47.1 闵可夫斯基空间中的狄拉克方程

47.1 闵可夫斯基空间中的狄拉克方程

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回忆第34.4节，对于任何带有符号为$(r,s)$的内积的实向量空间${\mathbf{R}}^{r+s}$，我们可以使用Clifford代数$\mathrm{Cliff}(r,s)$来定义一个一阶微分算符，即狄拉克算符$\partial /.$。对于符号为$(3,1)$的闵可夫斯基空间情形，Clifford代数$\mathrm{Cliff}(3,1)$由满足以下关系的元素${\gamma }_0$、${\gamma }_1$、${\gamma }_2$、${\gamma }_3$生成

$${\gamma }_0^2=-1,{\gamma }_1^2={\gamma }_2^2={\gamma }_3^2=+1,{\gamma }_j{\gamma }_k+{\gamma }_k{\gamma }_j=0\mathrm{for}j\ne k$$

Clif(3, 1) 同构于 4 乘 4 实矩阵的代数 $\mathcal{M}(4,\mathbf{R})$。第 41 章描述了若干将生成元 ${\gamma }_j$ 与满足该代数关系的 4 乘 4 复矩阵等同起来的传统做法。每一种做法都将 $\mathrm{Cliff}(3,1)$ 与复矩阵 $M(4,\mathbf{C})$ 的一个特定子集等同起来，并将复化 Cliford 代数 $\mathrm{Cliff}(3,1)\otimes \mathbf{C}$ 与 $M(4,\mathbf{C})$ 本身等同起来。因此，闵可夫斯基空间中的狄拉克算符是

$$\partial ={\gamma }_0\frac{\partial }{\partial x_0}+{\gamma }_1\frac{\partial }{\partial x_1}+{\gamma }_2\frac{\partial }{\partial x_2}+{\gamma }_3\frac{\partial }{\partial x_3}={\gamma }_0\frac{\partial }{\partial x_0}+\mathbf{\gamma }\cdot \nabla$$

并且它将作用于闵可夫斯基空间上的四分量函数$\psi (t,\mathbf{x})=\psi (x)$。这些函数取值于Cliford代数元素所作用的四维向量空间（若使用实矩阵，该空间可以是${\mathbf{R}}^4$；在复情形下则为${\mathbf{C}}^4$）。

我们在第 42 章已经看到，$-P_0^2+P_1^2+P_2^2+P_3^2$ 是庞加莱 e 群的一个卡西米尔算符。作用在四分量波函数 $\psi (x)$ 上时，狄拉克算符给出了（负的）该卡西米尔算符的一个平方根，因为

$${\partial }^2=-\frac{{\partial }^2}{\partial x_0^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_3^2}=-(-P_0^2+P_1^2+P_2^2+P_3^2)$$

对于庞加莱e群的不可约表示，卡西米尔算符的作用为标量（无质量粒子为0，质量为$m$的粒子为$-m^2$）。利用狄拉克算符，我们可以将此条件改写为

$$(-\frac{{\partial }^2}{\partial x_0^2}+\Delta -m^2)\psi =(/\partial /+m)(/\partial /-m)\psi =0\text{\hspace{1em}(47.1)}$$

这引出了以下新波动方程的定义：

定义（狄拉克方程）

狄拉克方程是微分方程

$$(\partial /-m)\psi (x)=0\text{\hspace{1em}(47.2)}$$

对于闵可夫斯基空间上的四分量函数。

利用方程 40.3，对于闵可夫斯基空间傅里叶变换，能量-动量空间中的狄拉克方程为

$$(i/p-m)\tilde{\psi }(p)=(i(-{\gamma }_0{p}_0+{\gamma }_1{p}_1+{\gamma }_2{p}_2+{\gamma }_3{p}_3)-m)\tilde{\psi }(p)=0\text{\hspace{1em}(47.3)}$$

注意，该狄拉克方程的解也是方程 47.1 的解，但在某种意义上只是其中一半。狄拉克方程关于时间是 first-order 的，因此解由初始值数据确定

$$\psi (\mathbf{x})=\psi (0,\mathbf{x})$$

在固定时刻的$\psi$，而方程47.1是二阶的，其解由同时指定$\psi$及其时间导数确定。

狄拉克方程

$$({\gamma }_0\frac{\partial }{\partial x_0}+\gamma \cdot \nabla -m)\psi (x)=0$$

可以写成薛定谔方程的形式，即

$$i\frac{\partial }{\partial t}\psi (t,\mathbf{x})=H_D\psi (t,\mathbf{x})\text{\hspace{1em}(47.4)}$$

与哈密顿算子

$$H_D=i{\gamma }_0(\gamma \cdot \nabla -m)\text{\hspace{1em}(47.5)}$$

进行傅里叶变换后，在动量空间中能量特征值方程为

$$-{\gamma }_0(\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{p}+im)\tilde{\psi }(\mathbf{p})=E\tilde{\psi }(\mathbf{p})$$

该方程左侧的平方是

$$\begin{array}{rl}(-{\gamma }_0(\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{p}+im){)}^2& ={\gamma }_0(\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{p}+im){\gamma }_0(\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{p}+im)\\ & =(\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{p}-im)(\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{p}+im)\\ & =(\mathbf{\gamma }\cdot \mathbf{p}{)}^2+m^2=|\mathbf{p}{|}^2+m^2\end{array}$$

这表明狄拉克方程的解具有预期的相对论性能量-动量关系

$$E=\pm {\omega }_{\mathbf{p}}=\pm \sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}$$

对于每个 $\mathbf{p},$，都将存在一个二维解空间 ${\tilde{\psi }}_{+}(\mathbf{p})$，满足

$$-{\gamma }_0(\gamma \cdot \mathbf{p}+im){\tilde{\psi }}_{+}(\mathbf{p})={\omega }_{\mathbf{p}}{\tilde{\psi }}_{+}(\mathbf{p})\text{\hspace{1em}(47.6)}$$

（正能量解），以及一个二维解空间${\tilde{\psi }}_{-}(\mathbf{p})$，对应于

$$-{\gamma }_0(\gamma \cdot \mathbf{p}+im){\tilde{\psi }}_{-}(\mathbf{p})=-{\omega }_{\mathbf{p}}{\tilde{\psi }}_{-}(\mathbf{p})\text{\hspace{1em}(47.7)}$$

（负能量解）。狄拉克方程的解可以等同于

• 四分量函数 $\psi (\mathbf{x})$，在时刻 $t=0$ 的初值数据

• 四分量函数 $\tilde{\psi }(\mathbf{p})$，即初始值数据的傅里叶变换。这些可以分解为

$$\tilde{\psi }(\mathbf{p})={\tilde{\psi }}_{+}(\mathbf{p})+{\tilde{\psi }}_{-}(\mathbf{p})\text{\hspace{1em}(47.8)}$$

分为正能量分量（47.6 的解）和负能量分量（47.7 的解）。

一个解的4维傅里叶变换具有如下形式

$$\begin{array}{rl}\tilde{\psi }(p)& =\frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_{{\mathbf{R}}^4}{e}^{-i(-p_0{x}_0+\mathbf{p}\cdot \mathbf{x})}\psi (x)d^{4}x\\ & =\theta (p_0)\delta (-p_0^2+|\mathbf{p}{|}^2+m^2){\tilde{\psi }}_{+}(\mathbf{p})+\theta (-p_0)\delta (-p_0^2+|\mathbf{p}{|}^2+m^2){\tilde{\psi }}_{-}(\mathbf{p})\end{array}$$

庞加莱e群通过以下方式作用于狄拉克方程的解：

$$\psi (x)\to u(a,\Lambda )\psi (x)=S(\Lambda )\psi ({\Lambda }^{-1}\cdot (x-a))\text{\hspace{1em}(47.9)}$$

或者，用傅里叶变换来表示，由

$$\tilde{\psi }(p)\to \tilde{u}(a,\Lambda )\tilde{\psi }(p)=e^{-i(-p_0{a}_0+\mathbf{p}\cdot \mathbf{a})}S(\Lambda )\tilde{\psi }({\Lambda }^{-1}\cdot p)\text{\hspace{1em}(47.10)}$$

这里 $\Lambda$ 属于 $Spin(3,1)$，即洛伦兹群的双重覆盖，而 $\Lambda \cdot x$ 表示 $Spin(3,1)$ 在闵可夫斯基空间向量上的作用。$S(\Lambda )$ 是旋量表示，通过将 Clifford 代数生成元的二次组合取指数，并借助对 ${\gamma }_j$ 与 4 乘 4 矩阵的选定等同，显式实现为 4 乘 4 矩阵。旋量场 $\psi$ 可以解释为旋量表示空间 $({\mathbf{R}}^4$ 或 ${\mathbf{C}}^4)$ 与闵可夫斯基空间上函数的张量积的元素。于是方程 47.9 意味着 $S(\Lambda )$ 作用在旋量因子上，而对函数的作用则是由庞加莱 e 在闵可夫斯基空间上的作用诱导出的作用。

回忆一下（方程 29.4），由 $S(\Lambda )$ 进行的共轭将向量 $v$ 变为其洛伦兹变换 $v^{\prime }=\Lambda \cdot v.$，其意义是

$$S(\Lambda {)}^{-1}\psi S(\Lambda )={\psi }^{\prime }$$

因此

$$/pS(\Lambda )\tilde{\psi }({\Lambda }^{-1}\cdot p)=S(\Lambda )/p^{\prime }{S}^{-1}(\Lambda )S(\Lambda )\tilde{\psi }(p^{\prime })=S(\Lambda )/p^{\prime }\tilde{\psi }(p^{\prime })$$

其中 $p^{\prime }={\Lambda }^{-1}\cdot p$ 。因此，作用量 47.10 将狄拉克方程 47.3 的解映为解，因为

$$\begin{array}{rl}(i/p-m)\tilde{u}(a,\Lambda )\tilde{\psi }(p)& =(i/p-m)e^{-i(-p_0{a}_0+\mathbf{p}\cdot \mathbf{a})}S(\Lambda )\tilde{\psi }({\Lambda }^{-1}\cdot p)\\ & =e^{-i(-p_0{a}_0+\mathbf{p}\cdot \mathbf{a})}S(\Lambda )(i/p^{\prime }-m)\tilde{\psi }(p^{\prime })=0\end{array}$$

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