向量的分量 (vector component)

§3.5: coordinates of a vector relative to a basis.

别名：component；分量

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来源短摘录与定位

§3.5 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 3.5 · 基下展开的唯一性 (Uniqueness of expansion in a basis)

设 $V$ 为有限维向量空间，$n=\dim V$。若 $\{e_1,\dots ,e_n\}$ 是 $V$ 的基，则每个向量 $v\in V$ 都有唯一的分解

$$v=\sum _{i=1}^n{v}^i{e}_i,v^i\in \mathbb{K}.\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

$n$个标量${\mathbf{v}}^i\in \mathbb{K}$称为向量$v$在此基下的分量(component)。

证明

由于 $e_i$ 张成 $V$，每个向量 $v$ 都具有形如式 (3.5) 的分解。若存在第二种这样的分解，

$$v=\sum _{i=1}^n{v}^i{e}_i=\sum _{i=1}^n{w}^i{e}_i$$

那么

$$\sum _{i=1}^n(v^i-w^i)e_i=0.$$

由于 $e_i$ 线性无关，该和式中的每个系数都必须为零，$v^i-w^i=0$ 因此 ${\mathbf{v}}^i={\mathbf{w}}^i$，且分解是唯一的。

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#theorem-3-5”
• href=“#equation-3-5”

来源覆盖、定位与记录

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