47.2 马约拉纳旋量与马约拉纳场

47.2 马约拉纳旋量与马约拉纳场

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 正交群 · 群在集合上的作用

自旋 $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$ 的实标量场类比物被称为 Majorana 旋量场，可以通过为生成元 ${\gamma }_0,{\gamma }_j$ 选择实值矩阵来构造，这些矩阵作用在四分量的实值场 $\psi .$ 上。这样的选择已在 41.2 节中明确给出，并且可以利用实矩阵用 2 乘 2 分块矩阵重新写出

$${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),i{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

如下

$${\gamma }_0^M=\left(\begin{array}{cc}0& -i{\sigma }_2\\ -i{\sigma }_2& 0\end{array}\right),{\gamma }_1^M=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_3& 0\\ 0& {\sigma }_3\end{array}\right)$$ $${\gamma }_2^M=\left(\begin{array}{cc}0& i{\sigma }_2\\ -i{\sigma }_2& 0\end{array}\right),{\gamma }_3^M=\left(\begin{array}{cc}-{\sigma }_1& 0\\ 0& -{\sigma }_1\end{array}\right)$$

Clifford生成元的二次组合具有一个基

$${\gamma }_0^M{\gamma }_1^M=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_1\\ {\sigma }_1& 0\end{array}\right),{\gamma }_0^M{\gamma }_2^M=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\gamma }_0^M{\gamma }_3^M=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_3\\ {\sigma }_3& 0\end{array}\right)$$ $${\gamma }_1^M{\gamma }_2^M=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_1\\ -{\sigma }_1& 0\end{array}\right),{\gamma }_2^M{\gamma }_3^M=\left(\begin{array}{cc}0& -{\sigma }_3\\ {\sigma }_3& 0\end{array}\right),{\gamma }_1^M{\gamma }_3^M=\left(\begin{array}{cc}-i{\sigma }_2& 0\\ 0& -i{\sigma }_2\end{array}\right)$$

并且有

$${\gamma }_5^M=i{\gamma }_0^M{\gamma }_1^M{\gamma }_2^M{\gamma }_3^M=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_2& 0\\ 0& -{\sigma }_2\end{array}\right)$$

量子化马约拉纳场可以理解为伪经典费米子振子系统的量子化的一个例子（如第30.3.2节所述），其方法是巴格曼-福克量子化方法的费米子类似物（如第31.3节所述）。我们取马约拉纳表示中狄拉克方程的实值解作为对偶伪经典相空间$V$。利用解在$t=0$处的值，$V$的连续基元素由四分量分布场$\Psi (\mathbf{x})$给出，其分量为${\Psi }_a(\mathbf{x})$，其中$a=1,2,3,4$

该空间 $V$ 带有内积

$$(\psi ,\varphi )={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\psi }^T(\mathbf{x})\varphi (\mathbf{x})d^3\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(47.11)}$$

在这种形式下，平移不变性和空间旋转不变性都是明显的，其中当 $\Lambda$ 是旋转时，$S(\Lambda )$ 通过正交变换作用于马约拉纳旋量。看出这一点的一种方式是注意到，在这种情况下，$S(\Lambda )$ 是反对称矩阵 ${\gamma }_1^M{\gamma }_2^M,{\gamma }_2^M{\gamma }_3^M,{\gamma }_1^M{\gamma }_3^M$ 的线性组合的指数，因此是正交矩阵。

正如我们在第30章中所见，一个伪经典系统的费米子泊松括号由一个内积决定，而上述内积在此情形下给出

$$\{{\Psi }_a(\mathbf{x}),{\Psi }_b({\mathbf{x}}^{\prime }){\}}_{+}={\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }){\delta }_{ab}$$

将给出按狄拉克方程演化的伪经典系统的哈密顿算子是

$$h=\frac{1}{2}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\Psi }^T(\mathbf{x}){\gamma }_0(\gamma \cdot \nabla -m)\Psi (\mathbf{x})d^3\mathbf{x}$$

可以通过注意到算符 ${\gamma }_0(\gamma \cdot \nabla -m)$ 关于内积 47.11 是它的伴随的负算符来看到这一点，因为 ${\gamma }_0$ 是反对称矩阵，${\gamma }_0\gamma$ 是对称的，而导数是反对称的。在这个无限维情形中应用有限维定理 30.1，可以得出伪经典运动方程是

$$\frac{\partial }{\partial t}\Psi (\mathbf{x})=\{\Psi (\mathbf{x}),h{\}}_{+}={\gamma }_0(\gamma \cdot \nabla -m)\Psi (\mathbf{x})$$

这是哈密顿形式下的狄拉克方程（见方程 47.4 和 47.5）。生成时间演化的算符 ${\gamma }_0(\gamma \cdot \nabla -m)$ 的反对称性对应于如下事实：时间演化对每个 $t$ 给出解空间 $\nu ,$ 上的一个（无限维）正交群作用，并保持内积 47.11。

对应于庞加莱e群作用47.9在狄拉克方程解上的作用，至少对于由a进行的平移和旋转$\Lambda ,$，人们有一个相应的作用在域上，写作

$$\Psi (\mathbf{x})\to u(\mathbf{a},\Lambda )\Psi (\mathbf{x})=S(\Lambda {)}^{-1}\Psi (\Lambda \cdot \mathbf{x}+\mathbf{a})$$

生成空间平移在解上的作用量的二次伪经典矩映射是动量

$$\mathbf{P}=-\frac{1}{2}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\Psi }^T(\mathbf{x})\nabla \Psi (\mathbf{x})d^3\mathbf{x}$$

因为它满足（推广方程 30.1）

$$\{\mathbf{P},\Psi (\mathbf{x}){\}}_{+}=\nabla \Psi (\mathbf{x})$$

对于旋转，矩映射就是角动量

$$\mathbf{J}=-\frac{1}{2}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\Psi }^T(\mathbf{x})(\mathbf{x}\times \nabla -\mathbf{s})\Psi (\mathbf{x})d^3\mathbf{x}$$

其满足

$$\{\mathbf{J},\mathbf{\Psi }(\mathbf{x}){\}}_{+}=(\mathbf{x}\times \nabla -\mathbf{s})\mathbf{\Psi }(\mathbf{x})$$

这里 $s$ 的分量 $s_j$ 是这些矩阵

$$s_j=\frac{1}{2}{ϵ}_{jkl}{\gamma }_k{\gamma }_l$$

我们在此将固定时刻的场 $\Psi (\mathbf{x})$ 用作相空间 $\nu$ 上的连续基元素，这一做法带有两个有问题的特征：

• 人们无法轻易实现作为推动变换的洛伦兹变换，因为这些变换会改变用于定义 $\Psi (\mathbf{x})$ 的固定时间超曲面

• 为进行一致量子化所需的 $V$ 上的相对论复结构，由将 ${\nu }_{\otimes }\mathbf{C}$ 分裂为正能量解与负能量解来定义，但这种分解只有在动量空间中才容易实现，在位置空间中则不然。

47.2.1 动量空间中的马约拉纳旋量场

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 复化

回忆一下，在第43章研究的实相对论标量场情形中，我们曾得到克莱因-戈尔登方程解的下述表达式（方程43.8）

$$\varphi (t,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}(\alpha (\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}+\overline{\alpha }(\mathbf{p})e^{i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}$$

其中 $\alpha (\mathbf{p})$ 与 $\overline{\alpha }(\mathbf{p})$ 分别参数化复化相空间 $\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}$ 的正能量子空间与负能量子空间。这通过第 26 章所述的 Bargmann-Fock 量子化的无限维版本实现量子化，其对偶相空间 $\mathcal{M}$ 为 Klein-Gordon 方程的实值解空间，而复结构 $J_r$ 为 43.2 节所讨论的相对论性复结构。

对于马约拉纳理论，人们可以将狄拉克方程的四分量马约拉纳旋量解写为

$$\psi (t,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}(\alpha (\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}+\overline{\alpha }(\mathbf{p})e^{i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}\text{\hspace{1em}(47.12)}$$

其中 $\alpha (\mathbf{p})$ 是一个四分量复向量，满足

$$-{\gamma }_0^M({\gamma }^M\cdot \mathbf{p}+im)\alpha (\mathbf{p})={\omega }_{\mathbf{p}}\alpha (\mathbf{p})\text{\hspace{1em}(47.13)}$$

这些 $\alpha (\mathbf{p})$ 是 47.6 的正能量解 ${\tilde{\psi }}_{+}(\mathbf{p})$，而 $\overline{\alpha }(\mathbf{p})$ 的共轭方程给出 47.7 的负能量解（其中 $\mathbf{p}$ 的符号互换，$\overline{\alpha }(\mathbf{p})={\tilde{\psi }}_{-}(-\mathbf{p}))$ 。

对于每个 $\mathbf{p},$，方程 47.13 都有一个二维解空间。选择该空间的一个基 $u_{+}(\mathbf{p}),u_{-}(\mathbf{p})$ 的一种方法是，首先考虑 $\mathbf{p}=0$ 的情形。此时方程 47.13 变为

$${\gamma }_0^M\alpha (0)=i\alpha (0)$$

其将具有一个解的基

$$u_{+}(0)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ i\end{array}\right),u_{-}(0)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -i\\ 0\end{array}\right)$$

这些将满足

$$-\frac{i}{2}{\gamma }_1^M{\gamma }_2^M{u}_{+}(0)=\frac{1}{2}{u}_{+}(0),-\frac{i}{2}{\gamma }_1^M{\gamma }_2^M{u}_{-}(0)=-\frac{1}{2}{u}_{-}(0)$$

两个解

$$u_{+}(0)e^{-imt}+\overline{u_{+}(0)}{e}^{imt}=\left(\begin{array}{c}\cos (mt)\\ 0\\ 0\\ \sin (mt)\end{array}\right)$$ $$u_{-}(0)e^{-imt}+\overline{u_{-}(0)}{e}^{imt}=\left(\begin{array}{c}0\\ \cos (mt)\\ -\sin (mt)\\ 0\end{array}\right)$$

在物理上对应于一个静止的、质量为$m$的相对论性自旋$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$粒子，其中第一个粒子在3方向上的自旋为${}^{\bullet }{\mathrm{up}}^{\bullet }$，第二个粒子的自旋为“向下”。

马约拉纳旋量场论相对于标量场的情形带有一个显著的复杂化。复四分量 $\alpha (\mathbf{p})$ 所提供的基元素数量，是描述狄拉克方程解所需数量的两倍（换一种说法，它们并非独立，而是满足关系 47.13）。使用四组湮灭与产生算符（对应于 $\alpha$ 的每个分量各一组）进行量子化，会产生一个自由度多出两倍的量子场论。这一问题的标准解决办法是，通过定义极化向量，对每个 $\mathbf{p}$ 值在解空间中选择一组基元素。

$$u_{+}(\mathbf{p})=L(\mathbf{p})u_{+}(0),u_{-}(\mathbf{p})=L(\mathbf{p})u_{-}(0)$$

这里 $L(\mathbf{p})$ 是 $SL(2,\mathbf{C})$ 的一个元素，选取它使得通过洛伦兹变换作用于能量-动量向量时，它将 $(m,0)$ 变为 $({\omega }_{\mathbf{p}},\mathbf{p})$。更明确地说，利用方程 40.4，有

$$L(\mathbf{p})\left(\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& m\end{array}\right)L^{†}(\mathbf{p})=\left(\begin{array}{cc}{\omega }_{\mathbf{p}}+p_3& p_1-i{p}_2\\ p_1+i{p}_2& {\omega }_{\mathbf{p}}-p_3\end{array}\right)$$

这样的选择并不唯一，属于约定问题。大多数量子场论教材都讨论了显式的选择（尽管是在$\gamma$矩阵的不同表示中），例如参见[67]的3.3章。注意，这些极化向量与前面章节中使用的布洛赫球极化向量不同。它们定义在正质量双曲面而非球面上，并且对于这些向量，连续定义不存在拓扑障碍。

随后，解被写成

$$\psi (t,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\sum _{s=\pm }({\alpha }_s(\mathbf{p})u_s(\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}+{\overline{\alpha }}_s(\mathbf{p})\overline{u_s(\mathbf{p})}{e}^{i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}\text{\hspace{1em}(47.14)}$$

现在有了正确数量的函数来参数化伪经典复化对偶相空间${\nu }_{\otimes }\mathbf{C}$。这些是单分量复函数${\alpha }_{+}(\mathbf{p}),{\alpha }_{-}(\mathbf{p})$，它们提供${\mathcal{V}}_{J_r}^{+}={\mathcal{H}}_1$的元素，以及它们的共轭${\overline{\alpha }}_{+}(\mathbf{p}),{\overline{\alpha }}_{-}(\mathbf{p})$，后者提供${\gamma }_{J_r}^{-}$的元素。

为了以允许简单理解完整庞加莱e群作用的方式量子化马约拉纳场，我们需要在狄拉克方程的解空间上定义一个正定的庞加莱e不变内积。我们已经看到正确的内积是什么（见方程47.11），但遗憾的是，它的写法未能使洛伦兹不变性显而易见。与克莱因-戈尔登方程的情形不同，在动量空间中工作并不能完全解决这个问题。使用${\alpha }_{+}(\mathbf{p}),{\alpha }_{-}(\mathbf{p})$可以得到一个显式正定的内积，它恰好是标量情形下克莱因-戈尔登内积的两份拷贝，见方程43.18。在下一节中，我们将使用这些来量子化理论。然而，这个内积并非显式洛伦兹不变的（由于依赖于极化向量$u_{\pm }(\mathbf{p}))$的选择）。

47.2.2 马约拉纳场的量子化

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 荷算符 · 对称群

对偶伪经典相空间 $M$ 的量子化，使用费米子 Bargmann-Fock 方法、相对论复结构以及来自方程 47.14 的函数 ${\alpha }_{\pm }(\mathbf{p})$，由反交换的湮灭与产生算符 $a_{\pm }(\mathbf{p}),a_{\pm }^{†}(\mathbf{p})$ 给出，除了关系

$$[a_{+}(\mathbf{p}),a_{+}^{†}({\mathbf{p}}^{\prime }){]}_{+}={\delta }^3(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime }),[a_{-}(\mathbf{p}),a_{-}^{†}({\mathbf{p}}^{\prime }){]}_{+}={\delta }^3(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })$$

然后利用这些构造出域算符，得到

定义（马约拉纳场算符）

马约拉纳场算符由下式给出

$$\hat{\Psi }(\mathbf{x},t)=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\sum _{s=\pm }(a_s(\mathbf{p})u_s(\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}+a_s^{†}(\mathbf{p})\overline{u_s(\mathbf{p})}{e}^{i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}$$

如果使用反对易关系而不是对易关系，哈密顿算子将具有能量任意负的本征态，并且由于在类空间隔点上的可观测量算符不对易，会出现因果性方面的问题。这两个问题通过使用反对易关系而不是对易关系得到解决。该理论的多粒子态空间对 $p$ 的每个取值和 $s=\pm$ 的每个取值都具有占据数 0 或 1。与实标量场的情形一样，由这些态所描述的粒子是它们自身的反粒子。与实标量场的情形不同，每个粒子态都具有对应于其自旋 $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$ 性质的 a ${\mathbf{C}}^2$ 自由度。

可以证明，哈密顿算符和动量算符由下式给出

$$\hat{H}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\omega }_{\mathbf{p}}(a_{+}^{†}(\mathbf{p})a_{+}(\mathbf{p})+a_{-}^{†}(\mathbf{p})a_{-}(\mathbf{p}))d^3\mathbf{p}$$

和

$$\hat{\mathbf{P}}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\mathbf{p}(a_{+}^{†}(\mathbf{p})a_{+}(\mathbf{p})+a_{-}^{†}(\mathbf{p})a_{-}(\mathbf{p}))d^3\mathbf{p}$$

角动量算符和推动变换算符的描述要复杂得多，这同样是由于 ${\alpha }_{\pm }(\mathbf{p})$ 依赖于偏振向量 $u_{\pm }(\mathbf{p})$ 的选择。

注意，如同实标量场的情形，单个马约拉纳场的理论没有内部对称群作用，因此无法引入电荷算符并将该理论与电磁场耦合。

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