Nakahara Definition 4.4：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
词性：名词
已登记的原文定义
Nakahara · second-edition-local · §4.1.3 · PDF 第142页
Definition 4.4. Let $\alpha, \beta: I \to X$ be loops at $x_0$ . They are said to be homotopic, written as $\alpha \sim \beta$ , if there exists a continuous map $F: I \times I \to X$ such thatNakahara Definition 4.4：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
Nakahara · second-edition-local · §4.1.3 · PDF 第142页
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F (s, 0) = \alpha (s), \quad F (s, 1) = \beta (s) \quad \forall s \in I \tag {4.3}
$$
Nakahara Definition 4.4：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
Nakahara · second-edition-local · §4.1.3 · PDF 第142页
$$
F (0, t) = F (1, t) = x _ {0} \qquad \forall t \in I.
$$
Nakahara Definition 4.4：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
Nakahara · second-edition-local · §4.1.3 · PDF 第142页
The connecting map $F$ is called a homotopy between $\alpha$ and $\beta$ .Nakahara Definition 4.4：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
Nakahara · second-edition-local · §4.1.3 · PDF 第142页 · 定义续文（环境外解释或示例）
It is helpful to represent a homotopy as figure 4.3(a). The vertical edges of the square $I \times I$ are mapped to $x_0$ . The lower edge is $\alpha(s)$ while the upper edge is $\beta(s)$ . In the space $X$ , the image is continuously deformed as in figure 4.3(b).Nakahara Definition 4.4：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
Nakahara · second-edition-local · §4.5.1 · PDF 第165页
Definition 4.10. Let $X$ be a topological space and $\alpha, \beta : I^n \to X$ be $n$ -loops at $x_0 \in X$ . The map $\alpha$ is homotopic to $\beta$ , denoted by $\alpha \sim \beta$ , if there exists a continuous map $F: I^n \times I \to X$ such thatNakahara Definition 4.10：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
Nakahara · second-edition-local · §4.5.1 · PDF 第165页
$$
F \left(s _ {1}, \dots , s _ {n}, 0\right) = \alpha \left(s _ {1}, \dots , s _ {n}\right) \tag {4.37a}
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Nakahara Definition 4.10：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
Nakahara · second-edition-local · §4.5.1 · PDF 第165页
$$
F \left(s _ {1}, \dots , s _ {n}, 1\right) = \beta \left(s _ {1}, \dots , s _ {n}\right) \tag {4.37b}
$$
Nakahara Definition 4.10：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
Nakahara · second-edition-local · §4.5.1 · PDF 第165页
$$
F \left(s _ {1}, \dots , s _ {n}, t\right) = x _ {0} \quad \text {f o r} (s _ {1}, \dots , s _ {n}) \in \partial I ^ {n}, t \in I. \tag {4.37c}
$$
Nakahara Definition 4.10：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
Nakahara · second-edition-local · §4.5.1 · PDF 第165页
$F$ is called a homotopy between $\alpha$ and $\beta$ .Nakahara Definition 4.10：同伦。完整条件以所列原文节点为准；不将同框中作为前提提及的概念视为被定义。
按作者与版本查阅
以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。
Nakahara · second-edition-local
已登记出处中的最早位置：§4.1 · zh-CN。
| 位置 | 语言 | 登记角色 |
|---|---|---|
| §4.1 | zh-CN · 英文上下文 | 首次提及（不等于定义） |
| §4.2 | zh-CN · 英文上下文 | 讨论 |
| §4.3 | zh-CN · 英文上下文 | 讨论 |
| §6.4 | zh-CN · 英文上下文 | 讨论 |
| §9.2 | zh-CN · 英文上下文 | 定义入口 |
| §9.4 | zh-CN · 英文上下文 | 讨论 |
| §10.2 | zh-CN · 英文上下文 | 讨论 |
来源短摘录与定位
§4.1 · zh-CN · machine_draft · unreviewed
看起来常值映射 就是单位元。然而并非如此： 并不等于 。我们需要同伦的概念，才能在环路空间中定义群运算。
§4.2 · zh-CN · machine_draft · unreviewed
正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。
§4.3 · zh-CN · machine_draft · unreviewed
正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。
§6.4 · zh-CN · machine_draft · unreviewed
正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。
§9.2 · zh-CN · machine_draft · unreviewed
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§9.4 · zh-CN · machine_draft · unreviewed
(c) 证明若 与 同伦的，则 。
(d) 证明当 为奇数时 。[提示：利用 。]
(e) 计算例 9.9中所定义映射 的霍普夫不变量。
§10.2 · zh-CN · machine_draft · unreviewed
正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。
原文中已定位的引用（不自动视为依赖）
- href=”../chapter-09/02-section-9-2.md#bound-definition-07d72bb30b9788a7ca3d8aec”
- href=“02-section-4-2.md#definition-4-8”
- href=”../chapter-09/02-section-9-2.md#bound-definition-07d72bb30b9788a7ca3d8aec”
- href=“03-section-4-3.md#lemma-4-2”
- href=“01-section-4-1.md#bound-definition-4a2489d02e04924c4017048c”
- href=”../chapter-09/02-section-9-2.md#bound-definition-07d72bb30b9788a7ca3d8aec”
- [引理 4.2](03-section-4-3.md#lemma-4-2)
- href=”../chapter-02/01-section-2-1.md#bound-definition-bb88bbb0cbdedf43846d8f4d”
- href=“01-section-4-1.md#bound-definition-72bf03999c4b5b7b12d6563a”
- href=“01-section-4-1.md#bound-definition-886581a142e34900292cc0ea”
- href=“03-section-4-3.md#theorem-4-5”
- href=“02-section-4-2.md#bound-definition-fa4f45b191b252ac80e92e28”
- href=“04-section-6-4.md#theorem-6-5”
- href=”../chapter-04/01-section-4-1.md#bound-definition-72bf03999c4b5b7b12d6563a”
- href=”../chapter-09/02-section-9-2.md#bound-definition-07d72bb30b9788a7ca3d8aec”
- [引理 6.1](04-section-6-4.md#lemma-6-1)
- [(6.57)](04-section-6-4.md#equation-6-57)
- href=”../chapter-04/01-section-4-1.md#bound-definition-886581a142e34900292cc0ea”
- [(6.59)](04-section-6-4.md#equation-6-59)
- [(6.56)](04-section-6-4.md#equation-6-56)
- href=“04-section-6-4.md#example-6-6”
- href=”../chapter-04/02-section-4-2.md#bound-definition-dd3051b34cdd1c57cb935a6d”
- href=“04-section-6-4.md#example-6-7”
- href=”../chapter-04/02-section-4-2.md#section-4-2”
- href=“02-section-9-2.md#bound-definition-07d72bb30b9788a7ca3d8aec”
- [例 9.9](04-section-9-4.md#example-9-9)
- href=“02-section-10-2.md#exercise-10-6”
- [(10.14)](01-section-10-1.md#equation-10-14)
- href=”../chapter-09/02-section-9-2.md#bound-definition-07d72bb30b9788a7ca3d8aec”