4.3 对称性

我们引入三个时空——闵可夫斯基时空、德西特时空与反德西特时空——作为爱因斯坦方程解的简单例子。事实上，使它们显得特殊的正是它们的对称性。

闵可夫斯基空间的对称性是我们非常熟悉的：它们由空间与时间中的平移和旋转构成，而后者又分为真正的旋转与洛伦兹推动。这些对称性的重要性怎么强调都不为过：在固定的闵可夫斯基背景上，正是它们保证了能量、动量和角动量的存在。

本节的目的，是找到一种刻画一般度规张量的对称性的方法。

4.3.1 等距变换

直观上，对称性的概念是清楚的。如果你举起一个圆球面，那么无论你怎样旋转它，它看起来都一样。相反，如果球面上有凹坑和凸起，那么旋转对称性就被破坏了。这两者之间的区别应当由度规张量来体现。粗略地说，圆球面上的度规张量在每一点看起来都一样，而带凹坑的球面上的度规张量则取决于你处在什么位置。我们想要一种用数学来陈述这一点的方法。

为此，我们需要2.2.3 节中引入的流的概念。回忆一下，流形 M 上的流是一族单参数微分同胚 ${\sigma }_t:M\to M$。一个流可以与一个向量场 $K\in \mathfrak{X}(M)$ 等同起来，该向量场在 M 的每一点都沿着流的切向量方向。

$$K^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{dt}$$

如果度规张量沿着给定的流线在每一点看起来都一样，就说这个流是一个等距变换(isometry)。用数学语言来说，这意味着等距变换满足

$${\mathcal{L}}_{K}g=0\iff {\nabla }_{\mu }{K}_{\nu }+{\nabla }_{\nu }{K}_{\mu }=0\text{\hspace{1em}(4.29)}$$

其中两个表达式的等价性已在4.1.3 节中证明。这就是基灵方程(Killing equation)，任何满足该方程的 K 都称为基灵向量场(Killing vector field)。

有时，只要盯着一个度规张量看，就能立刻写出一个基灵向量。假设度规张量的分量 $g_{\mu \nu }(x)$ 不依赖于某一个特定的坐标，比如 $y\equiv x^1$。那么向量场 $X=\partial /\partial y$ 就是一个基灵向量(Killing vector)，因为

$$({\mathcal{L}}_{{\partial }_y}g{)}_{\mu \nu }=\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial y}=0$$

不过，我们以前见过像 y 这样的坐标：在粒子于度规 $g_{\mu \nu }.$ 中运动的拉格朗日量里，它们会成为可忽略坐标，从而给出守恒量。我们再一次看到了对称性与守恒量之间熟悉的联系。我们将在4.3.2 节中进一步探讨这一点，并在以后的课程中再次讨论。

这些对称性背后有一个群结构。或者更确切地说，是一个李代数结构。这可由结果(2.15)推出

$${\mathcal{L}}_X{\mathcal{L}}_Y-{\mathcal{L}}_Y{\mathcal{L}}_X={\mathcal{L}}_{[X,Y]}$$

（严格说来，我们在(2.15)中只对作用于向量场的李导数证明了这一点，但可以验证它对任意张量场都成立。）这意味着基灵向量也构成一个李代数。这就是流形的等距变换群所对应的李代数。

一个例子：闵可夫斯基空间

作为一个特别简单的例子，考虑度规为 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }$ 的闵可夫斯基空间。此时基灵方程为

$${\partial }_{\mu }{K}_{\nu }+{\partial }_{\nu }{K}_{\mu }=0$$

其解有两种形式。我们可以取

$$K_{\mu }=c_{\mu }$$

其中 $c_{\mu }$ 为任意常向量。它们生成闵可夫斯基空间中的平移。另一种做法是取

$$K_{\mu }={\omega }_{\mu \nu }{x}^{\nu }$$

其中 ${\omega }_{\mu \nu }=-{\omega }_{\nu \mu }$。它们生成闵可夫斯基空间中的旋转与洛伦兹推动。

由此可以更清楚地看到代数结构的出现。我们定义基灵向量

$$P_{\mu }={\partial }_{\mu }\mathrm{and}{M}_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \rho }{x}^{\rho }{\partial }_{\nu }-{\eta }_{\nu \rho }{x}^{\rho }{\partial }_{\mu }\text{\hspace{1em}(4.30)}$$

这样的基灵向量总共有 10 个：4 个来自平移，6 个来自旋转与推动。稍作计算即可证明它们满足

$$\begin{array}{rl}& [P_{\mu },P_{\nu }]=0,[M_{\mu \nu },P_{\sigma }]=-{\eta }_{\mu \sigma }{P}_{\nu }+{\eta }_{\sigma \nu }{P}_{\mu }\\ & [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]={\eta }_{\mu \sigma }{M}_{\nu \rho }+{\eta }_{\nu \rho }{M}_{\mu \sigma }-{\eta }_{\mu \rho }{M}_{\nu \sigma }-{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\mu \rho }\end{array}$$

我们认出这正是庞加莱群 ${\mathbf{R}}^4\times SO(1,3)$ 的李代数

更多例子：德西特时空与反德西特时空

德西特时空与反德西特时空的等距变换，从它们的嵌入中最容易看出。定义德西特时空的约束 (4.17) 在 ${\mathbf{R}}^{1,4}$ 的旋转下不变，因此德西特时空继承了 $SO(1,4)$ 的等距变换群。类似地，定义反德西特时空的约束 (4.26) 在 ${\mathbf{R}}^{2,3}$ 的旋转下不变。相应地，AdS 的等距变换群为 $SO(2,3)$。注意这两个群都是 10 维的：从计数上看，这些空间与闵可夫斯基空间一样对称。

在母体 5 维时空中写出这 10 个基灵向量很简单：它们是

$$M_{AB}={\eta }_{AC}{X}^C{\partial }_B-{\eta }_{BC}{X}^C{\partial }_A$$

其中 $X^A,A=0,1,2,3.$ 是 5 维时空中的坐标，${\eta }_{AB}$ 是相应的闵可夫斯基度规，对德西特时空其符号差为 $(-++++)$，对反德西特时空则为 $(---+++)$。无论哪种情形，其李代数都是相应洛伦兹群的李代数，

$$[M_{AB},M_{CD}]={\eta }_{AD}{M}_{BC}+{\eta }_{BC}{M}_{AD}-{\eta }_{AC}{M}_{BD}-{\eta }_{BD}{M}_{AC}$$

重要的是，嵌入双曲线 (4.17) 与 (4.26) 在这些基灵向量下都不变，也就是说，由 $M_{AB}$ 生成的流会把双曲线上的一个点带到另一个点。这意味着这些基灵向量分别被德西特时空与反德西特时空所继承。

例如，我们可以在静态区中考察德西特时空，此时 $r^2=(X^1{)}^2+$ $(X^2{)}^2+(X^3{)}^2$，见 (4.19)

$$X^0=\sqrt{R^2-r^2}\sinh (t/R)\mathrm{and}{X}^4=\sqrt{R^2-r^2}\cosh (t/R)$$

我们知道，静态区中的(4.12)度规张量与时间无关。这意味着 $K={\partial }_t$ 是一个基灵向量。把它推前到 5 维空间，就得到

$$\frac{\partial }{\partial t}=\frac{\partial X^A}{\partial t}\frac{\partial }{\partial X^A}=\frac{1}{R}\left(X^4\frac{\partial }{\partial X^0}+X^0\frac{\partial }{\partial X^4}\right)\text{\hspace{1em}(4.31)}$$

事实上，这个基灵向量凸显了德西特时空的一个相当重要的微妙之处。随着讨论的深入，我们将看到，类时基灵向量——即在各处都满足 $g_{\mu \nu }{K}^{\mu }{K}^{\nu }<0$ 的基灵向量——扮演着相当特殊的角色，因为我们可以用它们来定义能量。（下一节我们将针对粒子说明这一点。）

在反德西特空间中，找到类时基灵向量毫无困难。事实上，在(4.22)的全局坐标中一眼就能看出它，它简单地就是 $K={\partial }_t$ 但德西特时空则是另一回事。

如果我们在静态区(4.12)中工作，那么基灵向量(4.31)就是一个类时基灵向量。事实上，在4.2.1 节中讨论德西特时空中的测地线时，我们正是用它导出了守恒能量 E。但我们知道，静态区并不能覆盖整个德西特时空。

事实上，若把基灵向量(4.31)延拓到整个空间，它就不再处处类时了。要看清这一点，只需注意：当 $X^4>0$ 且 $X^0=0$ 时，该基灵向量把我们推向 $X^0$ 方向；而当 $X_4<0$ 且 $X^0=0$ 时，它却把我们推向 $X^0$ 的反方向。这意味着，这个基灵向量场在空间的某些部分指向未来，在另一些部分却指向过去！相应地，若用这个基灵向量来定义能量，那么能量在空间的某些部分为正，在另一些部分则为负。与此相关，在空间中满足 $X^4=0$ 且 $X^0\ne 0$ 的那些部分，基灵向量把我们推向 $X^4$ 方向，因而是类空的。

上述讨论的结论是德西特时空的一个重要特征：不存在全局的、正的守恒能量。这与我们在全局坐标(4.21)下的度规相符——该度规依赖于时间，因而显然不具有类时基灵向量。缺少全局定义的能量是德西特时空若干令人困惑的特征之一：随着讨论的深入，我们还会遇到更多这样的特征。

4.3.2 守恒量初探

埃米·诺特告诉我们，对称性与守恒量密切相关。在当前的语境下，这意味着：任何发生在具有等距变换的时空中的动力学过程，都会有一个守恒量。

我们可以在若干不同的情形下讨论守恒量。我们可以考察在固定背景中运动的粒子，这正是我们在第 1 章所做的那类计算。或者，我们也可以考察在固定背景中运动的场，这将在4.5.5 节中讨论。最后，我们还可以考察储存在时空本身的能量，我们将在4.3.3 节中给出其公式，并在4.5.5 节中作进一步的评论。

这里，我们考虑一个有质量粒子在度规为$g.$的时空中运动。该粒子将沿某条轨迹$x^{\mu }(\tau )$运动，其中 τ 为固有时。如果该时空容许一个基灵向量$K.$，那么我们就能构造出沿测地线守恒的量，

$$Q=K_{\mu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\text{\hspace{1em}(4.32)}$$

为看出 Q 确实不变，我们计算

$$\begin{array}{rl}& \frac{dQ}{d\tau }={\partial }_{\nu }{K}_{\mu }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }+K_{\mu }\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}\\ & ={\partial }_{\nu }{K}_{\mu }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }-K_{\mu }{\Gamma }_{\rho \sigma }^{\mu }\frac{d{x}^{\rho }}{d\tau }\frac{d{x}^{\sigma }}{d\tau }\\ & ={\nabla }_{\nu }{K}_{\mu }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }=0\end{array}$$

其中第二行用到了测地线方程，而最后的等号则用到了基灵方程的对称性。

上面的推导看起来与我们通常表述的诺特定理颇为不同。因此，用通常的 Noether 方法重新推导基灵方程以及相应的守恒荷是很有用的。我们可以通过考察有质量粒子的作用量（形式如(1.32)）来做到这一点

$$S=\int d\tau g_{\mu \nu }(x)\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }$$

现在考虑无穷小变换

$$\delta x^{\mu }=K^{\mu }(x)$$

作用量变为

$$\begin{array}{rl}& \delta S=\int d\tau {\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }{K}^{\rho }+2g_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{K}^{\nu }}{d\tau }\\ & =\int d\tau {\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }{K}^{\rho }+2\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\left(\frac{d{K}_{\mu }}{d\tau }-K^{\nu }\frac{d{g}_{\mu \nu }}{d\tau }\right)\\ & =\int d\tau ({\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu }{K}^{\rho }-2K^{\rho }{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \rho }+2{\partial }_{\nu }{K}_{\mu })\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }\\ & =\int d\tau 2{\nabla }_{\nu }{K}_{\mu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }\end{array}$$

若 $\delta S=0$，则该变换是作用量的一个对称性。由 $\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }$ 各项的对称性可知，只要 $K_{\mu }$ 满足基灵方程，这一点就成立

$${\nabla }_{(\nu }{K}_{\mu )}=0$$

随后，诺特定理把 (4.32) 中定义的荷 $Q$ 认定为由这一对称性产生的守恒量。

在 4.2 节 中讨论德西特时空与反德西特时空中的测地线时，我们已经见过这类守恒量的例子。（事实上，在 1.3 节 中讨论绕黑洞的测地线轨道时也是如此。）能量 E 与角动量 l 都是这种形式的Noether荷。

在确定守恒量方面，基灵向量还有更多用处。在4.5.5 节中，我们将说明如何利用基灵向量来定义背景时空中场的能量与动量。

4.3.3 科马尔积分

若有一个基灵向量，我们便有一种相当漂亮的办法，把守恒量与时空本身联系起来。

给定基灵向量 $K=K^{\mu }{\partial }_{\mu }$，我们可以构造出1-形式 $K=K_{\mu }d{x}^{\mu }$。再由这个1-形式，我们便可构造出一个2-形式

$$F=dK$$

或者，用分量写出，我们有 $F=\frac{1}{2}{F}_{\mu \nu }d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }$，其中

$$F_{\mu \nu }={\nabla }_{\mu }{K}_{\nu }-{\nabla }_{\nu }{K}_{\mu }$$

我们把这个2-形式称为 F，是类比电磁2-形式而命名的。事实上，科马尔积分的关键思想正是：我们可以把 F 完全看作类似于电磁场强的东西。我们断言下述结论成立：

命题

断言：若真空爱因斯坦方程成立，即 $R_{\mu \nu }=0$，则 $F$ 满足真空麦克斯韦方程

$$d\star F=0$$

或者，如(3.24)所示，我们也可以把它写成

$${\nabla }^{\mu }{F}_{\mu \nu }=0$$

证明

为看出这一点，我们从里奇恒等式(3.16)出发，把它作用于基灵向量$K^{\sigma }$，即得

$$({\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }-{\nabla }_{\nu }{\nabla }_{\mu })K^{\sigma }=R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }{K}^{\rho }$$

将$\mu$与$\sigma$两个指标缩并，便得到

$$({\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }-{\nabla }_{\nu }{\nabla }_{\mu })K^{\mu }=R_{\rho \nu }{K}^{\rho }$$

但$K^{\mu }$是基灵向量，因而满足基灵方程${\nabla }_{(\mu }{K}_{\nu )}=0$，从而${\nabla }_{\mu }{K}^{\mu }=0$。这意味着里奇恒等式简化为

$${\nabla }_{\mu }{\nabla }_{\nu }{K}^{\mu }=R_{\rho \nu }{K}^{\rho }\text{\hspace{1em}(4.33)}$$

有了这一结果，我们现在来考察${\nabla }^{\mu }{F}_{\mu \nu }$。我们有

$${\nabla }^{\mu }{F}_{\mu \nu }={\nabla }^{\mu }{\nabla }_{\mu }{K}_{\nu }-{\nabla }^{\mu }{\nabla }_{\nu }{K}_{\mu }=-2{\nabla }^{\mu }{\nabla }_{\nu }{K}_{\mu }=-2R_{\rho \nu }{K}^{\rho }$$

其中$\mathrm{w}{\mathrm{e}}^{\prime }$在第二个等号处用了基灵方程，在第三个等号处用了里奇恒等式(4.33)。由此便得到所承诺的结果：只要爱因斯坦方程$R_{\rho \nu }=0$成立，就有$d\star F=0$。□

由于2-形式F满足真空麦克斯韦方程，我们可以用它来构造科马尔荷(Komar charge)，或称科马尔积分(Komar integral)。我们在某个三维空间子流形Σ上积分，

$$Q_{\mathrm{Komar}}=-\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\Sigma }d\star F=-\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\partial \Sigma }\star F=-\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\partial \Sigma }\star dK$$

这里的因子$1/8\pi G$是为了日后方便。由于$d\star F=0$，我们在3.2.5 节中遇到的同类论证便告诉我们$Q_{\mathrm{Komar}}$是守恒的。

正如前面讨论过的点粒子那样，科马尔积分的解释取决于手头的基灵向量。例如，若$K^{\mu }$处处类时，即在所有点都有$g_{\mu \nu }{K}^{\mu }{K}^{\nu }<0$，那么科马尔积分就可以等同于能量，或者等价地，等同于时空的质量

$$M_{\mathrm{Komar}}=-\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\partial \Sigma }\star dK$$

特别地，我们稍后会看到，即使在真空爱因斯坦方程成立时d$\star F=0$，科马尔荷也可以不为零。与此相关，若基灵向量与转动有关，则相应的守恒荷就等同于时空的角动量。

至此，给出一些科马尔积分的例子显然会很有帮助。遗憾的是，我们手头还没有任何有用的例子！不过，我们将在整个第6节中使用这套技术来确定黑洞的质量和角动量。

顺带一提：稍后在4.5 节中，我们将考察把物质与引力耦合起来会发生什么。在那里我们会了解到，爱因斯坦方程不再是$R_{\mu \nu }=0$，而是右端被物质的能量与动量所改变。在这种情况下，我们仍可构造场强$F,$，但它现在满足带源的麦克斯韦方程，即d ⋆ $F=\star J$，其中流J可以与能动张量相联系。不过，事实证明，对于我们在第6节中的应用，只需真空爱因斯坦方程$R_{\mu \nu }=0$的情形就足够了。

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来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

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