完全理解隐藏在这个度规中的全部启示，我们还得耐心等待。不过，我们已经可以做一些合理性检验。首先注意到，在远离恒星处，当 $r\to \infty$ 时，它与闵可夫斯基度规一致，这正是应该的。其次，$g_{00}$ 分量由下式给出

$$g_{00}=-\left(1+\frac{2\Phi }{c^2}\right)\text{其中}\Phi (r)=-\frac{GM}{r}$$

这与我们的预期相符，即(1.24)，其中$\Phi =-GM/r$是质量为$M$的物体所产生的通常的牛顿势

施瓦西度规还有一些奇怪之处。特别是，$g_{rr}$分量在$r=R_s$处发散，其中

$$R_s=\frac{2GM}{c^2}$$

称为施瓦西半径(Schwarzschild radius)。这就是黑洞的事件视界(event horizon)，我们将在第 6 节中更全面地探讨它。不过，事实证明，任何球对称物体（例如恒星）周围的空间都由施瓦西度规描述，只是现在它被限制在$r>R_{\mathrm{star}}$范围内，其中$R_{\mathrm{star}}$是恒星的半径。

在下文中，我们主要把施瓦西度规看作描述恒星外部时空的度规，并把行星当作沿该度规中的测地线运动的试探粒子。我们还会遇到一些发生在$r=R_s;$附近的现象，这些现象只与黑洞有关，因为$R_{\mathrm{star}}\gg R_s$。不过，目前我们将避开任何关于越过事件视界之后会发生什么的讨论。

1.3.1 测地线方程

我们的第一项任务，是导出施瓦西背景中测地线的方程。为此，我们采用一种简便快捷的方法，即考察粒子在施瓦西时空中运动时的作用量(1.32)，

$$\begin{array}{rl}& S_{\mathrm{useful}}=\int d\tau L=\int d\tau g_{\mu \nu }(x){\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }\\ & =\int d\tau \left[-A(r)c^2{\dot{t}}^2+A^{-1}(r){\dot{r}}^2+r^2({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2)\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(1.35)}$$

其中 $A(r)=1-R_s/r$，且 ${\dot{x}}^{\mu }=d{x}^{\mu }/d\tau$

在求解牛顿力学中的开普勒问题时，我们首先利用角动量守恒把问题限制在一个平面内。这里也可以照搬这一技巧。我们先来看 ${\theta }_{;}$ 的运动方程

$$\frac{d}{d\tau }\left(\frac{dL}{d\dot{\theta }}\right)-\frac{dL}{d\theta }=0\Rightarrow \frac{d}{d\tau }(r^2\dot{\theta })=r^2\sin \theta \cos \theta {\dot{\varphi }}^2$$

这说明，如果我们让粒子在 $\theta =\pi /2$ 平面内以 $\dot{\theta }=0$ 出发，那么它将永远留在这个平面内。我们就作这样的选择。

我们还需要算出角动量的大小。与许多守恒量一样，只要找出相应的可忽略坐标，它便自然得到。回想一下，如果拉格朗日量不依赖于某个特定的坐标 x，那么欧拉–拉格朗日方程立刻就会给出一个守恒量，

$$\frac{dL}{dx}=0\Rightarrow \frac{d}{d\tau }\left(\frac{dL}{d\dot{x}}\right)=0$$

这是诺特定理(Noether’s theorem)的一个简化版本。

作用量(1.35)有两个这样的可忽略坐标，即 t 与 $\varphi .$。与 ϕ 相应的守恒量就是角动量的大小 l。（严格地说，是单位质量的角动量。）限制在 $\theta =\pi /2$ 平面上，我们把它定义为

$$2l=\frac{dL}{d\dot{\varphi }}=2r^2\dot{\varphi }\text{\hspace{1em}(1.36)}$$

其中左端的因子 2 之所以出现，是因为(1.35)中的动能项并不带有通常的因子 $1/2$。与此同时，与 $t(\tau )$ 相应的守恒量是

$$-2E=\frac{dL}{d\dot{t}}=-2A(r)c^2\dot{t}\text{\hspace{1em}(1.37)}$$

记号 $E$ 并非巧合：它应当被解释为粒子的能量（严格地说，是能量除以静止质量）。为了看清这一点，我们看向远处：当 $r\to \infty$ 时，有 $A(r)\approx 1$，我们便回到了闵可夫斯基空间。在这里，我们从狭义相对论的课程中知道 $dt/d\tau =\gamma$。于是当 $r\to \infty$ 时，有 $E\to \gamma c^2$。而这恰恰就是狭义相对论中粒子的单位静止质量能量。

我们还应当在这些守恒定律之外再加上约束 (1.33)，它告诉我们测地线是以固有时为参数的。限制到 $\theta =\pi /2$ 与 $\dot{\theta }=0$，它就变成

$$-A(r)c^2{\dot{t}}^2+A^{-1}(r){\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2=-c^2\text{\hspace{1em}(1.38)}$$

现在，若把守恒量 l 与 E 的表达式代入，这一约束便可改写为

$$\frac{1}{2}{\dot{r}}^2+V_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{1}{2}\frac{E^2}{c^2}\text{\hspace{1em}(1.39)}$$

有效势 $V_{\mathrm{eff}}(r)$ 中含有因子 $A(r)$，我们把它完整写出：

$$V_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{1}{2}\left(c^2+\frac{l^2}{r^2}\right)\left(1-\frac{2GM}{r{c}^2}\right)\text{\hspace{1em}(1.40)}$$

我们的目标是解出径向运动 (1.39)。随后我们利用表达式 (1.36) 解出角运动，并由此确定轨道。

图 3. 牛顿引力中的有效势。

1.3.2 牛顿力学中的行星轨道

在求解完整的测地线方程之前，先弄清它与牛顿引力的方程有何不同，是很有用的。为此，我们写出

$$V_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{c^2}{2}-\frac{GM}{r}+\frac{l^2}{2r^2}-\frac{l^{2}GM}{r^3{c}^2}$$

非相对论极限大致就是 $c^2\to \infty$。这意味着我们要丢掉势中按 $1/r^3$ 标度的最后一项。（由于 c 是有量纲的，更准确的说法是：我们只限于 $l^{2}GM/r^3\ll c^2.)$ 的情形。）同时，我们把单位质量的相对论能量按 $1/c^2$ 的幂展开

$$E=c^2+E_N+\dots$$

其中 $E_N$ 是非相对论能量，而 … 表示被 $1/c^2$ 压低的项。把这些表达式代入 (1.39)，我们得到

$$\frac{1}{2}{\dot{r}}^2+V_N(r)=E_N$$

其中 $V_N$ 是非相对论势(non-relativistic potential)，它同时包含牛顿引力势与角动量势垒，

$$V_N(r)=-\frac{GM}{r}+\frac{l^2}{2r^2}$$

这些正是我们在第一门经典力学课程中解过的方程。（参见动力学与相对论讲义中的 4.3 节。）唯一的区别在于，$r(\tau )$ 是以固有时 τ 而非观测者时间 t 为参数的。不过，在我们所关心的非相对论极限下，二者是重合的。

通过考察$V_N(r)$（如图 3 所示），我们可以对轨道建立起许多直观认识。在远距离处，吸引性的$-1/r$引力势占主导；而角动量则阻止粒子过于靠近原点，这一点体现在短距离处占主导的$+1/r^2$项中。该势在如下位置取极小值：

$$V^{\prime }(r_{\star })=\frac{GM}{r_{\star }^2}-\frac{l^2}{r_{\star }^3}=0\Rightarrow r_{\star }=\frac{l^2}{GM}$$

粒子可以一直安稳地停留在$r=r_{\star }$处。这种圆轨道的能量总是$E_N<0$，这反映了$V_N(r_{\star })<0$这一事实。

另一种可能是，粒子在极小值附近来回振荡。只要$E_N<0$，使粒子无法逃逸到$r\to \infty$，就会出现这种情况。这种运动所描述的轨道中，到原点的距离不断变化；我们将在下文看到，该轨道的形状是一个椭圆。最后，$E_N\ge 0$的轨迹描述的是掠过式运动：粒子接近恒星，但只靠近到一定程度便飞离而去，再也不复出现。

上面的讨论只告诉了我们径向运动的情况。要确定完整的轨道，还需要用到角动量方程$\dot{\varphi }=l/r^2$。让我们回顾一下如何求解这些耦合方程。首先采用一个常用技巧，即引入新坐标

$$u=\frac{1}{r}$$

接着，我们把这一径向坐标的倒数看作角变量的函数：$u=$ $u(\varphi )$。这样做效果很好，因为我们可以得到

$$\dot{u}=\frac{du}{d\varphi }\dot{\varphi }=l{u}^2\frac{du}{d\varphi }$$

其中在最后一个等式中，我们利用角动量守恒(1.36)写出了$\dot{\varphi }=l{u}^2$。利用这一点，我们有

$$\dot{r}=-\frac{1}{u^2}\dot{u}=-l\frac{du}{d\varphi }\text{\hspace{1em}(1.41)}$$

于是，能量守恒的方程变为

$${\left(\frac{du}{d\varphi }\right)}^2+{\left(u-\frac{GM}{l^2}\right)}^2=\frac{2E_N}{l^2}+\frac{G^2{M}^2}{l^4}\text{\hspace{1em}(1.42)}$$

但现在求解它已经很容易了。我们选择把解写成

$$u(\varphi )=\frac{GM}{l^2}(1+e\cos \varphi )\text{\hspace{1em}(1.43)}$$

回到原来的径向变量，我们有

$$r(\varphi )=\frac{l^2}{GM}\frac{1}{1+e\cos \varphi }\text{\hspace{1em}(1.44)}$$

这就是圆锥曲线(conic section)的方程，其离心率由下式给出

$$e=\sqrt{1+\frac{2E_N{l}^2}{G^2{M}^2}}$$

轨道的形状取决于 e。满足$E_N\ge 0$的粒子不在束缚轨道上：当$e>1$时它描出一条双曲线，当$e=1$时则描出一条抛物线。相比之下，行星的能量满足$E_N<0$，相应地其离心率满足$e<1$。在这种情况下，轨道是椭圆。

为了与后面相对论的结果作比较，我们指出牛顿轨道的一个重要特征：它不会进动。要看出这一点，只需注意，对于我们的解(1.44)，行星离原点最近的那一点——称为近日点——在轨道上总是出现在同一个点$\varphi =0$处。

1.3.3 广义相对论中的行星轨道

现在我们对沿施瓦西度规中测地线运动的有质量粒子的完整相对论运动重复这一分析。我们已经看到，有效势具有如下形式 (1.40)

$$V_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{c^2}{2}-\frac{GM}{r}+\frac{l^2}{2r^2}-\frac{GM{l}^2}{r^3{c}^2}$$

相对论修正按 $-1/r^3$ 的量级变化，从而在短距离上改变了牛顿力学的图景，因为它保证了当 $r\to 0$ 时势 $V_{\mathrm{eff}}(r)\to -\infty$。事实上，该势在施瓦西半径 $r=R_s=2GM/c^2$ 处总是为零，即 $V_{\mathrm{eff}}(R_s)=0$。

势的形状随角动量的大小而不同。为看出这一点，我们计算其临界点

$$V_{\mathrm{eff}}^{\prime }(r)=\frac{GM}{r^2}-\frac{l^2}{r^3}+\frac{3GM{l}^2}{r^4{c}^2}=0\Rightarrow GM{r}^2-l^{2}r+\frac{3GM{l}^2}{c^2}=0\text{\hspace{1em}(1.45)}$$

图 4. 左图：有质量粒子在 $l^2{c}^2<12G^2{M}^2$ 时的有效势。右图：在 $l^2{c}^2>12G^2{M}^2$ 时的有效势

若判别式为正，则这个二次方程有两个解。这种情况出现在角动量足够大时。

$$l^2>\frac{12G^2{M}^2}{c^2}$$

在这种情况下，势的形状如右图所示。我们把二次方程式 (1.45)的两个解记作$r_{+}$和$r_{-}$，其中$r_{+}>r_{-}$。最外侧的解$r_{+}$是势的极小值点，对应于稳定圆轨道(stable circular orbit)；最内侧的解$r_{-}$是势的极大值点，对应于不稳定圆轨道。

与牛顿情形一样，这里也存在粒子围绕极小值点振荡的非圆轨道。不过，没有理由认为这些轨道一般仍会是椭圆形的。下面我们将研究它们的一些性质。

还要注意，与牛顿情形不同，这里的角动量势垒是有限的：无论角动量多大，只要粒子具有足够的能量（以向内径向速度的形式），它总能越过这一势垒，随后便径直坠向$r=0$。我们将在第 6 节讨论黑洞时对此作更多说明。

如果角动量不够大，

$$l^2<\frac{12G^2{M}^2}{c^2}$$

那么势$V_{\mathrm{eff}}(r)$就没有转向点，其形状如右图所示。在这种情况下不存在稳定轨道；所有粒子最终都会落向原点。

临界情形是$l^2=12G^2{M}^2/c^2$。此时转向点是一个鞍点，位于

$$r_{\mathrm{ISCO}}=\frac{6GM}{c^2}\text{\hspace{1em}(1.46)}$$

这就是最内稳定圆轨道(innermost stable circular orbit)。在距离 $r<r_{\mathrm{ISCO}}$ 处不可能存在圆轨道，不过非圆轨道却可以延伸到距离 $r<r_{\mathrm{ISCO}}$ 处。

最内稳定轨道在黑洞天体物理中起着重要作用，它标志着环绕黑洞的吸积盘的内边缘。粗略地说，这正是事件视界望远镜拍摄到的那张著名照片中所看到的情形。这里之所以说“粗略地说”，部分是因为光实际上来自所谓的光子球，它类似于

ISCO，只不过这是对光而言的；部分则是因为从吸积盘发出的光被以极其剧烈的方式扭曲了，所以我们看到的景象与那里实际存在的东西大不相同！（此外，照片中的黑洞几乎肯定在旋转。这会使 r_ISCO 小于 $6GM/c^2$，并使照片更加难以解读。）

我们还可以问：非圆轨道最多能靠得多近？这出现在 $l\to \infty$ 的极限下，此时稍作计算便可看出，$V_{\mathrm{eff}}$ 的极大值趋于 $r_{-}\to 3GM/c^2$。这是任何想要返回的类时测地线所能达到的最近距离。

近日点进动

为了更细致地理解轨道，我们可以尝试求解运动方程。我们沿用牛顿力学的分析，引入反演参数 $u=1/r$，并把 $\dot{r}$ 改写成 $du/d\varphi$。于是我们的式 (1.39)变为

$${\left(\frac{du}{d\varphi }\right)}^2+u^2-\frac{2GM}{l^2}u-\frac{2GM}{c^2}{u}^3=\frac{E^2}{l^2{c}^2}-\frac{c^2}{l^2}$$

这个方程比我们牛顿力学的轨道式 (1.42)要难得多。为继续下去，最简单的做法是先对 $\varphi .$ 再求一次导数。这样得到

$$\frac{d^{2}u}{d{\varphi }^2}+u-\frac{GM}{l^2}-\frac{3GM}{c^2}{u}^2=0$$

图 5. 近椭圆轨道近日点（或远日点）的进动。

这里我们假定了 $du/d\varphi \ne 0$，也就是说我们忽略了简单的圆轨道解。上式与相应的牛顿方程只差最后一项（若取 $c^2\to \infty )$，这一项确实会消失）。这个方程没有闭式解，但我们可以用微扰的方法取得进展。为此，我们定义无量纲参数

$$\beta =\frac{3G^2{M}^2}{l^2{c}^2}$$

并把轨道方程写成

$$\frac{d^{2}u}{d{\varphi }^2}+u-\frac{GM}{l^2}=\beta \frac{l^2{u}^2}{GM}\text{\hspace{1em}(1.47)}$$

我们将假定 $\beta \ll 1$，并寻找如下形式的级数解

$$u=u_0+\beta u_1+{\beta }^2{u}_2+\dots$$

在首阶近似下，我们可以忽略 (1.47) 右端与 $\beta$ 成正比的各项。这样便得到关于 $u_0$ 的方程，它与牛顿轨道完全相同

$$\frac{d^2{u}_0}{d{\varphi }^2}+u_0-\frac{GM}{l^2}=0\Rightarrow u_0(\varphi )=\frac{GM}{l^2}(1+e\cos \varphi )$$

现在把它代回 式 (1.47)，就得到关于 $u_1$ 的方程，

$$\frac{d^2{u}_1}{d{\varphi }^2}+u_1=\frac{l^2}{GM}{u}_0^2=\frac{GM}{l^2}\left[\left(1+\frac{e^2}{2}\right)+2e\cos \varphi +\frac{e^2}{2}\cos 2\varphi \right]$$

你可以验证，它的解为

$$u_1=\frac{GM}{l^2}\left[\left(1+\frac{e^2}{2}\right)+e\varphi \sin \varphi -\frac{e^2}{6}\cos 2\varphi \right]$$

我们本可以继续计算 ${\beta }_{\pm }$ 的更高阶项，但对我们目前的目的而言，第一个修正项 $u_1$ 已经足够了。

有意思的是 $u_1$ 中的 ϕ sin ϕ 项。它关于 $\varphi$ 不是周期的，这意味着轨道不再闭合：在 $\varphi =0$ 与 $\varphi =2\pi$ 处，粒子处于不同的径向位置。为说明这一点，我们问：粒子何时离原点最近？这就是轨道的近日点。它出现在

$$\frac{du}{d\varphi }\approx \frac{d(u_0+\beta u_1)}{d\varphi }=0\Rightarrow -e\sin \varphi +\beta \left(e\sin \varphi +e\varphi \cos \varphi +\frac{e^2}{3}\sin 2\varphi \right)=0$$

显然 $\varphi =0$ 就是它的一个解。下一个解位于 $\varphi =2\pi +\delta$，由于我们做了微扰展开，这里的 δ 很小。把上面的表达式展开，并略去 ${\delta }^2$ 与 $\beta \delta$ 阶的项，我们就得到近日点进动(precession of the perihelion)为

$$\delta =2\pi \beta =6\pi \frac{G^2{M}^2}{l^2{c}^2}\text{\hspace{1em}(1.48)}$$

对于绕太阳运行的行星，近日点移动只取决于行星的角动量 l 和太阳的质量，后者记作 $M_{\odot }$。太阳质量为 $M_{\odot }\approx$ $2\times 10^{30}$ kg，对应的长度尺度为

$$\frac{G{M}_{\odot }}{c^2}\approx 1.5\times 10^3\mathrm{m}$$

若一颗行星在半径为 $r$ 的近似圆轨道上绕太阳运行，周期为 $T,$，则其角动量 (1.36) 为

$$l=\frac{2\pi r^2}{T}$$

回想开普勒第三定律（它可由平方反比定律推出）告诉我们 $T\propto r^{3/2}$。这意味着 $l\propto r^{1/2}$，相应地，近日点移动 (1.48) 正比于 $\delta \propto 1/r$。由此可见，这一效应在离太阳最近的行星上应当更为显著。

离太阳最近的行星是水星，幸运的是，它也是唯一一颗轨道与圆有明显偏离的行星：其离心率为 $e\approx 0.2$，半径在 4.6 到 $7\times 10^{10}$ m 之间变化。水星每 88 天绕太阳一周，但实际上我们并不需要用它来计算角动量和进动。我们可以改用椭圆公式 (1.44)，它告诉我们最小距离 $r_{-}$ 与最大距离 $r_{+}$ 由下式给出

$$r_{\pm }=\frac{l^2}{GM}\frac{1}{1\mp e}\Rightarrow l^2=GM{r}_{+}(1-e)\text{\hspace{1em}(1.49)}$$

由此得到进动

$$\delta =\frac{6\pi GM}{c^2}\frac{1}{r_{+}(1-e)}$$

代入数值可得 $\delta \approx 5.0\times 10^{-7}$。这个值相当小。不过，近日点进动是会累积的。在一个世纪里，水星绕行 415 圈，由此得到每世纪的进动为 $2.1\times 10^{-4}$。

上面的结果以弧度为单位。天文学家更习惯使用角秒，1 度包含 3600 角秒（记作 $3600^{\prime \prime })$），而 360 度当然等于 $2\pi$ 弧度。这意味着 $1^{\prime \prime }\approx 4.8\times 10^{-6}$ 弧度。由广义相对论得到的计算给出每世纪 $43^{\prime \prime }$ 的近日点移动。这是该理论最早取得成功的预言之一。此后，人们又测量了金星和地球的近日点移动，结果与广义相对论的预言相符。

1.3.4 其他行星的引力

广义相对论给出的每世纪 $43^{\prime \prime }$ 的贡献并不是全部。事实上，观测到的水星近日点移动要大得多，约为 $575^{\prime \prime }$。其中绝大部分来自其他行星的引力，完全可以在牛顿引力的框架内理解。为完整起见，我们下面给出对这些效应的估计。

我们首先考虑一颗质量为 $M^{\prime }$ 的单个重行星的影响，它到太阳的距离为 R。当然，牛顿引力中的三体问题是出了名的困难。不过，有一种近似能极大地简化问题：我们把外侧行星看作一个圆环，其单位长度上的质量为 $M^{\prime }/2\pi R$。

这个近似是否足够好，并不是显而易见的。每颗外侧行星绕太阳运行一周所需的时间都明显长于水星。这说明，对于水星的任意一条给定轨道，更恰当的做法是把外侧行星的位置视为固定不动。（例如，木星绕太阳一周需要 12 年，在此期间水星已经绕行了 50 圈。）这意味着水星的近日点移动取决于这些外侧行星的位置，而这是一个我们乐于忽略的复杂细节。我们只想计算水星在一个世纪内平均的总近日点移动。为此，我们可以期望，先对外侧行星的轨道取平均的环近似已经足够。

事实上，我们将会看到，环近似并不特别好：这一计算是非线性的，先对外侧行星的位置取平均，与对水星轨道取平均并不对易。这意味着我们只能得到水星近日点进动的一个粗略估计值，遗憾的是，这个值不够精确，无法用来检验相对论。

我们想求出一颗行星所感受到的牛顿势，这颗行星绕一颗质量为 M 的恒星运行，并且在同一平面内被一个密度为 $M^{\prime }/2\pi R$ 的环所包围。其几何构型如图所示。显然，恒星产生的势（每单位质量）为

$$V_{\mathrm{star}}(r)=-\frac{GM}{r}$$

我们需要计算环产生的势（每单位质量）。它等于

$$V_{\mathrm{ring}}(r)=-\frac{G{M}^{\prime }}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }d\theta \frac{1}{x(\theta )}\mathrm{with}{x}^2=R^2+r^2-2Rr\cos \theta \text{\hspace{1em}(1.50)}$$

我们利用水星到太阳的距离远小于其他行星这一事实，将积分按 $r^2/R^2$ 作泰勒展开。在最低阶，我们有

$$V_{\mathrm{ring}}(r)=-\frac{G{M}^{\prime }}{R}\left[1+\frac{1}{4}{\left(\frac{r}{R}\right)}^2+\dots \right]$$

略去常数项后可知，在最低阶，水星所感受到的有效势（每单位质量）为

$$V_{\mathrm{eff}}(r)=-\frac{GM}{r}+\frac{l^2}{2r^2}-\sum _i\frac{G{M}_i^{\prime }}{4}\frac{r^2}{R_i^3}+\dots$$

其中我们已计入角动量势垒，且求和遍及所有外侧行星。在下文中，我们必须假定 $r^2$ 修正项足够小，以致不会破坏轨道的存在性。显然，对水星而言情况确实如此。

现在我们可以沿用广义相对论中计算近日点进动的做法。由能量守恒可得

$$\frac{1}{2}{\dot{r}}^2+V_{\mathrm{eff}}(r)=E$$

用大家最喜爱的轨道变量 $u=1/r$ 来处理，并把它看作 $u=u(\varphi )$，则广义相对论中的 式 (1.47) 被替换为

$$\frac{d^{2}u}{d{\varphi }^2}+u-\frac{GM}{l^2}=-\alpha \frac{(GM{)}^4}{l^8{u}^3}\text{\hspace{1em}(1.51)}$$

这一次，我们的小无量纲参数为

$$\alpha =\frac{l^6}{2G^3{M}^4}\sum _i\frac{M_i^{\prime }}{R_i^3}=\frac{(1-e{)}^3}{2}\sum _i\frac{M_i^{\prime }}{M}{\left(\frac{r_{+}}{R_i}\right)}^3$$

其中第二个等号处我们用了 (1.49)；这里 M 是太阳的质量，$r_{+}$ 是水星轨道的最外半径，$e\approx 0.2$ 是水星轨道的离心率。我们稳妥地有 $\alpha \ll 1$，因此我们寻找如下形式的级数解

$$u=u_0+\alpha u_1+{\alpha }^2{u}_2+\dots$$

我们已经见过首阶解 $u_0(\varphi )=(GM/l^2)(1+e\cos \varphi )$，其中 $e$ 是行星轨道的离心率。把它代入 (1.51)，就得到关于一阶修正的方程

$$\frac{d^2{u}_1}{d{\varphi }^2}+u_1=-\frac{(GM{)}^4}{l^8}\frac{1}{u_0^3}=-\frac{GM}{l^2}\frac{1}{(1+e\cos \varphi {)}^3}$$

这个方程比广义相对论中的对应方程更难求解。为继续下去，我们假定离心率很小，即 $e\ll 1$，并在 $e.$ 的首阶近似下求解该方程。于是该方程变为

$$\frac{d^2{u}_1}{d{\varphi }^2}+u_1=-\frac{GM}{l^2}(1-3e\cos \varphi )$$

其解为

$$u_1=\frac{GM}{l^2}\left(-1+\frac{3e}{2}\varphi \sin \varphi \right)$$

近日点进动发生在

$$\frac{du}{d\varphi }=0\Rightarrow -e\sin \varphi +\frac{3e\alpha }{2}(\sin \varphi +\varphi \cos \varphi )=0$$

与相对论中的计算一样，该方程的解为 $\varphi =0$ 以及 $\varphi =2\pi +\delta$，其中在首阶近似下，近日点的移动由下式给出

$$\delta =3\pi \alpha =\frac{3\pi }{2}\sum _i\frac{M_i^{\prime }}{M}{\left(\frac{r_0}{R_i}\right)}^3$$

其中 $r_0=(1-e)r_{+}$。我们同样可以代入具体数值。太阳的质量为 $M=M_{\odot }\approx 2\times 10^{30}$ kg。该公式对水星轨道的半径非常敏感：我们取 $r_0\approx 5.64\times 10^{10}$ m。其他行星的相关数据则为

快速浏览这张表即可看出，贡献最大的是木星（因为它的质量大）和金星（因为它离得近），地球位居第三。（天王星、海王星和冥王星的贡献可以忽略不计。）

把这些贡献相加，得到每转一圈 $\delta \approx 40\times 10^{-7}$ 弧度。这相当于每世纪 $344^{\prime \prime }$，明显大于广义相对论给出的每世纪 $43^{\prime \prime }$，但与正确的牛顿值 $532^{\prime \prime }$ 相差甚远。

高阶贡献

上面的分析给出水星近日点移动为每世纪 $380^{\prime \prime }$ 的结果。更精确的分析给出，来自其他行星牛顿引力的贡献为 $532^{\prime \prime }$。

在上面的讨论中我们做了若干不同的近似。但事实证明，引入最大误差的是把(1.50)中的环势(ring potential)截断到 $r/R$ 的领头阶。事实证明，这对金星尤其糟糕，因为与 水星 相比，它的轨道只有 $(r_0/R)\approx 0.5$。为了做得更好，我们可以把势 (1.50) 展开到更高阶。我们有

$$\begin{array}{rl}& V_{\mathrm{ring}}(r)=-\frac{G{M}^{\prime }}{2\pi R}{\int }_0^{2\pi }d\theta \frac{1}{\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos \theta }}\\ & =-\frac{G{M}^{\prime }}{R}\left[1+\frac{1}{4}{\left(\frac{r}{R}\right)}^2+\frac{9}{64}{\left(\frac{r}{R}\right)}^4+\frac{25}{256}{\left(\frac{r}{R}\right)}^6+\dots \right]\end{array}$$

与上面完全相同的计算现在给出近日点移动相应的微扰展开，

$$\delta =\pi \sum _i\frac{M_i^{\prime }}{M}\left[\frac{3}{2}{\left(\frac{r_0}{R_i}\right)}^3+\frac{45}{16}{\left(\frac{r_0}{R_i}\right)}^5+\frac{525}{128}{\left(\frac{r_0}{R_i}\right)}^7+\dots \right]$$

其中 $r_0=(1-e)r_{+}$ 是水星的平均轨道。这些额外项对金星的贡献显著，对地球则较小。取 $r_0\approx 5.64\times 10^{10}$ m 以及金星更精确一些的 $R^{\prime }\approx 10.6\times 10^{10}$ m，各项贡献之和给出每轨道 $\delta \approx 59\times 10^{-7}$ 弧度，即每世纪 $507^{\prime \prime }$，这比公认的每世纪 $532^{\prime \prime }$ 更接近一些，但仍然偏小。

图 6. 施瓦西度规中零测地线的有效势。

1.3.5 光线偏折

把上面的结果推广到确定施瓦西度规中的零测地线，是件直接了当的事。我们仍使用由(1.35)中的$S_{\mathrm{useful}}$导出的运动方程。但这一次，我们把约束(1.38)换成零测地线版本(1.34)，即

$$-A(r)c^2{\dot{t}}^2+A^{-1}(r){\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2=0$$

由此得到的结果是，我们仍可把问题归结为径向运动，

$$\frac{1}{2}{\dot{r}}^2+V_{\mathrm{null}}(r)=\frac{1}{2}\frac{E^2}{c^2}\text{\hspace{1em}(1.52)}$$

只不过现在有效势(1.40)换成了

$$V_{\mathrm{null}}(r)=\frac{l^2}{2r^2}\left(1-\frac{2GM}{r{c}^2}\right)$$

一个典型的势如图 6 所示。注意，当$r\to \infty$时，该势从上方趋于零，而$V_{\mathrm{null}}\to -\infty \mathrm{as}r\to 0$。该势在

$$V_{\mathrm{null}}^{\prime }(r_{\star })=-\frac{l^2}{r_{\star }^3}+\frac{3GM{l}^2}{r_{\star }^4{c}^2}=0\Rightarrow r_{\star }=\frac{3GM}{c^2}\text{\hspace{1em}(1.53)}$$

由此可知，存在一个距离 $r_{\star }$，光可以在该处绕黑洞运行。这个距离称为光子球(photon sphere)。它位于势的极大值处，这意味着该轨道是不稳定轨道。原则上，由于聚焦效应，绕非旋转黑洞的吸积盘发出的光有很大一部分是从光子球处射出的。但实际上，事件视界望远镜拍摄的照片似乎并没有足够的分辨率看到这一点。

其他光线的命运取决于它们的能量 E 与角动量 l 的相对大小。要看出这一点，只需注意势的最大值为

$$V_{\mathrm{null}}(r_{\star })=\frac{l^2}{54}\frac{c^4}{G^2{M}^2}$$

物理结果取决于这个值如何与(1.52)的右端 $E^2/2c^2$ 相比较。这里有两种可能

$E<l{c}^3/\sqrt{27}GM:$：此时光的能量低于角动量势垒。这意味着从 $r<r_{\star }$ 发出的光无法逃逸到无穷远；它会绕恒星运行，然后落回原点。反过来，从无穷远射来的光也不会落入恒星，而是会被角动量势垒弹回，返回无穷远。换句话说，光会被散射。我们将在下面更详细地计算这一点。

$E>l{c}^3/\sqrt{27}GM:$：此时光的能量大于角动量势垒。这意味着从 $r<r_{\star }$ 发出的光能够逃逸到无穷远。（我们将在第 6 节中看到，这仅对位于 $R_s<r<r_{\star }.)$ 区域内的光成立。）与此同时，从无穷远射入的光会被黑洞俘获，并渐近趋于 $r\to 0$。

为了更详细地了解光线的轨迹，我们再次采用反演参数 $u=1/r$。于是运动方程 (1.52) 变为

$${\left(\frac{du}{d\varphi }\right)}^2+u^2\left(1-\frac{2GM}{c^2}u\right)=\frac{E^2}{l^2{c}^2}$$

如果再对上式求一次导数，就得到

$$\frac{d^{2}u}{d{\varphi }^2}+u=\frac{3GM}{c^2}{u}^2\text{\hspace{1em}(1.54)}$$

我们仍采用微扰的方法。首先，假设忽略右端的 GM 项，则有

$$\frac{d^{2}u}{d{\varphi }^2}+u=0\Rightarrow u=\frac{1}{b}\sin \varphi$$

其中 b 为常数。若把它写成 r sin $\varphi =b:$ 的形式，这个解的含意就更清楚了：这是一条水平直线的方程，该直线位于原点上方距离 b 处，如图 7 中的虚线所示。距离 b 称为碰撞参数(impact parameter)。

图 7. 施瓦西度规中的光线偏折。

我们将以小的参数对完整的式 (1.54)作微扰展开求解

$$\tilde{\beta }=\frac{GM}{c^{2}b}$$

然后我们寻找如下形式的解

$$u=u_0+\tilde{\beta }{u}_1+\dots$$

我们从直线解 $u_0=(1/b)$ sin $\varphi$ 出发。于是在首阶上，我们有

$$\frac{d^2{u}_1}{d{\varphi }^2}+u_1=\frac{3{\sin }^2\varphi }{b}=\frac{3(1-\cos 2\varphi )}{2b}$$

其通解为

$$u_1=A\cos \varphi +B\sin \varphi +\frac{1}{2b}(3+\cos 2\varphi )$$

其中前两项是齐次解，A 与 B 为积分常数。我们选取它们，使得在 $\varphi =\pi$ 处的初始轨迹与直线 $u_0$ 相符。只要选取 $B=0$ 与 $A=2/b,$，使得当 $\varphi \to \pi$ 时 $u_1\to 0$，这一点就成立。于是在 $\tilde{\beta }.$ 的首阶上，解为

$$u=\frac{1}{b}\sin \varphi +\frac{GM}{2b^2{c}^2}(3+4\cos \varphi +\cos 2\varphi )$$

现在的问题是：粒子以多大的角度逃逸到 $r=\infty$，或者等价地说，$u=0?$ 在作修正之前，这发生在 $\varphi =0$ 处。在我们的微扰方法中，可以近似取 sin $\varphi \approx \varphi$ 与 cos $\varphi \approx 1$，从而得出粒子的逃逸角为

$$\varphi \approx -\frac{4GM}{b{c}^2}\text{\hspace{1em}(1.55)}$$

这种光线偏折被称为引力透镜(gravitational lensing)。

图 8. 左图为 1919 年爱丁顿日食远征所观测到的引力透镜现象，右图为哈勃空间望远镜所观测到的景象。

对太阳而言，$G{M}_{\odot }/c^2\approx 1.5$ km。若光线恰好掠过太阳表面，则碰撞参数 b 就等于太阳的半径，即 $R_{\odot }\approx 7\times 10^5$ km。由此得到散射角为 $\varphi \approx 8.6\times 10^{-5}$ 弧度，即 $\varphi \approx 1.8^{\prime \prime }$

检验这一预言存在一个困难：太阳背后的东西很少能被看到。不过大自然对我们很仁慈，因为月亮在天空中看起来的大小与太阳的大小差不多。（这种随机的巧合想必会使我们的星球成为外星嬉皮士们热衷的旅游胜地，只可惜路途实在太过遥远。）这意味着在日食期间，来自太阳的光被遮挡，使我们能够测量那些光线从太阳附近经过的恒星的位置，再将其与这些恒星平时的位置相比较。

这一测量最早于 1919 年 5 月、战争结束不久后进行，由亚瑟·爱丁顿率领的两支远征队完成，一支前往普林西比岛，另一支前往巴西。数据如上图所示。在此后的一百年里，我们获得了远为令人信服的光线偏折证据：星系团会使来自背景光源的光发生畸变，往往呈现出右图所示的那种独特的环状图案。

牛顿引力下的光线散射

在宣称成功之前，我们应当检查一下相对论的结果(1.55)是否与牛顿理论对光线偏折的预言有所不同。严格说来，牛顿理论对无质量粒子所受引力的预言本身就有歧义。不过，我们可以援引等效原理，它告诉我们轨迹与质量无关。于是我们把这个严格来说只对有大质量粒子成立的结果外推到无质量的情形。

图 9. 用牛顿引力计算的光的散射。

在牛顿引力下，散射轨迹是一条双曲线(1.43)

$$\frac{1}{r}=\frac{GM}{l^2}(1+e\cos \varphi )$$

其中$e>1$。轨迹的参数化与相对论结果略有不同，因为光线在 cos$\varphi =-1/e$处趋于无穷远。当$e\gg 1$时，轨迹接近一条直线，渐近线出现在$\varphi =\pm (\pi +\delta \varphi )$处，如图 9 所示。散射角于是为 2δϕ。这正是我们想要计算的量。

利用(1.41)，光沿轨迹的速度为

$$\dot{r}=-l\frac{du}{d\varphi }=\frac{GM}{l}e\sin \varphi$$

这正是把牛顿方法用于光线偏折的陷阱之一：我们必然会得到光在引力场中运动时速度发生变化的结论。我们能做的最好处理，是保证光在无穷远处、即 cos$\varphi =-1/e$且 sin$\varphi =\sqrt{1-1/e^2}$时以速度 c 传播。由此得到

$$c^2=\frac{G^2{M}^2}{l^2}(e^2-1)$$

与此同时，角动量为 $l=bc$，其中 b 是碰撞参数。整理后得到

$$e^2=\frac{b^2{c}^4}{G^2{M}^2}+1\Rightarrow e\approx \frac{b{c}^2}{GM}$$

其中第二个等式用到了我们关心的是接近直线、且 $e\gg 1$ 的轨迹这一事实。正如上面提到的，轨迹在 cos $\varphi =-1/e$ 处趋于无穷远。这发生在 $\varphi =\pi /2+\delta \varphi$ 和 $\varphi =-\pi /2-\delta \varphi$ 处，其中

$$\delta \varphi \approx \frac{1}{e}\approx \frac{GM}{b{c}^2}$$

由此得到的散射角为

$$2\delta \varphi \approx \frac{2GM}{b{c}^2}$$

我们看到，这比相对论预言 (1.55) 小一个因子 2。

相对论性光线偏折是牛顿结果的两倍，这一事实可以追溯到施瓦西度规的 $g_{00}$ 和 $g_{rr}$ 两个分量都不为零。在某种意义上，牛顿结果来自 $g_{00}$ 项，而 $g_{rr}$ 的贡献则是新的。我们将在 5.1 节 中进一步讨论这一点，那里我们会解释如何从广义相对论导出牛顿引力。

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