2.2 切空间

我们接下来的任务是弄清如何在流形上做微积分。这里先从微分入手；要走到积分还需要再花些时间，我们最终会在2.4.4 节中与之相遇。

考虑函数 $f:M\to \mathbf{R}$。为了在某点 $p,$ 处对该函数求导，我们在 $p.$ 的某个邻域内引入一个坐标卡 $\varphi =(x^1,\dots ,x^n)$。于是可以构造映射 $f\circ {\varphi }^{-1}:U\to \mathbf{R}$，其中 $U\subset {\mathbf{R}}^n$。但我们知道如何在 ${\mathbf{R}}^n$ 上对函数求导，这就给了我们一种在 $M$ 上对函数求导的办法，即

$${\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}|}_p:={\frac{\partial (f\circ {\varphi }^{-1})}{\partial x^{\mu }}|}_{\varphi (p)}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

显然，这依赖于坐标卡 $\varphi$ 与坐标 $x^{\mu }$ 的选取。我们希望给出一个与坐标无关的求导定义，然后再弄清楚当我们改用不同的坐标来描述这一对象时会发生什么。

2.2.1 切向量

我们将考虑定义在流形 M 上的光滑函数。所有光滑函数构成的集合记作 $C^{\infty }(M)$。

定义 切向量

切向量(tangent vector) $X_p$ 是在点 $p\in M$ 处对函数进行微分的对象。具体地说，$X_p:C^{\infty }(M)\to \mathbf{R}$ 满足

i) 线性性：对任意 $f,g\in C^{\infty }(M)$，有 $X_p(f+g)=X_p(f)+X_p(g)$

ii) 当 $f$ 为常函数时，$X_p(f)=0$。

iii) 莱布尼茨性：对任意 $f,g\in C^{\infty }(M)$，有 $X_p(fg)=f(p)X_p(g)+X_p(f)g(p)$。这当然就是乘积法则。

注意，把 ii) 与 iii) 结合起来，就告诉我们：对 $a\in \mathbf{R}$，有 $X_p(af)=a{X}_p(f)$。

这个定义是微分几何中早期令人惊讶的地方之一。真正令人惊讶的其实是“切向量”这个名称。我们从本科物理中知道什么是向量，也知道什么是微分算子，但我们并不习惯把两者等同起来。在继续之前，想一想这个定义如何与我们以前遇到的其他向量概念相吻合，或许是有益的。

我们第一次在物理中遇到向量，通常是在牛顿力学的背景下，那里我们把质点的位置描述为 ${\mathbf{R}}^3$ 中的一个向量 x。这种向量概念是平直空间所特有的，不能推广到其他流形。例如，连接球面上两点的线段并不是向量，而且一般来说，没有办法把点 $p\in M$ 看作向量。因此，我们应当干脆忘掉 ${\mathbf{R}}^3$ 中的点可以被看作向量这件事。

下一类向量是质点的速度 $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}$。这一类更为贴切。它显然涉及微分，而且与质点所描绘的曲线相切。正如我们将在下文看到的，质点的速度确实是微分几何中切向量的例子。更一般地说，切向量告诉我们事物在给定方向上如何变化，它们是通过微分来做到这一点的。

很容易验证，如下对象

$${{\partial }_{\mu }|}_p:={\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}|}_p$$

它按 (2.2) 所示的方式作用于函数，满足切向量的全部要求。

注意，指标 $\mu$ 现在是下标，而不是我们用于坐标 $x^{\mu }$ 的上标。（在右端，$\partial /\partial x^{\mu }$ 中的上标位于分母中，算作下标。）我们将采用求和约定，即重复的指标要求和。但正如我们将看到的，指标放在上方还是下方会告诉我们一些信息，而且所有求和都必然是一个指标在上、一个指标在下。这个约定我们在狭义相对论中已经遇到过，那里指标的上/下会改变正负号。在这里，它有着更重要的作用，我们将在后续看到：指标的位置告诉我们该对象生活在何种数学空间中。目前你应当知道：任何方程中若有两个重复指标且都朝上或都朝下，那它必然是错的；同样，任何方程中若有三个或更多重复指标，也是错的。

定理

点 $p$ 处的全体切向量构成一个 $n\cdot$ 维向量空间。我们称其为切空间(tangent space) $T_p(M)$。切向量 ${\partial }_{\mu }{|}_p$ 构成 $T_p(M)$ 的一组基。这意味着，我们可以把任意切向量写成

$$X_p=X^{\mu }{{\partial }_{\mu }|}_p$$

其中 $X^{\mu }=X_p(x^{\mu })$ 是该切向量在这组基下的分量。

证明

这个证明的很大一部分，不过是把哪些对象住在哪个空间里弄清楚。事实上，把这一点弄清楚，正是微分几何这门学科的一大部分内容。首先，我们需要一个小引理。我们定义函数 $F=f\circ {\varphi }^{-1}:U\to \mathbf{R}$，其中 $\varphi =(x^1,\dots ,x^n)$ 是 $p.$ 某个邻域上的坐标卡。于是，在 p 的某个（可能更小的）邻域内，我们总可以把函数 F 写成

$$F(x)=F(x^{\mu }(p))+(x^{\mu }-x^{\mu }(p))F_{\mu }(x)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

其中我们引入了 n 个新函数 $F_{\mu }(x)$，并在最后一项中使用了求和约定。如果函数 F 有泰勒展开，那么我们只需把所有二次及更高次的项重新打包进 $F_{\mu }(x)$ 函数中，把线性项留在前面，就能轻而易举地把它写成 (2.3) 的形式。但事实上，并不需要假定泰勒展开存在。看出这一点的一种方法是注意到：对任意函数 $G(t)$，我们显然有 $\begin{array}{r}G(1)=G(0)+{\int }_0^{1}dt{G}^{\prime }(t)\end{array}$。现在把这一公式应用于函数 $G(t)=F(tx)$，其中 x 固定。这就给出 $\begin{array}{r}F(x)=F(0)+x{\int }_0^{1}dt{F}^{\prime }(xt)\end{array}$，而这恰恰就是单变量函数在原点附近展开时的 (2.3)。同样的方法在更一般的情形下也成立。

有了 (2.3)，我们在两边作用 ${\partial }_{\mu }$，然后在 $x^{\mu }=x^{\mu }(p)$ 处取值。这就告诉我们，函数 $F_{\mu }$ 必须满足

$${\frac{\partial F}{\partial x^{\mu }}|}_{x(p)}=F_{\mu }(x(p))\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

我们可以把它改写成关于 f 本身的类似表达式。我们在 M 上定义 n 个函数 $f_{\mu }=F_{\mu }\circ \varphi$。于是，对 $p,$ 的相应邻域中的任意 $q\in M$，(2.3) 就变成

$$f\circ {\varphi }^{-1}(x^{\mu }(q))=f\circ {\varphi }^{-1}(x^{\mu }(p))+(x^{\mu }(q)-x^{\mu }(p))[f_{\mu }\circ {\varphi }^{-1}(x^{\mu }(q))]$$

但 ${\varphi }^{-1}(x^{\mu }(q))=q$。于是我们发现，在 $p_{:}$ 的邻域内，总可以把函数 f 写成

$$f(q)=f(p)+\left(x^{\mu }(q)-x^{\mu }(p)\right)f_{\mu }(q)$$

其中 $f_{\mu }(q)$ 是某些函数。注意，在 $q=p,$ 处取值时，我们有

$$f_{\mu }(p)=F_{\mu }\circ \varphi (p)=F_{\mu }(x(p))={\frac{\partial F}{\partial x^{\mu }}|}_{x(p)}={\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}|}_p$$

其中最后一个等号用了 (2.2)，倒数第二个等号用了 (2.4)。

现在我们可以转向切向量 $X_p$ 了。它作用在函数 f 上给出

$$X_p(f)=X_p\left(f(p)+\left(x^{\mu }-x^{\mu }(p)\right)f_{\mu }\right)$$

这里我们省去了 $f(q),x^{\mu }(q)$ 和 $f_{\mu }(q)$ 中任意的自变量 $q$；这些正是切向量所作用的函数。利用线性性和莱布尼茨性，我们得到

$$X_p(f)=X_p(f(p))+X_p((x^{\mu }-x^{\mu }(p)))f_{\mu }(p)+(x^{\mu }(p)-x^{\mu }(p))X_p\left(f_{\mu }\right)$$

第一项为零，因为 $f(\mathbf{p})$ 只是一个常数，而所有切向量作用在常数上都为零。最后一项也为零，因为莱布尼茨法则要求我们在 $p.$ 处对函数 $(x^{\mu }-x^{\mu }(p))$ 取值。最后，由线性性，中间一项包含一个 $X_p(x^{\mu }(p))$ 项，它为零，因为 $x^{\mu }(p)$ 只是一个常数。于是我们剩下

$$X_p(f)=X_p(x^{\mu }){\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}|}_p$$

这意味着切向量 $X_p$ 可以写成

$$X_p=X^{\mu }{\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}|}_p$$

其中 $X^{\mu }=X_p(x^{\mu })$，正如所承诺的那样。最后，我们只需证明 ${\partial }_{\mu }{|}_p$ 构成 $T_p(M)$ 的一组基。由上面的讨论，它们张成这个空间。为检验线性无关性，假设我们有向量 $\alpha ={{\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }|}_p=0$。那么让它作用在 $f:=:x^{\nu }$ 上，就得到 $\alpha (x^{\nu })={\alpha }^{\mu }({\partial }_{\mu }{x}^{\nu }){|}_{\upsilon }={\alpha }_{\nu }=0$。这就完成了我们的证明。□

坐标变换

我们对坐标的态度是矛盾的。没有坐标，我们什么也算不出来；但我们又不想依赖坐标。我们最终采取的折中办法是：始终检验没有任何物理内容依赖于我们对坐标的选择。

关键在于，给定的切向量$X_p$的存在与坐标的选择无关。然而，所选定的基$\{{\partial }_{\mu }{|}_p\}$显然依赖于我们对坐标的选择：为了定义它，我们必须先引入一个坐标卡$\varphi$以及坐标$x^{\mu }$。这样定义的基，顾名思义，称为坐标基(coordinate basis)。有时我们也会使用其他并非如此定义的基$\{e_{\mu }\}$，它们自然被称为非坐标基(non-coordinate basis)。一种特别有用的非坐标基，称为标架场，将在3.4.2 节中介绍。

假设我们在$p.$的邻域内选取了另一个坐标卡$\tilde{\varphi },$，其坐标为${\tilde{x}}^{\mu }$。于是我们有两组不同的基，可以把切向量$X_p$用其中任意一组表示出来，

$$X_p=X^{\mu }{\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}|}_p={\tilde{X}}^{\mu }{\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}|}_p$$

向量本身是同一个，但它的分量会改变：在第一组坐标下分量为 $X^{\mu }$，在第二组坐标下分量为 ${\tilde{X}}^{\mu }$。确定 $X^{\mu }$ 与 ${\tilde{X}}^{\mu }$ 之间的关系并不困难。为此，我们考察切向量 $X_p$ 如何作用于一个函数 $f,$

$$X_p(f)=X^{\mu }{\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}|}_p=X^{\mu }{\frac{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}{\partial x^{\mu }}|}_{\varphi (p)}{\frac{\partial f}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}|}_p$$

这里我们用了链式法则。（其实我们在这里稍显草率。更仔细的做法是引入函数 $F=f\circ {\varphi }^{-1}$ 与 $\tilde{F}=f\circ {\tilde{\varphi }}^{-1}$，并利用 (2.2) 写出 $\partial f/\partial x^{\mu }=\partial F(\tilde{x}(x))/\partial x^{\mu }$。最终结果是一样的。在后续讨论中我们也会以同样的方式草率处理，常常把 f 与 $F.)$ 混为一谈。）这个方程可以有两种不同的读法。第一种，我们可以把它看作基向量的改变：它们之间的关系为

$${\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}|}_p={\frac{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}{\partial x^{\mu }}|}_{\varphi (p)}{\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}|}_p\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

另一种读法是，我们可以把它看作向量分量的改变，这些分量按如下方式变换

$${\tilde{X}}^{\nu }=X^{\mu }{\frac{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}{\partial x^{\mu }}|}_{\varphi (p)}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

按这种方式变换的向量分量，有时被称为逆变分量。我一直觉得这个术语很让人头疼，很大程度上是因为我总也记不住它。更重要的一点是：只要你记住 $X^{\mu }$ 上的指标是上标而不是下标，(2.6) 的形式基本上就确定了。

它切于什么？

到目前为止，我们其实还没有解释“切向量”这个名字从何而来。考虑 M 中一条经过点 $p.$ 的光滑曲线。这是一个映射 $\sigma :I\to M$，其中 I 是开区间 $I\subset \mathbf{R}$。我们将该曲线参数化为 $\sigma (t)$，使得 $\sigma (0)=p\in M$

图 13. 点 $p.$ 处的切空间

在给定的坐标卡下，这条曲线变为 $\varphi \circ \sigma :\mathbf{R}\mapsto {\mathbf{R}}^n$，由 $x^{\mu }(t)$ 参数化。在学微分几何之前，我们会说曲线在 $t=0$ 处的切向量是

$$X^{\mu }={\frac{d{x}^{\mu }(t)}{dt}|}_{t=0}$$

但我们可以把这些量取作切向量 $X_p,$ 的分量，其定义为

$$X_p={\frac{d{x}^{\mu }(t)}{dt}|}_{t=0}{\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}|}_p$$

现在我们的切向量作用于函数 $f\in C^{\infty }(M)$。它告诉我们，当沿曲线移动时，任意函数 f 变化得有多快。

任何切向量 $X_p$ 都可以写成这种形式。这就赋予了 $T_p(M)$ 的“切空间”这一术语以意义：它字面上就是经过点 $p.$ 的所有曲线的所有可能切向量构成的空间。例如，图 13 展示了一个嵌入在 ${\mathbf{R}}^3$ 中的二维流形。在每一点 p 处，我们都能确定一个向量空间，即切平面：它就是 $T_p(M)$

顺便指出，切空间的数学定义完全没有涉及把流形嵌入到某个高维空间之中。切空间是流形本身所固有的对象。（这与前面那幅图的情形形成对照：在那里，我们不得不把流形设想为嵌入在 ${\mathbf{R}}^3.$ 之中。）

不同点 $p\ne q$ 处的切空间 $T_p(M)$ 与 $T_q(M)$ 是不同的。我们无法把其中一个空间中的向量与另一个空间中的向量相加。事实上，在现阶段，我们甚至没有办法把 $T_p(M)$ 中的向量与 $T_q(M)$ 中的向量加以比较。它们根本就是不同的空间。随着讨论的深入，我们会设法找到绕开这一困难的办法。

2.2.2 向量场

到目前为止，我们只定义了某一点 p 处的切向量。考虑这样一个对象是有用的：对每一点 $p\in M$ 都指定一个切向量。在物理学中，我们把随空间变化的这类对象称为场。

向量场 X 定义为对每一点 $p\in M$ 光滑地指定一个切向量 $X_p$ 的对应关系。这意味着，若把一个函数交给向量场，它就会返回另一个函数，即前一个函数的微分。用符号表示，向量场因此是一个映射 $X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$。函数 $X(f)$ 由下式定义

$$(X(f))(p)=X_p(f)$$

M 上所有向量场构成的空间记作 X(M)。

给定一个坐标基，我们可以把任意向量场展开为

$$X=X^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

其中 $X^{\mu }$ 现在是 M 上的光滑函数。

严格说来，表达式 (2.7) 只在坐标卡所覆盖的开集 $\mathcal{O}\subset M$ 上定义了一个向量场，而不是在整个流形上。我们可能必须把它与其他坐标卡拼接起来，才能覆盖整个 M。

对易子

给定两个向量场 $X,Y\in \mathfrak{X}(M)$，我们不能把它们相乘而得到一个新的向量场。粗略地说，这是因为乘积 XY 是一个二阶微分算子，而不是一阶算子。这一点体现在对象 XY 不满足莱布尼茨性上，

$$XY(fg)=X(fY(g)+Y(f)g)=X(f)Y(g)+fXY(g)+gXY(f)+X(g)Y(f)$$

这与莱布尼茨性所要求的 $fXY(g)+gXY(f)$ 并不相同。

不过，我们可以通过取对易子 $[X,Y]$ 来构造一个新的向量场，它对函数 $f$ 的作用为

$$[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))$$

这也称为李括号(Lie bracket)。在坐标基下计算，对易子由下式给出

$$\begin{array}{c}[X,Y](f)=X^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\left(Y^{\nu }\frac{\partial f}{\partial x^{\nu }}\right)-Y^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\left(X^{\nu }\frac{\partial f}{\partial x^{\nu }}\right)\\ =\left(X^{\mu }\frac{\partial Y^{\nu }}{\partial x^{\mu }}-Y^{\mu }\frac{\partial X^{\nu }}{\partial x^{\mu }}\right)\frac{\partial f}{\partial x^{\nu }}\end{array}$$

这对所有 $f\in C^{\infty }(M)$ 都成立，因此我们可以放心地写

$$[X,Y]=\left(X^{\mu }\frac{\partial Y^{\nu }}{\partial x^{\mu }}-Y^{\mu }\frac{\partial X^{\nu }}{\partial x^{\mu }}\right)\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

不难验证，对易子满足雅可比恒等式

$$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$$

这就保证了流形 M 上全体向量场的集合具有李代数的数学结构。

2.2.3 积分曲线

关于流形上的向量场，还有一种略有不同的思考方式。流形 M 上的一个流，是由 $t\in \mathbf{R}$ 标记的一族单参数微分同胚 ${\sigma }_t:M\to M$。这些映射具有如下性质：${\sigma }_{t=0}$ 是恒等映射，并且 ${\sigma }_s\circ {\sigma }_t={\sigma }_{s+t}$。这两个要求保证了 ${\sigma }_{-t}={\sigma }_t^{-1}$。这样的流会在流形上产生流线。我们还将进一步要求这些流线是光滑的。

于是，我们可以通过取各点处流线的切线来定义一个向量场。在给定的坐标系中，该向量场的分量为

$$X^{\mu }(x^{\mu }(t))=\frac{d{x}^{\mu }(t)}{dt}\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

这里我在记号上稍作了滥用，写成了 $x^{\mu }(t)$，而不是更准确却更繁琐的 $x^{\mu }({\sigma }_t)$。这将成为一种习惯：坐标 $x^{\mu }$ 常被用来指代点 $p\in M$。

一个流会给出一个向量场。反过来，给定一个向量场 $X^{\mu }(x)$，我们可以对微分方程 式 (2.9) 进行积分，并附加初始条件 $x^{\mu }(0)=x_{\mathrm{initial}}^{\mu }$，从而生成从 $x_{\mathrm{initial}}^{\mu }$ 出发的流线。这些流线称为积分曲线(integral curve)，由 X 生成。

在下文中，我们只需要由 X 生成的无穷小流。它简单地就是

$$x^{\mu }(t)=x^{\mu }(0)+t{X}^{\mu }(x)+\mathcal{O}(t^2)\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

事实上，对它求导，在 t 的最低阶近似下即满足(2.9)。

（题外话：给定一个向量场 X，未必能把(2.9)积分出来，从而生成对所有 $t\in \mathbf{R}$ 都有定义的流。例如，考虑 $M=\mathbf{R}$ 以及向量场 $X=x^2$。方程 $dx/dt=x^2$ 在初始条件 $x(0)=a$ 下具有唯一解 $x(t)=a/(1-at)$，而它在 $t=1/a$ 处发散。能对所有 $t\in \mathbf{R}$ 生成流的向量场称为完备的。可以证明，若流形 M 是紧致的，则 M 上所有向量场都是完备的。粗略地说，“紧致”意味着 M 不会“延伸到无穷远”。更确切地说，若对于覆盖 M 的任意一族开集，总存在同样覆盖 M 的有限子族，则称拓扑空间 M 是紧致的。因此 R 不是紧致的，因为由集合 $\{(-n,n),n\in {\mathbf{Z}}^{+}\}$ 构成的族覆盖了 R，却没有有限子族。类似地，${\mathbf{R}}^n$ 也不是紧致的。然而，${\mathbf{S}}^n$ 和 ${\mathbf{T}}^n$ 都是紧致流形。）

我们来看一些例子。

• 考虑极坐标下的球面 ${\mathbf{S}}^2$，以及向量场 $X={\partial }_{\varphi }$。其积分曲线满足式 (2.9)，即

$$\frac{d\varphi }{dt}=1\mathrm{and}\frac{d\theta }{dt}=0$$

其解为 $\theta :=:{\theta }_0$ 和 $\varphi ={\varphi }_0+t$。相应的单参数微分同胚为 ${\sigma }_t:(\theta ,\varphi )\to (\theta ,\varphi +t)$，而流线就是球面上纬度不变的线，如左图所示。

• 或者，考虑 ${\mathbf{R}}^2$ 上的向量场，其笛卡尔分量为 $X^{\mu }=$ $(1,x^2)$。此时积分曲线所满足的方程为

$$\frac{dx}{dt}=1\mathrm{and}\frac{dy}{dt}=x^2$$

其解为 $x(t)=x_0+t$ 和 $\begin{array}{r}y(t)=y_0+\frac{1}{3}(x_0+t{)}^3\end{array}$。相应的流线如右图所示。

2.2.4 李导数

到目前为止，我们已经学会了如何对一个函数求导。这需要我们引入一个向量场 X，而新函数 $X(f)$ 可以看作 $f$ 沿 X 方向的导数。

接下来我们要问：能否对一个向量场求导？具体地说，假设我们有另一个向量场 Y，怎样才能沿 X 的方向对它求导，从而得到一个新的向量场呢？正如我们已经看到的，我们不能简单地写成 $XY$，因为这样并不能定义一个新的向量场。

要继续下去，我们应当更仔细地思考求导究竟意味着什么。对于 R 上的函数 $f(x)$，我们比较该函数在邻近点处的取值，并考察当这些点彼此靠近时会发生什么

$$\frac{df}{dx}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x+t)-f(x)}{t}$$

类似地，要对一个向量场求导，我们需要从某个邻近点处的切向量 $Y_q\in T_q(M)$ 中减去切向量 $Y_p\in$ $T_p(M)$，然后考察在极限 q → p $q\to p$ 下会发生什么。但这是有问题的，因为正如上面所强调的，向量空间 $T_p(M)$ 与 $T_q(M)$ 是不同的，把一个空间中的向量与另一个空间中的向量相减是没有意义的。为了取得进展，我们必须找到一种办法来做这件事。幸运的是，确实有办法。

推前与拉回

假设我们有一个映射 $\phi :M\to N$，它把两个流形 M 与 N 联系起来，我们取它为微分同胚。这样我们就能把一个流形上的各种结构搬到另一个流形上去。

例如，若在 $f:N\to \mathbf{R}$ 上有一个函数，我们便可构造一个新的函数，记作 $({\phi }^{\ast }f):M\to \mathbf{R}$

$$({\phi }^{\ast }f)(p)=f(\phi (p))$$

像这样利用映射，把原本定义在 N 上的对象搬到 M 上，称为拉回(pull-back)。若在 M 上引入坐标 $x^{\mu }$，在 $N.$ 上引入坐标 $y^{\alpha }$，则映射为 $\phi (x)=$ $y^{\alpha }(x)$，于是可以写成

$$({\phi }^{\ast }f)(x)=f(y(x))$$

有些对象则更自然地沿相反方向走。例如，给定 M 上的一个向量场 Y，我们可以定义 N 上的一个新向量场 $({\phi }_{\ast }Y)$。若给定一个函数 $f:N\to \mathbf{R}$，则 N 上的向量场 $({\phi }_{\ast }Y)$ 作用为

$$({\phi }_{\ast }Y)(f)=Y({\phi }^{\ast }f)$$

这里的记号我写得有些随意，因为左端是 N 上的函数，而右端是 M 上的函数。上面的等式是在相应的点上取值时才成立：$[({\phi }_{\ast }Y)(f)](\phi (p))=[Y({\phi }^{\ast }f)](p)$。利用映射把 M 上的对象推到 N 上，称为推前(push-forward)。

若 $Y=Y^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$ 是 M 上的向量场，则我们可以把 $N$ 上诱导出的向量场写成

$$({\phi }_{\ast }Y)(f)=Y^{\mu }\frac{\partial f(y(x))}{\partial x^{\mu }}=Y^{\mu }\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial f(y)}{\partial y^{\alpha }}$$

写成 $({\phi }_{\ast }Y)=({\phi }_{\ast }Y{)}^{\alpha }\partial /\partial y^{\alpha }$ 的分量形式，我们便有

$$({\phi }_{\ast }Y{)}^{\alpha }=Y^{\mu }\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

考虑到指标缩并的方式，这差不多就是我们唯一能写出的东西了。

后面在课程中我们还会看到这类诱导映射的其他例子。推前总是记作 ${\phi }_{\ast }$，其方向与原映射相同；拉回总是记作 ${\phi }^{\ast }$，其方向与原映射相反。重要的是，如果我们的映射 $\phi :\mathcal{M}\to N$ 是微分同胚，那么也就有 ${\phi }^{-1}:N\to M$，于是我们可以毫无顾忌地把任何对象从 M 搬到 N，再搬回来。

图 15. 为构造李导数，我们用推前 $({\sigma }_{-t}).$ 把向量 $Y_{{\sigma }_t(p)}$ 映回 p。所得的向量以红色显示，即 $(({\sigma }_{-t}{)}_{\star }Y{)}_p$

构造李导数

现在我们可以借助这些想法来构造一种导数。设给定 M 上的一个向量场 X，它生成一个流 ${\sigma }_t:M\to M$，这是一个流形之间的映射，此时 $N=M$。这意味着我们可以用 (2.11) 生成一个从 $T_p(M)$ 到 $T_{{\sigma }_t(p)}(M)$ 的推前映射。而这恰恰是我们比较相邻点处的切向量所需要的。所得的微分算子称为李导数(Lie derivative)，记作 ${\mathcal{L}}_X$。

我们将会看到，可以借助这些想法对许多不同种类的对象求导。作为热身，我们先来看看一个类似的构造如何让我们对函数求导。此时函数

$${\mathcal{L}}_{X}f=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f({\sigma }_t(x))-f(x)}{t}={\frac{df({\sigma }_t(x))}{dt}|}_{t=0}={\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}\frac{d{x}^{\mu }}{dt}|}_{t=0}$$

但由 (2.9) 可知 $d{x}^{\mu }/dt=X^{\mu }$。于是我们有

$${\mathcal{L}}_{X}f=X^{\mu }(x)\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}=X(f)\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

换言之，用李导数 ${\mathcal{L}}_X$ 作用于函数，与用向量场 X 作用是一回事。

下面来看 ${\mathcal{L}}_X$ 对向量场 Y 的作用。它定义为

$${\mathcal{L}}_{X}Y=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{(({\sigma }_{-t}{)}_{\ast }Y{)}_p-Y_p}{t}$$

注意 ${\sigma }_{-t}$ 中的负号。这反映了向量场是被推过去的，而不是被拉回的这一事实。映射 ${\sigma }_t$ 把点 p 带到点 ${\sigma }_t(p)$。但要把一个切向量 $Y_{{\sigma }_t(p)}\in \mathrm{\Delta }{T}_{{\sigma }_t(p)}(\mathcal{M})$ 推到 $T_p(M)$ 中的一个切向量，以便在那里与 $Y_p$ 相比较，我们需要用逆映射 $({\sigma }_{-t}{)}_{\ast }$ 来推。这一点如图 15 所示。

我们先来计算 ${\mathcal{L}}_X$ 作用在坐标基 ${\partial }_{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ 上的结果。我们有

$${\mathcal{L}}_X{\partial }_{\mu }=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{({\sigma }_{-t}{)}_{\ast }{\partial }_{\mu }-{\partial }_{\mu }}{t}\text{\hspace{1em}(2.13)}$$

在 (2.11) 中我们已有切向量推前的表达式，其中 N 上的坐标 $y^{\alpha }$ 现在应换成由流 ${\sigma }_{-t}$ 诱导的坐标的无穷小变换，而由 (2.10) 可知该变换为 $x^{\mu }(t)=x^{\mu }(0)-t{X}^{\mu }+....$。注意其中的负号，它来自我们必须映射回出发之处这一事实，如图 15 所示。对于小的 $t,$，我们有

$$({\sigma }_{-t}{)}_{\ast }{\partial }_{\mu }=\left({\delta }_{\mu }^{\nu }-t\frac{\partial X^{\nu }}{\partial x^{\mu }}+\dots \right){\partial }_{\nu }$$

于是，作用在坐标基上，我们得到

$${\mathcal{L}}_X{\partial }_{\mu }=-\frac{\partial X^{\nu }}{\partial x^{\mu }}{\partial }_{\nu }\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

为确定 ${\mathcal{L}}_X$ 对一般向量场 Y 的作用，我们利用这样一个事实：李导数满足我们对导数所期望的通常性质，包括线性性 ${\mathcal{L}}_X(Y_1+Y_2)={\mathcal{L}}_X{Y}_1+{\mathcal{L}}_X{Y}_2$，以及对任意函数 $f$ 的莱布尼茨性 ${\mathcal{L}}_X(fY)=f{\mathcal{L}}_{X}Y+({\mathcal{L}}_{X}f)Y$，这两条性质都可由定义推出。于是，对一般向量场 $Y=Y^{\mu }(x)\partial /\partial x^{\mu }$ 的作用可以写成

$${\mathcal{L}}_X(Y^{\mu }{\partial }_{\mu })=({\mathcal{L}}_X{Y}^{\mu }){\partial }_{\mu }+Y^{\mu }({\mathcal{L}}_X{\partial }_{\mu })$$

这里我们只是把分量 $Y^{\mu }(x)$ 看作 n 个函数。我们可以用(2.12)来确定 ${\mathcal{L}}_X{Y}^{\mu }$，而 ${\mathcal{L}}_X{\partial }_{\mu }$ 已在(2.14)中算出。于是得到

$${\mathcal{L}}_X(Y^{\mu }{\partial }_{\mu })=X^{\nu }\frac{\partial Y^{\mu }}{\partial x^{\nu }}{\partial }_{\mu }-Y^{\mu }\frac{\partial X^{\nu }}{\partial x^{\mu }}{\partial }_{\nu }$$

但这恰恰就是对易子的结构。由此可知，李导数作用在向量场上时由下式给出

$${\mathcal{L}}_{X}Y=[X,Y]$$

由此可得一个推论

$${\mathcal{L}}_X{\mathcal{L}}_{Y}Z-{\mathcal{L}}_Y{\mathcal{L}}_{X}Z={\mathcal{L}}_{[X,Y]}Z\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

它可由对易子的雅可比恒等式推出。

在本课程中我们将遇到的导数有好几种，李导数只是其中之一。随着我们引入新的对象，我们将学会如何让 ${\mathcal{L}}_X$ 作用于它们。但我们也会看到，我们可以赋予“微分”这一想法以不同的含义。事实上，直到4.3 节，李导数都将退居次要地位；届时我们将会看到，它正是我们理解对称性所需要的东西。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

来源 PDF SHA-256：3ba65dc61f22a69c7d5fdf3e8e1f641efbfa6cf49a44b3dcb0fd5367ba9fcf1c

OCR 来源 SHA-256：f58e775c8ca9f14ce79c624d8e60dcf8f6b8feacb94e5342e9bfd0dc174328a5

译稿产物 SHA-256：9768aef5862a08d664d92e06f70e00940a1aff74aada50739dd560fb5d9d79db