10.3 曲率

10.3.1 主丛上的协变导数

我们在第 5 章中定义了外微分 $\mathrm{d}:{\Omega }^r(M)\to {\Omega }^{r+1}(M)$。一个 $r$-形式 $\eta$ 是作用在向量上的实值形式，

$$\eta :TM\wedge \cdots \wedge TM\to \mathbb{R}.$$

我们将推广这一运算，以便能够对向量值的 $r$-形式 $\varphi \in {\Omega }^r(P)\otimes V$ 求导

$$\varphi :TP\wedge \cdots \wedge TP\to V$$

其中 $V$ 是维数为 $k$ 的向量空间。$\varphi$ 的最一般形式为 $\varphi ={\sum }_{\alpha =1}^k{\varphi }^{\alpha }\otimes e_{\alpha }$，其中 $\{e_{\alpha }\}$ 是 $V$ 的一组基，且 ${\varphi }^{\alpha }\in {\Omega }^r(P)$。

主丛 $P(M,G)$ 上的一个联络 $\omega$ 把 $T_{u}P$ 分解为 $H_{u}P\oplus V_{u}P$。相应地，向量 $X\in T_{u}P$ 分解为 $X=X^H+X^V$，其中 $X^H\in H_{u}P$，$X^V\in V_{u}P$。

定义 10.4 协变导数

设 $\varphi \in {\Omega }^r(P)\otimes V$，$X_1,\dots ,X_{r+1}\in T_{u}P$。$\varphi$ 的协变导数(covariant derivative)定义为

$$\mathrm{D}\varphi \left(X_1,\dots ,X_{r+1}\right)\equiv {\mathrm{d}}_P\varphi \left(X_1^H,\dots ,X_{r+1}^H\right)\text{\hspace{1em}(10.28)}$$

其中 ${\mathrm{d}}_P\varphi \equiv {\mathrm{d}}_P{\varphi }^{\alpha }\otimes e_{\alpha }$

10.3.2 曲率

定义 10.5 曲率二形式

曲率二形式(curvature two-form) $\Omega$ 定义为联络一形式 $\omega$ 的协变导数，

$$\Omega \equiv \mathrm{D}\omega \in {\Omega }^2(P)\otimes \mathfrak{g}.\text{\hspace{1em}(10.29)}$$

命题 10.2

曲率二形式满足（参见 (10.3b)）

$$R_a^{\ast }\Omega =a^{-1}\Omega aa\in G.\text{\hspace{1em}(10.30)}$$

证明

首先注意到 $(R_{a\ast }X{)}^H=R_{a\ast }(X^H)$（即 $R_{a\ast }$ 保持水平子空间）以及 ${\mathrm{d}}_P{R}_a^{\ast }=R_a^{\ast }{\mathrm{d}}_P$，参见 (5.75)。由定义可得

$$\begin{array}{rl}{R}_a^{\ast }\Omega (X,Y)& =\Omega \left(R_{a\ast }X,R_{a\ast }Y\right)={\mathrm{d}}_P\omega \left({\left(R_{a\ast }X\right)}^H,{\left(R_{a\ast }Y\right)}^H\right)\\ & ={\mathrm{d}}_P\omega \left(R_{a\ast }{X}^H,R_{a\ast }{Y}^H\right)=R_a^{\ast }{\mathrm{d}}_P\omega \left(X^H,Y^H\right)\\ & ={\mathrm{d}}_P{R}_a^{\ast }\omega \left(X^H,Y^H\right)\\ & ={\mathrm{d}}_P(a^{-1}\omega a)\left(X^H,Y^H\right)=a^{-1}{\mathrm{d}}_P\omega \left(X^H,Y^H\right)a\\ & =a^{-1}\Omega (X,Y)a\end{array}$$

其中我们用到了 $a$ 是常元素，因而 ${\mathrm{d}}_{P}a=0$。

取一个 $\mathfrak{g}$ 值的 $p$ 形式 $\zeta ={\zeta }^{\alpha }\otimes T_{\alpha }$ 和一个 $\mathfrak{g}$ 值的 $q$ 形式 $\eta ={\eta }^{\alpha }\otimes T_{\alpha }$，其中 ${\zeta }^{\alpha }\in {\Omega }^p(P)$、${\eta }^{\alpha }\in {\Omega }^q(P)$，而 $\{T_{\alpha }\}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的一组基。定义 $\zeta$ 与 $\eta$ 的对易子为

$$\begin{array}{rl}& [\zeta ,\eta ]\equiv \zeta \wedge \eta -(-1{)}^{pq}\eta \wedge \zeta \\ & =T_{\alpha }{T}_{\beta }{\zeta }^{\alpha }\wedge {\eta }^{\beta }-(-1{)}^{pq}{T}_{\beta }{T}_{\alpha }{\eta }^{\beta }\wedge {\zeta }^{\alpha }\\ & =\left[T_{\alpha },T_{\beta }\right]\otimes {\zeta }^{\alpha }\wedge {\eta }^{\beta }=f_{\alpha \beta }^{\gamma }{T}_{\gamma }\otimes {\zeta }^{\alpha }\wedge {\eta }^{\beta }.\end{array}\text{\hspace{1em}(10.31)}$$

若在 (10.31) 中令 $\zeta =\eta$，则当 $p$ 与 $q$ 为奇数时，有

$$[\zeta ,\zeta ]=2\zeta \wedge \zeta =f_{\alpha \beta }^{\gamma }{T}_{\gamma }\otimes {\zeta }^{\alpha }\wedge {\zeta }^{\beta }.$$

引理 10.2

设 $X\in H_{u}P$，$Y\in V_{u}P$，则 $[X,Y]\in H_{u}P$。

证明

设 $Y$ 是由 $g(t)$ 生成的向量场，则

$${\mathcal{L}}_{Y}X=[Y,X]=\underset{t\to 0}{\lim }{t}^{-1}(R_{g(t)\ast }X-X).$$

由于联络满足 $R_{g\ast }{H}_{u}P=H_{ug}P$，向量 $R_{g(t)\ast X}$ 是水平的，$[Y,X]$ 也是水平的。

定理 10.3

设 $X,Y\in T_{u}P$。则 $\Omega$ 与 $\omega$ 满足嘉当结构方程

$$\Omega (X,Y)={\mathrm{d}}_P\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]\text{\hspace{1em}(10.32a)}$$

该方程也可写成

$$\Omega ={\mathrm{d}}_P\omega +\omega \wedge \omega .\text{\hspace{1em}(10.32b)}$$

证明

我们分以下三种情形分别讨论：

(i) 设 $X,Y\in H_{u}P$。则由定义有 $\omega (X)=\omega (Y)=0$。由定义 10.5，由于 $X=X^H$ 且 $Y=Y^H$，我们有 $\Omega (X,Y)={\mathrm{d}}_P\omega (X^H,Y^H)={\mathrm{d}}_P\omega (X,Y)$。

(ii) 设 $X\in H_{u}P$ 且 $Y\in V_{u}P$。由于 $Y^H=0$，我们有 $\Omega (X,Y)=0$。我们还有 $\omega (X)=0$。因此，我们需要证明 ${\mathrm{d}}_P\omega (X,Y)=0$。由(5.70)，我们得到

$${\mathrm{d}}_P\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=X\omega (Y)-\omega ([X,Y]).$$

由于 $Y\in V_{u}P$，存在元素 $V\in \mathfrak{g}$ 使得 $Y=V^{\#}$。于是 $\omega (Y)=V$ 是常值的，从而 $X\omega (Y)=X\cdot V=0$。由引理 10.2，我们有 $[X,Y]\in H_{u}P$，因此 $\omega ([X,Y])=0$，于是得到 ${\mathrm{d}}_P\omega (X,Y)=0$。

(iii) 对于 $X,Y\in V_{u}P$，我们有 $\Omega (X,Y)=0$。我们发现，在此情形下，

$${\mathrm{d}}_P\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).$$

我们注意到 $X$ 与 $Y$ 对李括号封闭，即 $[X,Y]\in V_{u}P$，见练习 10.1(b)。于是存在 $A\in \mathfrak{g}$ 使得

$$\omega ([X,Y])=A$$

其中 $A^{\#}=[X,Y]$。令 $B^{\#}=X$ 与 $C^{\#}=Y$。则由于 $[B,C{]}^{\#}=[B^{\#},C^{\#}]$，有 $[\omega (X),\omega (Y)]=[B,C]=A$。这样我们就证明了

$$0={\mathrm{d}}_P\omega (X,Y)+\omega ([X,Y])={\mathrm{d}}_P\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)].$$

由于 $\Omega$ 是线性的且是反对称的，这三种情形足以说明(10.32)对任意向量都成立。

为了由 (10.32a) 推出 (10.32b)，我们注意到

$$\begin{array}{rl}[\omega ,\omega ](X,Y)& =[T_{\alpha },T_{\beta }]{\omega }^{\alpha }\wedge {\omega }^{\beta }(X,Y)\\ & =\left[T_{\alpha },T_{\beta }\right]\left[{\omega }^{\alpha }(X){\omega }^{\beta }(Y)-{\omega }^{\beta }(X){\omega }^{\alpha }(Y)\right]\\ & =[\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)]=2[\omega (X),\omega (Y)].\end{array}$$

因此，$\Omega (X,Y)=({\mathrm{d}}_P\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ])(X,Y)=({\mathrm{d}}_P\omega +\omega \wedge \omega )(X,Y).$

10.3.3 曲率的几何意义与 Ambrose-Singer 定理

我们在第 7 章中已经说明，黎曼曲率张量刻画了向量平行移动的非交换性。在主丛上，曲率也有类似的解释。我们首先说明，$\Omega (X,Y)$给出了水平向量$X,Y\in H_{u}P$的李括号$[X,Y]$的垂直分量。由$\omega (X)=\omega (Y)=0$可得

$${\mathrm{d}}_P\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).$$

由于$X^H=X$、$Y^H=Y$，我们有

$$\Omega (X,Y)={\mathrm{d}}_P\omega (X,Y)=-\omega ([X,Y]).\text{\hspace{1em}(10.33)}$$

考虑坐标卡$U$上的一个坐标系$\{x^{\mu }\}$。令$V=\partial /\partial x^1$，$W=\partial /\partial x^2$。取一个无穷小平行四边形$\gamma$，其四个顶点为$O=\{0,0,\dots ,0\}$、$P=\{\epsilon ,0,\dots ,0\}$、$Q=\{\epsilon ,\delta ,0,\dots ,0\}$和$R=\{0,\delta ,0,\dots ,0\}$。考虑$\gamma$的水平提升$\tilde{\gamma }$。令$X,Y\in H_{u}P$，使得${\pi }_{\ast }X=\epsilon V$且${\pi }_{\ast }Y=\delta W$。于是

$${\pi }_{\ast }([X,Y{]}^H)=ϵ\delta [V,W]=ϵ\delta \left[\frac{\partial }{\partial x^1},\frac{\partial }{\partial x^2}\right]=0\text{\hspace{1em}(10.34)}$$

也就是说，$[X,Y]$ 是垂直的。这一考察表明，环路 $\gamma$ 的水平提升 $\tilde{\gamma }$ 不能闭合。这种不闭合的程度正比于连接同一纤维上初始点与终点的垂直向量 $[X,Y]$。曲率度量的正是这一距离，

$$\Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=A\text{\hspace{1em}(10.35)}$$

其中 $A$ 是 $\mathfrak{g}$ 中的元素，满足 $[X,Y]=A^{\#}$。

由于闭曲线的水平提升的初始点与终点之间的差异正是和乐(holonomy)，我们可以预期和乐群可以用曲率来表示。

定理 10.4 · Ambrose–Singer 定理

设 $P(M,G)$ 是连通流形 $M$ 上的 $G$ 丛。点 $u_0\in P$ 的和乐群 ${\Phi }_{u_0}$ 的李代数 $\mathfrak{h}$，与 $\mathfrak{g}$ 中由形如

$${\Omega }_u(X,Y)X,Y\in H_{u}P\text{\hspace{1em}(10.36)}$$

的元素张成的子代数一致，其中 $a\in P$ 是与 $u_0$ 位于同一水平提升上的点。[证明见 Choquet-Bruhat 等 (1982)。]

10.3.4 曲率的局部形式

曲率 $\Omega$ 的局部形式(local form) $\mathcal{F}$ 定义为

$$\mathcal{F}\equiv {\sigma }^{\ast }\Omega \text{\hspace{1em}(10.37)}$$

其中 $\sigma$ 是定义在 $M$ 的某个坐标卡 $U$ 上的局部截面（参见 $\mathcal{A}={\sigma }^{\ast }\omega$）。$\mathcal{F}$ 可用规范势 $\mathcal{A}$ 表示为

$$\mathcal{F}=\mathrm{d}\mathcal{A}+\mathcal{A}\wedge \mathcal{A}\text{\hspace{1em}(10.38a)}$$

其中 $d$ 是 $M$ 上的外微分。$\mathcal{F}$ 对 $TM$ 中向量的作用由下式给出：

$$\mathcal{F}(X,Y)=\mathrm{d}\mathcal{A}(X,Y)+[\mathcal{A}(X),\mathcal{A}(Y)].\text{\hspace{1em}(10.38b)}$$

为证明 (10.38a)，我们注意到 $\mathcal{A}={\sigma }^{\ast }\omega$、${\sigma }^{\ast }{\mathrm{d}}_P\omega =\mathrm{d}{\sigma }^{\ast }\omega$ 以及 ${\sigma }^{\ast }(\zeta \wedge \eta )={\sigma }^{\ast }\zeta \wedge {\sigma }^{\ast }\eta$。由嘉当结构方程可得

$$\mathcal{F}={\sigma }^{\ast }({\mathrm{d}}_P\omega +\omega \wedge \omega )=\mathrm{d}{\sigma }^{\ast }\omega +{\sigma }^{\ast }\omega \wedge {\sigma }^{\ast }\omega =\mathrm{d}\mathcal{A}+\mathcal{A}\wedge \mathcal{A}.$$

下面求 $\mathcal{F}$ 在坐标卡 $U$ 上的分量表达式，该坐标卡的坐标为 $x^{\mu }=\phi (p)$。设规范势为 $\mathcal{A}={\mathcal{A}}_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$。若记 $\mathcal{F}=\frac{1}{2}{\mathcal{F}}_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }$，则直接计算可得

$${\mathcal{F}}_{\mu v}={\partial }_{\mu }{\mathcal{A}}_v-{\partial }_v{\mathcal{A}}_{\mu }+\left[{\mathcal{A}}_{\mu },{\mathcal{A}}_v\right].\text{\hspace{1em}(10.39)}$$

$\mathcal{F}$ 也称为曲率二形式，并被等同于（杨–米尔斯）场强。为避免混淆，我们把 $\Omega$ 称为曲率(curvature)，把 $\mathcal{F}$ 称为（杨–米尔斯）场强(field strength)。由于 ${\mathcal{A}}_{\mu }$ 与 ${\mathcal{F}}_{\mu \nu }$ 都是 $\mathfrak{g}$ 值函数，它们可以按 $\mathfrak{g}$ 的基 $\{T_{\alpha }\}$ 展开为

$${\mathcal{A}}_{\mu }=A_{\mu }^{\alpha }{T}_{\alpha }{\mathcal{F}}_{\mu v}=F_{\mu v}^{\alpha }{T}_{\alpha }.\text{\hspace{1em}(10.40)}$$

基向量满足通常的对易关系 $[T_{\alpha },T_{\beta }]=f_{\alpha \beta }^{\gamma }{T}_{\gamma }$。于是我们得到众所周知的表达式

$$F_{\mu v}^{\alpha }={\partial }_{\mu }{A}_v^{\alpha }-{\partial }_v{A}_{\mu }^{\alpha }+f_{\beta \gamma }^{\alpha }{A}_{\mu }^{\beta }{A}_v^{\gamma }.\text{\hspace{1em}(10.41)}$$

定理 10.5

设 $U_i$ 与 $U_j$ 是 $M$ 的两个重叠坐标卡，${\mathfrak{F}}_i$ 与 ${\mathfrak{F}}_j$ 分别是这两个坐标卡上的场强。在 $U_i\cap U_j$ 上，它们满足相容性条件，

$${\mathcal{F}}_j=A{\mathrm{d}}_{t_{ij}^{-1}}{\mathcal{F}}_i=t_{ij}^{-1}{\mathcal{F}}_i{t}_{ij}\text{\hspace{1em}(10.42)}$$

其中 $t_{ij}$ 是 $U_i\cap U_j$ 上的过渡函数。

证明

引入相应的规范势 ${\mathcal{A}}_i$ 与 ${\mathcal{A}}_j$，

$${\mathcal{F}}_i=\mathrm{d}{\mathcal{A}}_i+{\mathcal{A}}_i\wedge {\mathcal{A}}_i{\mathcal{F}}_j=\mathrm{d}{\mathcal{A}}_j+{\mathcal{A}}_j\wedge {\mathcal{A}}_j.$$

将 ${\mathcal{A}}_j=t_{ij}^{-1}{\mathcal{A}}_i{t}_{ij}+t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}$ 代入 ${\mathfrak{F}}_j$，即可验证

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{F}}_j=\mathrm{d}\left(t_{ij}^{-1}{\mathcal{A}}_i{t}_{ij}+t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}\right)\\ & +\left(t_{ij}^{-1}{\mathcal{A}}_i{t}_{ij}+t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}\right)\wedge \left(t_{ij}^{-1}{\mathcal{A}}_i{t}_{ij}+t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}\right)\\ & =[-t_{ij}^{-1}d{t}_{ij}\wedge t_{ij}^{-1}{\mathcal{A}}_i{t}_{ij}+t_{ij}^{-1}d{\mathcal{A}}_i{t}_{ij}\\ & -t_{ij}^{-1}{\mathcal{A}}_i\wedge \mathrm{d}{t}_{ij}-t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}{t}_{ij}^{-1}\wedge \mathrm{d}{t}_{ij}]\\ & +[t_{ij}^{-1}{\mathcal{A}}_i\wedge {\mathcal{A}}_i{t}_{ij}+t_{ij}^{-1}{\mathcal{A}}_i\wedge \mathrm{d}{t}_{ij}\\ & +t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}{t}_{ij}^{-1}\wedge {\mathcal{A}}_i{t}_{ij}+t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}\wedge t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}]\\ & =t_{ij}^{-1}\left(\mathrm{d}{\mathcal{A}}_i+{\mathcal{A}}_i\wedge {\mathcal{A}}_i\right)t_{ij}=t_{ij}^{-1}{\mathcal{F}}_i{t}_{ij}\end{array}$$

这里用到了恒等式 ${\mathrm{dt}}^{-1}=-t^{-1}\mathrm{dt}{t}^{-1}$。

练习 10.7

习题 10.7. 若规范势 $\mathcal{A}$ 在局部可写成 $\mathcal{A}$ 的形式 $\mathcal{A}=g^{-1}\mathrm{d}g$，则称它为纯规范(pure gauge)。证明：对纯规范 $\mathcal{A}$，其场强 $\mathcal{F}$ 为零。[可以证明其逆亦真：若在某个坐标卡 $U$ 上 $\mathcal{F}=0$，则规范势可在局部表示为 $\mathcal{A}=g^{-1}\mathrm{d}g$。]

10.3.5 比安基恒等式

由于 $\omega$ 与 $\Omega$ 都是 $\mathfrak{g}$ 值的，我们按 $\mathfrak{g}$ 的基 $\{T_{\alpha }\}$ 将它们展开为 $\omega ={\omega }^{\alpha }{T}_{\alpha }$、$\Omega ={\Omega }^{\alpha }{T}_{\alpha }$。于是 (10.32b) 化为

$${\Omega }^{\alpha }={\mathrm{d}}_P{\omega }^{\alpha }+f_{\beta \gamma }^{\alpha }{\omega }^{\beta }\wedge {\omega }^{\gamma }.\text{\hspace{1em}(10.43)}$$

对 (10.43) 作外微分，得到

$${\mathrm{d}}_P{\Omega }^{\alpha }=f_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathrm{d}}_P{\omega }^{\beta }\wedge {\omega }^{\gamma }+f_{\beta \gamma }^{\alpha }{\omega }^{\beta }\wedge {\mathrm{d}}_P{\omega }^{\gamma }.\text{\hspace{1em}(10.44)}$$

若注意到对水平向量 $X$ 有 $\omega (X)=0$，便可得

$$\mathrm{D}\Omega (X,Y,Z)={\mathrm{d}}_P\Omega (X^H,Y^H,Z^H)=0$$

其中 $X,Y,Z\in T_{u}P$。这样我们就证明了比安基恒等式

$$\mathrm{D}\Omega =0.\text{\hspace{1em}(10.45)}$$

下面来求比安基恒等式的局部形式。用 ${\sigma }^{\ast }$ 作用于 (10.44)，可得左端为 ${\sigma }^{\ast }{\mathrm{d}}_P\Omega =\mathrm{d}\cdot {\sigma }^{\ast }\Omega =\mathrm{d}\mathcal{F}$，而

$$\begin{array}{rl}{\sigma }^{\ast }({\mathrm{d}}_P\omega \wedge \omega -\omega \wedge {\mathrm{d}}_P\omega )& =\mathrm{d}{\sigma }^{\ast }\omega \wedge {\sigma }^{\ast }\omega -{\sigma }^{\ast }\omega \wedge \mathrm{d}{\sigma }^{\ast }\omega \\ & =\mathrm{d}\mathcal{A}\wedge \mathcal{A}-\mathcal{A}\wedge \mathrm{d}\mathcal{A}=\mathcal{F}\wedge \mathcal{A}-\mathcal{A}\wedge \mathcal{F}\end{array}$$

而右端为

$$\mathcal{D}\mathcal{F}=\mathrm{d}\mathcal{F}+\mathcal{A}\wedge \mathcal{F}-\mathcal{F}\wedge \mathcal{A}=\mathrm{d}\mathcal{F}+[\mathcal{A},\mathcal{F}]=0\text{\hspace{1em}(10.46)}$$

其中，$\mathcal{D}$ 对 $M$ 上的 $\mathfrak{g}$ 值 $p$ 次微分形式 $\eta$ 的作用定义为

$$\mathcal{D}\eta \equiv \mathrm{d}\eta +[\mathcal{A},\eta ].\text{\hspace{1em}(10.47)}$$

注意，当 $G=\mathrm{U}(1)$ 时，$\mathcal{D}\mathcal{F}=\mathrm{d}\mathcal{F}$。

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